专题1 三角函数的应用 学生版
专题 1 三角函数的应用
题型1 诱导公式的应用
1.已知π<<2π，cos（-7π）=-，则sin（3π+）=________，tan（-π）=________.
2.下列关系式中正确的是（）。
A: B:
C: D:
3. 已知,则
4.知sin(α＋β)＝1，则tan(2α＋β)＋tanβ＝( ).
5.有两个函数,,它们的周
期之和为,且,,求k,a,b.
题型2 函数图像的变换及应用
6.
已知函数在一个周期内的图象
如图所示,若方程在区间上有两个不同的数解、,则
的值为( )
A. B. C. D. 或
7. 将函数的图象F向左平移个单位长度后得到图象,
若的一个对称中心为,则的一个可能取值是
( )
A. B. C. D.
8. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜=的图象在y
轴上的截距为1，在相邻两最值点（x ，2），（x + ，-2）处分别取得最大值和最小值，则函数f（x）的解析式为．
9.函数（）的图象向右平移个单位后，与函数
的图象重合，则=_____。
题型3函数性质的应用
10. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（）。
A: ①②③B: ①③④C: ②④D: ①③
11.函数y=sin（ωx+φ）在区间上单调递减，且函数值从1减小
到-1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为
A B C D
12.函数f（x）=2sin（wx+φ）-1（w＞0，|φ|＜π）对于任意x∈R满足f （x）=f（-x）和f（x）=f（2-x），在区间[0，1]上，函数f（x）单调递增，则有（）
A．B．C．D．
13. 若，对任意实数都有，且，则实数的值等于（）。
A: B: C: 或D: 或
14. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调递减区间
(2)当时,在上的值域为,求a,b的值.
初中数学《锐角三角函数的应用》教案
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
三角函数模型的简单应用试题含答案
一、选择题 1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 - D ．6 2．2sin 5cos )(+-?=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4 －a 3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．?? ? ??ππ,2 B ．()π,0 C ．?? ? ? ?2,0π D ．?? ? ??2,4ππ 4．若函数)(x f 是奇函数，且当0
A ．y=x x x x cos cos 22-+ B ．y= x x x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosx D ．y=lg(sinx+x 2sin 1+) 二、填空题 6．在满足 x x 4 πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知( )sin 4f x a x =+（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则 ()2f -=__________． 8．若?>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数?? ? ??≤ ≤=656 3sin 2ππ x x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________． 10．函数1sin(2)2 y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是 三、解答题 11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式
《三角函数的应用》综合练习1(视角、方位角)
三角函数的应用（视角、方位角） ◆随堂检测 1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A 点在B点的________． 2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，?已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）． (图1) (图2) (图3) 3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，?已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（）． A．200m B．C．D．100）m 4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD?为100m，? 塔高CD m，则下面结论中正确的是（）． A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30° 5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B?处观测到轮船的方向是（）． A．南偏西65°B．东偏西65°C．南偏东65°D．西偏东65° ◆典例分析 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度;（2）试说明该车是否超过限速． 解：（1）在Rt△AOC中，AC=OC·tan∠AOC=25×tan60°， 在Rt△BOC中，BC=OC．tan∠BOC=25×tan30°= 3m， ∴AB=AC-BC= 3 （m）．
第一章三角函数单元基础测试题及答案
三角函数数学试卷 一、 选择题1、 600sin 的值是（ ） )(A ;21 )(B ;23 )(C ;23- )(D ; 21 - 2、),3(y P 为α终边上一点， 53 cos = α，则=αtan （ ） )(A 43- )(B 34 )(C 43± )(D 34 ± 3、已知cos θ＝cos30°，则θ等于（ ） A. 30° B. k ·360°＋30°(k ∈Z) C. k ·360°±30°(k ∈Z) D. k ·180°＋30°(k ∈Z) 4、若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（ ） 5、函数 的递增区间是( ) 6、函数) 62sin(5π +=x y 图象的一条对称轴方程是（ ） ) (A ;12π - =x )(B ;0=x ) (C ;6π = x ) (D ; 3π = x 7、函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标 压缩为原来的，那么所得图象的函数表达式为( ) 8、函数|x tan |)x (f =的周期为( ) A. π2 B. π C. 2π D. 4π
9、锐角α，β满足 41sin sin - =-βα，43 cos cos = -βα，则=-)cos(βα（ ） A.1611- B.85 C.85- D.1611 10、已知tan(α＋β)=2 5，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．1 4 C ．1318 D ．1322 11．sin1,cos1,tan1的大小关系是（ ） A.tan1>sin1>cos1 B.tan1>cos1>sin1 C.cos1>sin1>tan1 D.sin1>cos1>tan1 12．已知函数f (x )=f (π-x ),且当)2 ,2(ππ-∈x 时，f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则（ ） A.a 实用文档 §4.8三角函数的综合应用 【复习目标】 1． 理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 2． 三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。 【课前预习】 1. ⊿ABC 的内角满足tan sin 0A A -<，cos sin 0A A +>，则A 的范围是 。 2. 若111cos sin θθ-=，则sin 2θ= 。 3. 由函数52sin 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形 的面积是 。 4. 已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那 么不等式()cos 0f x x <的解集是 （ ） A ．()()0,12,3? B ．(1,)(,3)22ππ ? C ． ()0,1,32π??? ??? D ．()()0,11,3? 5. 函数|sin |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是 （ ） 【典型例题】 实用文档 例1 已知函数2()sin sin f x x x a =-++. （1） 当()0f x =有实数解时，求a 的取值范围； （2） 若x R ∈，有 171()4f x ≤≤，求a 的取值范围。 