初一数学竞赛系列讲座(5)
初一数学竞赛系列讲座(5)
代数式初步
一、一、知识要点 1、代数式
定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。 2、代数式的值
定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 3、列代数式
列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。 4、求代数式的值
代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
二、二、例题精讲
例1、轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b 分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。 解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b 则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S 逆流所用时间是b a -S ，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即 a b a b a S b a S 222S -= -+ + 评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。 例2一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。 A 、2121t t t t + B 、21212t t t t + C 、21212t t t t + D 、212 12t t t t + 分析：这是行程问题中的相遇问题。 解 部队的行军速度为2t a 米/分。t 1分钟内，队尾的战士比部队多走了a 米，则他的速度为1 12 t a t t a +?米/分 = ???? ??+12t a t a 米/分。他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为=? ??? ??+÷=???? ??++÷12212121t t t a t a t a a 212 12t t t t +(分) 选C 例3 若a A 、ax+by+cz B 、ax+cy+bz C 、bx+ay+cz D 、bx+cy+az 分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。因为是选择题，故可采用特值排除法来解。 解：∵a 评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。 例4 已知() 01221010111112126 2 1a x a x a x a x a x a x x ++++++=+- ，求 0281012a a a a a +++++ 的值。 分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。注意到求的是偶次幂项的系数和，故可将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到1012101112=++++++a a a a a a 和2970129101112=+-++-+-a a a a a a a ，相加除以2即可得所求的值。 解 将x=1代入已知等式，得1012101112=++++++a a a a a a 将x= -1代入已知等式，得2970129101112=+-++-+-a a a a a a a 两式相加，得2(0281012a a a a a +++++ )=730 ∴0281012a a a a a +++++ =365 评注：本题采用的是特值法。 例5 已知当x=7时,代数式ax 5 +bx-8=8,求x=7时,8225++x b x a 的值. 分析 代数式ax 5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现 将x=7代入,可整体地求出75a+7b 的值，从而问题得到解决。 解 由已知条件知：a ?75+b ?7-8=8，所以a ?75+b ?7=16 当x=7时，8 225++x b x a =21(a ?75+b ?7)+8=21?16+8=16 评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。 例6 若ab=1，求11++ +b b a a 的值 分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出 b a 1 = ，然后直接代入计算；如利用ab=1 巧秒地将式子中的“1”代换成ab ；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a 或b ，然后化成同分母进行计算。 解法1 由ab=1得b a 1=，从而11++ +b b a a =1111111111 =++=+++=+++b b b b b b b b b 解法2 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b ab a a 解法3 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b b ab ab 评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的代换是恒等变形中的常用技巧之一。 例7 若a 、b 、c 全不为零，且 11,11=+=+ c b b a 求证：11=+a c (1978丹东市数学竞赛试题) 分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b ，因而可设法从两已知等式中消去 b 。 证明：由 a b b a -==+ 1111得，由 c b c b 1111-==+得 两式相乘得 ()??? ??--=c a 1111 整理得c a c a = +1 去分母得ac+1=a ，因为a ≠0，故两边同除以a 得 11 =+ a c 评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。 例8 对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。 解 由已知条件知 1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ② x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。 例9已知代数式d cx b ax ++2 ，当1,,1o x -=时的值分别为－1，2，2，而且d 不等于0，问当2=x 时该代数式的值 是多少？(第11届希望杯数学竞赛培训题) 分析：所给代数式中含有4个字母a 、b 、c 、d ，将所给的三个x 取值代入，可得三个方程，要直接求出a 、b 、c 、d 的值不可能，但可将d 视为常数，从而三个方程可组成关于a 、b 、c 方程组，可将a 、b 、c 用d 表示出来，代入将代数式化简后求值。 解：将1,0,1-=x 分别代入该代数式，得到. 2;2;1=++=-=++-d c b a d b d c b a 由此可得 ;d c b a --=+- ).(2;2d c b a d b +=+- 将d b 2=代入第一个和第三个等式中，得,2d c d a --=+- ,222d c d a +=+ ∴d c a 3-=+-； .02=-c a 进而得到 .3,2,6d c d b d a === 将b a ,和c 代入代数式d cx b ax ++2中，得到d dx d dx d cx b ax ++=+-22326＝ d x d x )13()26(2++ 13262++=x x ；再将2=x 代入，得.13141)2(32262 =+?+? 即当2=x 时该代数式的值是. 1314 评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。 三、三、巩固练习 选择题 1、若代数式2y 2+3y+7的值是2，则代数式4y 2+6y-9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、9 2、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( ) A 、减少50% B 、减少75% C 、减少其值的6437 D 、减少其值的6427 3、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( ) A 、26 B 、28 C 、36 D 、38 4、在式子 4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的 值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc=1则c b a 111+ +的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定 6、如果1 1111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( ) A 、x 、y 、z 中至少有一个为1 B 、x 、y 、z 都等于1 C 、x 、y 、z 都不等于1 D 、以上说法都不对 填空题 7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是 8、已知 032)-(2 =-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2，n=c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+= * 则()()31*191211**= 11、如果2x 2-3x-1与a(x-1)2 +b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么=+c b a 12、如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b 、x+c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a= 解答题 13、已知 ()55443322105 12x a x a x a x a x a a x +++++=-， 求a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 14、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()b c a c b a c a b c b a c b c a b a c b a ----+ ----+----222 15、已知x-2y=2，求846 3---+y x y x 的值。 16、若abc=1，求111+++ +++++c ca c b b c b a ab a 的值 17、已知a+b+c=0，求3 111111+??? ??++??? ??++??? ??+b a c a c b c b a 的值。 18、已知y xy x y xy x y x ---+=-2232311，求 的值 19、已知ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406. 求1999(x+y)+6xy ()b a +- 217 的值 20、一个四位数，这个四位数与它的各项数字之和是1999，求这个四位数。