高考数学专题复习讲义_不等式

高考数学一轮专题复习之 不等式

不等式是历年高考的重点考查内容，其中不等式的性质和解不等式，特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何等问题的综合题型，将会继续出现在高考的中、高档题中。

下面根据高考中不等式的高频和热点考点进行分析，来全方位突破这个重点内容。

考点一 不等式的解法

不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式.

例1 （2012年重庆高考）不等式

1

021

x x -≤+的解集为( ) A ．1, 12??-

??? B ．1, 12??-???? C ．[)1, 1, 2??-∞-+∞ ??? D ．[)1, 1, 2?

?-∞-+∞ ??

?

导思：解分式不等式的一般过程是：“移项，通分，除化为乘，写解集”，本题直接除化为乘即可．

解析：原不等式等价于(1)(21)0x x -+<或10x -=，即1

12

x -

<<或1x =，所以不等式的解为1

12

x -

<≤，选A 例2 已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0

时

n

m n f m f ++)

()(＞0.

(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数；

(2)解不等式：f (x +21)＜f (1

1

-x )；

(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 导思：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.

(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2

121)

()(x x x f x f --+·(x 1

－x 2)

∵－1≤x 1＜x 2≤1，

∴x 1+(－x 2)≠0，由已知

2

121)

()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，

∴???

?

?

?

???

-<+≤-≤

-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.

考点二 基本不等式

基本不等式是不等式的核心内容，在应用过程中要注意其三部曲：一正(相关变量为正号)，二定(出现和或者积为定值)，三相等(验证等号成立的条件)，任何一个环节出现问题都会使问题解决出现偏差．基本不等式应用的难点是根据问题结构合理进行分拆、变形、组合、添加系数使之出现定值，在给定范围的条件下，尤为重要的是检验等号成立的条件，等号成立的条件不满足时，可以考虑用函数的单调性来处理． 例1 .已知54x <

，求函数1

4245

y x x =-+-的最大值. 导思：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解析：∵5

4

x <

∴540x ->

∴y=4x-2+

145x -=154354x x ?

?--++ ?-?

?≤-2+3=1 当且仅当1

5454x x

-=

-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =. ．

例2 下列不等式一定成立的是（ ）

A ．()21lg lg 04x x x ??

+

>> ???

B ．()1sin 2 , sin x x k k x π+≥≠∈Z

C ．()212x x x +≥∈R

D ．

()2

1

11

x x >∈+R 导思：主要是利用基本不等式进行判断或者证明，判断的过程中要特别注意使用“一正、二定、三相等”的条件．

解析：221||12||12||x x x x +=+≥?=．故选C ．

例3若对任意x ＞0，x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

导思： 先求

x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x

x 2＋3x ＋1

(x

＞0)的最大值小于等于a 即可．

解析： 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x

x 2＋3x ＋1的最大值即可，因

为x ＞0，所以y ＝

x

x 2＋3x ＋1

＝

1x ＋1x ＋3≤12 x ·

1x

＝1

5，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是????

??

15，＋∞

例4 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运．．．．．输成本．．．

（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．

（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 导思：：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解

解析：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h v

s ，全程运输成本为

)(2bv v

a

s v s bv v s a y +=?+?=．故所求函数为)(bv b a s y +=，定义域为)0(c v ，∈．

（2）由于v b a s 、、、都为正数，

故有bv b

a

s bv v a

s ??≥+2

)(，即ab s bv v a s 2)(≥+．

当且仅当

bv v a =，即b

a

v =时上式中等号成立． 若

c b a ≤时，则b

a v =时，全程运输成本y 最小； 当

c b

a

≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc c a s y +=．

综上可知，为使全程运输成本y 最小，在

c b a ≤时，行驶速度应为b

a v =； 在

c b

a

≤时，行驶速度应为c v =． 考点三 不等式的证明

高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.

例. 已知a ，b ∈R ，且a+b=1.求证：()()2

25222

2

≥

+++b a

导思：这是非常有代表性的不等式证明题，不同的分析切入点，会有丰富多彩的方法。 证法一：比较法，作差消b,化为a 的二次函数,

也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.

证法二：（放缩法）∵1a b +=, ∴左边＝()()

()()2

22

222222a b a b +++??+++≥????

()2125

422

a b =

++=????＝右边 证法三：（均值换元法）∵1a b +=，所以可设t a +=

21，t b -=2

1

， ∴左边＝()()

22

221122(2)(2)22a b t t +++=+++-+2

2

255252522222t t t ????

=++-=+≥ ? ?????

＝右边 当且仅当t=0时，等号成立. 证法四：（判别式法）

设y= (a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有1322)3()2(222+-=-++=a a a a y ， 所以013222=-+-y a a ，因为R a ∈，所以0)13(244≥-??-=?y ，即2

25

≥

y 故()()225

222

2

≥

+++b a .

考点四 线性规划

线性规划的基础是用不等式(组)表示平面区域，高考中解决线性规划问题，关键在于正确地作出可行区域，然后平行移动目标函数，从而找出最优解．由于线性规划与不等式和解析几何结合的紧密性，近年一些非线性规划问题，如求距离（平方）、斜率等，也炙手可热，复习中要注意加强训练．

例1 （2012年全国新课标）设x ，y 满足约束条件： , 0 ,1 ,3 ,x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

则2z x y =-的取值范围是

．

导思：先准确地画出约束条件表示的平面区域，即可行域，再利用图解 法直观地求出最优解．

解析：做出不等式所表示的区域如图１，由2z x y =-得11

22

y x z =

-， 平移直线12y x =

，由图象可知当直线经过点()3, 0D 时，直线11

22

y x z =- 的截距最小，此时z 最大，为23z x y =-=，当直线经过B 点时，直线

截距最大，此时z 最小，由 1 ,3 ,x y x y -=-??

+=?解得 1 ,

2 ,x y =??=?

即()1, 2B ，此时2143z x y =-=-=-，所以

33z -≤≤，即z 的取值范围是[]3, 3-．

考点五 不等式与其他知识渗透

不等式作为解题工具，可以有机渗透到函数、三角、数列、解析几何等知识中，形成中等题或者压轴题，命题老师对此乐此不彼，常考常新。 例．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.

(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求

()f x 的最小值；

(3)设函数()(),(,)h x f x x a =

∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 【解析】（1）若

(0)1f ≥，则2

0||111

a a a a a

≥?

（2）当x a ≥时，22

()32,f x x ax a =-+2

2min

(),02,0()

2(),0,033

f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<

()2,f x x ax a =+-2

min

2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

图1

综上22

min

2,0()2,03

a a f x a a ?-≥?=?

当66

22

a a ≤-

≥

或时，0,(,)x a ?≤∈+∞； 当6622a -<<时，△>0,得：223232()()033a a a a x x x a

?--+-?--≥??

>? 讨论得：当26

(

,)22

a ∈时，解集为(,)a +∞; 当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33

a a a a a --+-?+∞; 当22[,]22a ∈-时，解集为232[,)3

a a +-+∞.