例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常 数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立. （1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ； （3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围. 三角函数的应用（坡度、坡角） ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1： 3 的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ．20 B ． 40 .3 3 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）． A ．35 B ．4 5 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ．2 C ．3m D ．◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1，?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1 则 ，∴α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m， 那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）．（?可能用 ≈1.41） 1题图2题图 2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________ 米（精确到0.1米）． 3题图4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB 的长是（） A．2B．C．D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2） a 专题之三角形函数解决实际问题 1. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD = 30m ，某人在点 A 处测得塔底 C 的仰角为 20 ， D 塔顶 D 的仰角为 23 ，求此人距 CD 的水平距离 AB ． C 造时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC 削进到 E 处，问 BE 至少是多少米（结果保留根 号）？ C E B （参考数据： sin 20 ≈ 0.342 ， cos 20 ≈ 0.940 ， tan 20 ≈ 0.364 ， sin 23 ≈ 0.391 ， cos 23 ≈ 0.921 ， tan 23 ≈ 0.424 ） A 20 23 B D A 4. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米 上空的 P 点，测得 A 村的俯角为 30? ，B 村的俯角为 60? （．如图 7）．求 A 、B 两个村 庄间的距离．（结果精确到米，参考数据 2 = 1.414， 3 = 1.732 ） 2. 又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下 面是两位同学的一段对话：请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到 1 米）． 甲：我站在此处看塔顶仰角为 600 乙：我站在此处看塔顶仰角为 300 甲：我们的身高都是 1.5m 乙：我们相距 20m Q 60? 30? P 450 A B C 3. 某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示． BC ∥ AD ， 斜坡 AB = 40 米，坡角 ∠BAD = 60 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校 决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45 时，可确保山体不滑坡，改 5. 如图 7，河流两岸 a ，b 互相平行， C ，D 是河岸 a 上间隔 50m 的两个电线杆．某人 在 河 岸 b 上 的 A 处 测 得 ∠DAB = 30 ， 然 后 沿 河 岸 走 了 100m 到 达 B 处 ， 测 得 ∠CBF = 60 ，求河流的宽度 CF 的值（结果精确到个位）． D C b A E B F 三角函数的应用 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。 公式总结 1．利用二倍角公式求极值 正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin = 如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2 A y = 当 0 45=θ时，y 有最大值 2 max A y = 2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为 )cos sin ( 2 2 2 2 22θθb a b b a a b a y ++++= 令 φcos 2 2 =+b a a ， φsin 2 2=+b a b 则 )sin(22φθ++= b a y 当 0 90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y += 3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式 2cosa -12a sin = 2 cosa 12cos +=a a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan +=-=+= a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot +=-=-+= 典型例题解析： 1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ） 【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S = 有θθsin gt 2 1cos 2L 2?=，解得θ θθ2s i n gL 2cos sin gL t = ?= ，当0 45=θ时，t 有最小值． 【答案】C 2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？ 【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有 2 2 1cos mv mgR = ?θ ① R v m mg N 2 cos =-θ ② 由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为 θθθθ2sin 2 3 cos sin 3sin mg mg N N x = ?=?= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2 3 mg N f x = = 从f 的表达式可以看出，当θ=450 时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值 图2 图1 三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()?ω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1．任意角和弧度制 从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800 ，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900 +k ·18000 ，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α== ，其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r x cos = α，x y tan = α。 3．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = 4．三角函数的诱导公式 利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2 k +与α之间函数值的关系（k ∈Z ）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π 精锐教育学科教师辅导教案 例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0 锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长． 【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图 专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用 一、选择题 1．若f(cos x)＝cos2x，则f(sin15°)＝() A．1 2B．－ 1 2C．－ 3 2D． 3 2 答案C 解析f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－ 3 2．故选C． 2．点P从(2，0)点出发，沿圆x2＋y2＝4按逆时针方向运动4π 3弧长到达点Q， 则点Q的坐标为() A．(－1，3) B．(－3，－1) C．(－1，－3) D．