华师一附中高考数学压轴题{名师精选}

１

1言必有据！照章办事！切记！！ 2画张图。

3回到定义中去！ 4弄清问题是什么！切记！

5“过程检验，边做边检查”是减少错误的最佳手段！ 习惯“过程检验”是保证正确率的有效手段！ 切记 切记

6大题的“基础问题”要慢、要准，绝对不许出错，否则将会导致后面的连贯问题会而不对，这种丢分太致命---求导、三角函数解析式、曲线方程、建系求点的坐标等 7不会的题目要“暂时放弃”，会做的题目一定拿到全分，不会的题要按步骤尽量多得分！不预定要考多少分，只看试卷中会的题目是否都做出来，会的题目分数都得到成绩必定突出！切记！

8高考数学不同于模拟题的很大一个特点是“绵里藏针”，即入门门槛低而出门门槛较高，不要认为会做 或见过的题目就放松警惕，要认真对待每一道考题。简单题满做

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对

称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.

解：

2．（14分）已知正项数列{}n

a 中，1

6a =，点()1

,n n n A a a

+在抛物线2

1y

x =+上；数列{}

n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.

（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；

（Ⅱ）若()()()

n n a f n b ??=???, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k

值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式

1

1202111111n n n

n a a n a b b b +-

≤??

????-++++

? ?????????

成立，求正数a 的取值范围.

２

3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;

(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.

求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= . 解:

4.（本小题满分14分）已知函数241

)x (f x

+=

)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4

1

,21( 对称;

(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m

n

(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和

;S m

(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=

, n 2n 1n b b b +=+. 设1

b 11b 11b 1T n 21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值. 解:

5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.

（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值. 解：

6．（14分）已知数列{}n a 中，11

3

a =

，当2n ≥时，其前n 项和

n S 满足2

221

n

n n S a S =

-， M

F

E

O

y

A

B

P x

３

（1） 求n S 的表达式及2

lim

n

n n

a S →∞的值；

（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3） 设3

3

11(21)

(21)

n b n n =-

+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <.

解：

7． (本小题满分14分)

设双曲线22

22b

y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，

P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→

--OP |2 = |→

-OQ ·→

--OR | ( O 为坐标原点)；

(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：

8. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解:

9. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？

４

(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]

1,[0,1]

x x x x +∈-??

-∈?，是否满足题设条件？

解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

43∈[–1，1]，v = 2

1

∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4

5

| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件.

10. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1

x x

+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证