最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的诱导公式》课堂导学

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三点剖析

1.诱导公式

【例1】求下列三角函数值：

（1）sin （π316-

）;(2)cos(631π-); (3)tan 6

47π;(4)cos(-945°). 解：(1)sin （π316-）=-sin π3

16 =-sin(4π+34π)=-sin 3

4π =-sin(π+

3π)=sin 3π=23 (2)cos(π631-)=cos π6

31 =cos(4π+67π)=cos 67π=cos(π+6

π) =-cos

6π=23-. (3)tan 647π=tan(6π+611π)=tan π6

11 =tan(π+65π)=tan 65π=tan(π-6

π) =-tan 6π=3

3-. (4)cos(-945°)=cos945°=cos(2×360°+225°)

=cos225°=cos(180°+45°)

=-cos45°=2

2-. 温馨提示

对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数.若这时角是90°到180°间的角，再利用180°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是180°—270°间的角，则用180°+α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数；若这时角是270°—360°间的角，则利用360°+（-α）的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.(1)(2)小题解法一都是按着这样的思路求解的.

【例2】(1)设f(α)=)

(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ---+++--?+,

求)6

23(π-f 的值. (2)已知sin(3π+θ)=3101

lg ,求)

2cos()cos(cos )2cos(]1)[cos(cos )cos(πθθπθπθθπθθπ-+--+--+的值. 思路分析：本题主要考查求值问题，由于所求式子比较烦琐，故应先用诱导公式化简，然后求值.

解：(1)f(α)=α

ααααα22cos sin sin 1cos )cos ()sin (2-+++-?- =,sin cos sin )1sin 2(cos )1sin 2(α

ααααα=++ 则f （623π--）=)64sin()64cos()623sin()623cos(ππππππ+-+---- 32

123

6sin 6cos ==ππ. (2)∵sin(3π+θ)=3

110lg 31

-=-, 又∵sin(3π+θ)=sin(π+θ)

=-sinθ,

∴sinθ=3

1. ∵)

2cos()cos(cos )2cos(]1)[cos(cos )cos(πθθπθπθθπθθπ-+--+--+ =θ

θθθθθcos cos cos )1(cos cos cos 2+-++-- =

.18sin 2cos 12cos 11cos 1122==-=-++θθθθ 2．诱导公式的应用

【例3】 化简)

cos()sin(])1cos[(])1sin[(θπθπθπθπ+?--+?++k k k k (k ∈Z ). 解：当k 为偶数时，不妨设k=2n,n ∈Z ,则

原式=)

2cos()2sin(])12cos[(])12sin[(θπθπθπθπ+?--+?++n n n n

=θ

θθππθππcos )sin()2cos()2sin(?--+?++n n =θ

θθπθπcos )sin()cos()sin(?--?+ =

.1cos sin )cos (sin -=?---θθθθ 当k 为奇数时，设k=2n+1，n ∈Z ,则

原式=]

)12cos[(])12sin[(])22cos[(])22sin[(θπθπθπθπ++?-+-+?++n n n n =)

2cos()2sin(])1(2cos[])1(2sin[θππθππθπθπ++?-+-+?++n n n n =)

cos()sin()cos(sin θπθπθθ+?--? =

1)cos (sin cos sin -=-??θθθθ. 综上当k ∈Z 时，

)

cos()sin(])1cos[(])1sin[(θπθπθπθπ+?--+?++k k k k =-1. 温馨提示

对于kπ+α形式的角的三角函数，只须分k 的奇、偶情况进行分类讨论，即可转化为α的三角函数，这在三角函数式的运算中经常出现，注意观察，展开联想，为使用公式创造条件，是学好三角函数的一个重要条件.

3.诱导公式的符号规律

【例4】若sinθ=33,则)23sin()2sin()cos()2cos(]1)23[sin(cos )cos(θθθπθπθπθθπ+-++-+---的值为__________________.

解：原式=θ

θθθθθθcos cos cos cos )1cos (cos cos +?-+--- θ

θθ2sin 2cos 11cos 11=-++= ∵sinθ=3

3,

∴被求式=2)33(2

=6.

答案:6

各个击破

类题演练1

求sin （-1 200°）·cos1 290°+cos （-1 020°）·sin(-1 050°)+tan945°的值.

解：原式=-sin （3×360°+120°）·cos （3×360°+210°）-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) +tan(2×360°+225°)

=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)+tan(180°+45°)

=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45° =.212

1212323=+?+? 变式提升1

(1)已知cos(6π+α)=3

3,求cos(65π-α)的值. (2)已知cos(75°+α)=

3

1,其中α为第三象限角，求cos(150°-α)+sin(α-105°)的值. 分析：(1)(6

π+α)+(65π-α)=π.(2)(75°+α)+(105°-α)=180°,这样就可以用诱导公式求解. 解：(1)cos(65π-α)=-cos ［π-(65π-α)］ =-cos(6π+α)=3

3-. (2)cos(105°-α)=cos ［180°-(75°+α)］ =-cos(75°+α)=31-

. sin(α-105°)=-sin(105°-α)=-sin ［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).

∵cos(75°+α)=3

1＞0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角. 则有sin(75°+α)=322)31(1)75(cos 122-

=--=+?--α; 则cos(105°-α)+sin(α-105°) =3

2231+- =3321--

.

类题演练2

已知f(α)=)

sin()2cos()sin(απαπαπ+---. (1)化简f(α); (2)若α是第三角限角，且cos （α-

23π）=51,求f(α)的值； （3）若α=3

31π-,求f(α)的值. 解：(1)f(α)=.cos sin cos sin αα

αα-=-? (2)∵cos(α-2

3π)=-sinα, ∴sinα=51-,cosα=65

25152-=--. ∴f(α)=

65

2. (3)∵3

526331πππ+?-=- ∴f(331π-)=-cos(3

31π-) =-cos(-6×2π+3

5π) =-cos 35π=-cos 213-=π. 变式提升2

已知f(cosx)=cos17x,求证f(sinx)=sin17x;

证明：利用已知条件诱导公式，有

f(sinx)=f ［cos(

2π-x)］=cos ［17(2

π-x)］ =cos(8π+2π-17x)=cos(2π-17x) =sin17x.

类题演练3

求sin(2nπ+32π)·cos(nπ+3

4π)的值（n ∈Z ）. 解：(1)当n 为奇数时，

原式=sin

32π·(-cos 34π) =sin(π-3π)·［-cos(π+3

π)］ =sin 3π·cos 3π=4

32123=?.

(2)当n 为偶数时，

原式=sin

32π·cos 34π=sin(π-3π)·cos(π+3π) =sin 3π·(-cos 3

π) =23×(-21)=4

3-. 变式提升3

设函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)其中a,b,α,β都是非零实数，且满足f(2 004)=-1,求f(2 005)的值.

解：∵f(2 004)

=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)=-1,

∴f （2 005）=asin(2 005π+α)+bcos(2 005π+β)

=asin ［π+(2 004π+α)］+bcos ［π+(2 004π+β)］

=-［asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)］

=-(-1)=1.

类题演练4

若α+β=π,则下列各等式不成立的是（ ）

A.sinα=sinβ

B.cosα+cosβ=0

C.tanα+tanβ=0

D.sin

2α=cosβ 答案：D

变式提升4

在△ABC 中，下列不等式一定成立的是（ ） A.sin 2B A +=-cos 2

C B.sin(2A+2B)=-cos2C C.sin(A+B)=-sinC D.sin(A+B)=sinC

解析：ΔABC 中，A+B+C=π

∴C=π-(A+B)

代入验证可得.

答案：D