(－3，1) 答案A 解析4π 3弧长所对的圆心角为α＝ 4π 3 2＝ 2π 3，设点Q的坐标为(x，y)，∴x＝ 2cos 2π 3＝－1，y＝2sin 2π 3＝3．故选A． 3．有四个关于三角函数的命题： p1：?x0∈R，sin2 x0 2＋cos 2 x0 2＝ 1 2； p2：?x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0； p3：?x∈[0，π]， 1－cos2x 2＝sin x； p4：sin x＝cos y?x＋y＝ π 2． 其中是假命题的是() A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4 答案A 解析p1是假命题，∵?x∈R，sin2 x 2＋cos 2 x 2＝1；p2是真命题，如x＝y＝0 时成立；p3是真命题，∵?x∈[0，π]，sin x≥0，∴1－cos2x 2＝sin 2x＝|sin x| ＝sin x；p4是假命题，x＝π 2，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠π 2．故选A． 4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－3)，q ＝(cos B，sin B)，p∥q且b cos C＋c cos B＝2a sin A，则C＝() A．30°B．60°C．120°D．150° 答案A 解析∵p∥q，∴－3cos B＝sin B，即得tan B＝－3， ∴B＝120°，∵b cos C＋c cos B＝2a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B ＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，sin A≠0得sin A＝1 2，∴A＝30°，C＝180° －A－B＝30°．故选A． 5．(2018·福州五校联考二)已知a＝2－1 3，b＝(2log23)－ 1 2，c＝cos50°cos10° ＋cos140°·sin170°，则实数a，b，c的大小关系是() A．a>c>b B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 答案C 解析因为a＝2－1 3＝ 1 2 1 3＝ 1 4 1 6，b＝(2log23)－ 1 2＝3－ 1 2＝ 1 3 1 2＝ 1 27 1 6，所以a>b， 排除B，D；c＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝ sin30°＝1 2＝ 1 4 1 2，所以b>c，所以a>b>c．选C． 6．(2018·河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中 较小的锐角为θ，则sinθ＋π 2－cosθ＋ π 3＝() 三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点， 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝? 三角函数的综合应用 2019年 1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ， m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2016年浙江）设函数2 ()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 3sin()6 y x k π ?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有 A ．(sin 2)sin f x x = B ．2 (sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+ 5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为 A B C D 6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα 第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否 锐角三角函数的应用 习题精选 自主演练，各个击破 三角函数的简单应用 1．在R t △ABC 中，∠C ＝90°，下列关系式错误的是（ ） A ．cos b c B = B.tan b a B = C.sin a c A = D.tan b a B = 2. 在R t △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子不成立的是（ ） A ．222a c b =- B.sin a A c = C.tan a b A = D.cos c b B = 3. R t △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高，AD ＝4，BD ＝2，那么tan A ＝（ ） A ．2 B. 3 C. 2 D. 2 4.太阳光与地面成42.5°的角，一树的影长10米，则树高约为________。（精确到0.01米） 5.在离地面高6米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60°角，则拉线的长约是________米。（精确到0.01米） 6.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD ，CD ＝3 m, AD ＝6 m. 坝高是3 m ，BC 坡的坡度i ＝1:3, 则坡角∠A ＝__________，坝底宽AB ＝_____________。 7.如图31—3—2，在2005年6月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的B 处折断，树顶A 落在离树根12米的地方，现测得∠BAC ＝48°，求原树高是多少米？（精确到0.01米） 互动探究，拓展延伸学科综合 8．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移（如图31—3—3所示），距沙尘暴中心300km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 9．如图31—3—4，为了测量电视塔AB的高度，在C、D两点测得塔顶A的仰角分别为30°，45°。已知C、D两点在同一水平线上，C、D间的距离为60米，测倾器CF的高为1.5米，求电视塔AB的高。（精确到0.1米） 10.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向68海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N处，求这只船航行的速度。 创新思维 （一）新型题 11．如图31—3—6，为了测量河的宽度，东北岸选了一点A，东南岸选相距200m的B、C两点测得∠AB C＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度。（精确到0.1m） （二）课本习题变式题 第 1 页 共 4 页 1. 三角函数的综合应用 班级__________姓名____________ ___年____月____日 内 容 要 求 A B C 三角函数综合 两角和与差的正弦余弦和正切公式 √ 同角三角函数的基本关系式；二倍角公式；正弦定 理和余弦定理 √ 三角函数的图象和性质 √ 1.理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理； 2.能运用它们解决有关三角函数的综合问题． 【教学过程】 一、知识梳理： 1. 同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin α cos α . 2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos (α±β)＝cos αcos βsin αsin β，tan (α±β)＝ tan α±tan β 1tan αtan β . 3. 二倍角公式：sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α，tan2α＝2tan α1－tan 2α . 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理 (1) 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(R 为三角形外接圆的半径)． (2) 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，cosA ＝ b 2＋ c 2－a 2 2bc . 二、回归教材 1.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a cosA ＝c sinC ，那么A ＝________． 2. △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B 等于________． 3. 若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则可判断△ABC 的形状一定为________．(按边分类)12,三角函数的综合应用
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