勾股定理证明方法的应用(教案)

课题：勾股定理证明方法的应用

教师：郑燕

时间：2007年5月9日（星期三）第6节

班级：初二（7）班（数学实验班）

教学目标：熟练掌握勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美.

教学重点：勾股定理证明方法的应用

教学难点：欧几里得面积法的理解和应用，刘辉青朱出入法的理解和应用

教学过程：

一、巩固知识、引出问题：

复习勾股定理的几种常见的证明方法（演示自制的flash课件）

1 赵爽弦图法（构造以斜边c为边长的正方形）：

2 刘徽青朱出入法（面积割补）：

3 欧几里得面积法（三角形全等、平行线间的等积变形）：

世界上各个古代文明中几乎都能找到勾股定理的影子，到了近代勾股定理的证明方法更有数百种之多，成为数学大花园中的一朵奇葩，而勾股定理的各种证明方法中也蕴含着美妙的数学思想方法，值

得我们好好学习体会.

二、 运用方法，挑战中考试题：

例1（赵爽弦图法的应用）

（2003年烟台）四年一度的国际数学家大会于2002年8月在北京市召开. 大会会标如图a. 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求：

（1）中间小正方形的面积；

（2）现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图b ，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形.

此题比较简单，由学生独立思考完成，师生小结赵爽弦图法对解题的作用，体验运用赵爽弦图法的过程.

例2（欧几里得面积法的应用）

(2005年北京市海淀区中考题）已知△ABC ，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF ．

如图，当△ABC 中只有60ABC ∠= 时，请你证明ABC S 与ACF S 的和等于BCE S 与ABD S 的和．

此题为05海淀中考最后一题，难度较

大，方法不唯一，欧几里得证明勾股

定理时所使用的面积法为解决此题提

供了很巧妙的证明思路，但题目的外

b

a

D E

形与勾股定理有较大的出入，需要学生经过辨别、分析才能够认识到. 另外，使用方法时，平行线间的等积变形是一个难点，为突破这一难点，一方面：借助自制的flash 和几何画板课件可以帮助学生直观的、清晰的认识基本图形，了解基本方法；另一方面，要分析清楚，已知中“60ABC ∠= ”为“平行线”、“等积变形”提供了条件，是解题的关键.

简单证明：连接AE 、BF ，得AEC ?≌FBC ?，AEC FBC S S ??∴= 由AB ∥EC AEC BEC S S ??∴=

BEC FBC S S ??∴=

同理：ABD ABF S S ??∴=

A B D B E C A B F C B F A B C F A B C

S S S S S S S ??????∴+=+==+ 此题先让学生充分的独立思考、相互讨论，最后师生共同完成，并反思欧几里得面积法对解决此题的作用. 此题的其他证明方法，由学生课下思考.

三、 运用方法，动手操作：

勾股定理的各种证明方法，除了为我们解决一些中考题提供了思路，还给我们提供了很有趣的拼图游戏.

例3（刘徽青朱出入法的应用）

把两个小正方形，剪切几刀，重新组合成一个大正方形，这不就是勾股定理的证明，不需借

助任何文字与符号，更能拼出那么多美丽的图案，让我们来比比看，看谁剪拼得又快又漂亮？请叙述出你的辅助线（剪开线），并简要说明拼图的方法

和成立的理由.

此题是一个发散性的题目，源于学生利

用课余时间搜集到的勾股定理有关材料，在

动手实践中，思考全等和对应的关系，利用

平移、旋转、轴对称等几何变换，运用几何语言（辅助线的作图）叙述剪、拼过程，提高识图能力、分析能力、表达能力. 学生可以在活动中，发挥自身的想象力与创造性，尝试更多合理的拼图方案，并且观察和思考其中的规律，体验做数学的快乐和成就感，感受数学的美.

四、小结作业

学生小结

作业：

1（2006北京市中考题）请阅读下列材料：

问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)x x >．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x =

，解得x =成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

说明：直接画出图形，不要求写分析过程．

2 在作业本上完成例2、例

3

图1 图2 图3 图4 图5

课后自评：

勾股定理是数学史上极富色彩的一笔，涉及内容极为广泛，特别适合学生利用课余时间综合性的学习. 因此，我在五一长假期间布置了搜集勾股定理证明方法的作业. 学生搜集材料的热情和丰富程度是我始料不及的，超过了我们备课组几位老师搜集的材料总和. 那么多的证明方法，学生有的能看懂、有的看不懂、更多的似懂非懂，但特别好奇、感兴趣，作为教师，课时有限制、考试有要求、学生情感有需求、知识有局限，如何处理？

我整理了近两年全国各地中考试题，发现，勾股定理的证明方法常常出现在试题中. 有的很明显，如课上例1和作业第1题，熟悉赵爽弦图的学生必然能轻松应对；有的则很隐蔽，如课上例2，题目难度很大，表面看上去与勾股定理毫无瓜葛，但若能运用上欧几里得证明勾股定理的方法，困难迎刃而解. 我曾经和一个老师一起做这道题，由于我读过《原本》很快就解决了问题，而那位老师寻求其他方法花费了很长的时间. 这是让我决定选择这一课题一个直接的原因. 例3源自学生搜集到的材料，但在近些年的中考中，这类发散型、操作型、设计型题目的影子也常常出现.

综上，为了满足学生的好奇心、丰富学生的学习内容、落实学生对勾股定理一些常用方法的理解、紧密结合中考动态，我设计了这节课.

精选的三道例题运用了三种不同的证明勾股定理的方法，例1较易、例2较难、例3开放，前面的复习为三道例题提供铺垫，突出知

识的迁移和方法的运用.

自制的flash和几何画板课件，对突破教学难点（欧几里得面积法的理解和运用）、提高教学密度起到了重要的支持作用，三种方法的应用都有板书，起到了教学效果.

从教学的实际效果和课后作业看来，教学目标基本实现. 不足的是，教学时间的安排略显紧张. 由于所选的都是中考题，特别是例1，题目不难、但很长，阅读能力不是本课的训练重点，应该忍痛将题目改短后再使用. 课后作业的第1题也是中考原题，但因为是作业，让学生顺便训练一下数学阅读能力、体验一下中考题的感觉是可以的.