2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（一） (2)

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（二） (8)

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（三） (13)

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（四） (18)

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（五） (25)

2018年南京师范大学F113高等数学考研复试核心题库（一）

特别说明：

1-本资料为学员内部使用，整理汇编了2018考研复试重点题及历年复试常考题型。

2-资料仅供复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。————————————————————————————————————————一、解答题

1．注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？

图

【答案】如上图所示，设在t时刻容器中的水深为水的容积为

即

故

2．求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程：

（1）（其中C为任意常数）；

（2）（其中为任意常数）.

【答案】（1）将两端关于x求导

得即有将其代入中，得

（2）将关于x求二次导数，得

把以上两式看成是以与为未知量的线性方程组，解得

代入中，得

即

3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y）处的切线斜率等于2x+y.

【答案】设曲线方程为y=y（x），依题意有即

由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为

4．一向量的终点在点B（2,-1,7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4和7.求这向量的起点A的坐标.

【答案】设A点坐标为（x,y,z）,

则

由题意知

故x=-2,y=3,z=0,因此A点坐标为（-2-3,0）.

二、计算题

5．利用等价无穷小的性质，求下列极限：

【答案】

注：在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换.例如，本题中若将分子中的tanx、sinx均换成x,那么分子成为0,得出极限为0，这就导致错误的结果.

（4）

6．求由曲面及所围成的立体的体积.

【答案】由消去z，得，故所求立体在xOy面上的投影区域为

（图1）

所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差

图1

7．设求的间断点，并说明间断点所属类型.

【答案】函数在处无定义.

因为

所以为的第二类间断点.

又x=0为函数的分段点.

因为

所以为的第一类间断点（跳跃间断点）.

8．将函数展开成傅里叶级数

【答案】.是偶函数,故

因f（x）满足收敛定理的条件,且在上连续,故

三、证明题

9．设边形的个顶点按逆时针向依次为试利用曲线积分证明此边形的面积为

【答案】边形的正向边界由有向线段组成.

有向线段的参数方程为从变到于是

同理可求得

因此边形的面积为

10．利用二重积分定义证明:

（1）（其中为D的面积）；

（2）（其中k为常数）；

（3），其中为两个无公共内

点的闭区域.

【答案】（1）由于被积函数分f（x，y）=1,故由二重积分定义得

（2）

（3）因为函数f（x，y）在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变