2018届河北省邯郸市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

2018届河北省邯郸市高三第一次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数1z i =-+，则

22

z z z

+=+（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 2.若向量(21,)m k k =-与向量(4,1)n =共线，则m n ?=（ ） A ．0 B ．4 C ．92-

D ．172

- 3.已知集合2{|142}A x x =<-≤，{|23}B x x =>，则A

B =（ ）

A ．[2,)+∞

B ．(3,2][2,)--+∞

C ．(2,)+∞

D ．[3,2)(2,)--+∞

4.函数()cos()6

f x x π

π=-的图象的对称轴方程为（ ）

A ．2()3x k k Z =+

∈ B ．1

()3x k k Z =+∈ C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1

()3

x k k Z =-∈

5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

6. 若函数221,1

()1,1

x

x f x x ax x ?+≥?=?-++

A ．[2,3]

B ．[2,)+∞

C ．[1,3]

D ．[1,)+∞

7.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ） A ．

14 B ．14- C ．18 D ．1

8

-

8.若sin()3sin()αβπαβ+=-+，,(0,

)2

π

αβ∈，则

tan tan α

β

=（ ） A ．2 B ．

12 C ．3 D ．13

9.设双曲线Ω：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于

y 轴对称的两点P ，Q （P 在Ω的右支上），使得2122PQ PF PF +=，

O 为坐标原点，且POQ ?为正三角形，则Ω的离心率为（ ） A ．

62 B ．5

2

C ．6

D ．5 10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11.若函数

()

ln f x x

在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数.下列函数中为P 函数的序号为（ ） ①()1f x = ②()x f x = ③1

()f x x

= ④()f x x =

A ．①②④

B ．①③

C ．①③④

D ．②③

12.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径17R H =，则2

2

H PA

=（ ） A ．

2939 B ．3239 C ．3439 D ．35

39

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为 ．

14.若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则

n

m

= ． 15. 已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则

2n T = ．

16.若曲线2log (2)(2)x y m x =->上至少存在一点与直线1y x =+上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，22

41a c +=，且

8cos 1B =.

（1）求b ；

（2）证明：ABC ?的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.

18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：

①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.

（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）； （2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.

19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，13B E BE =，

M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN =.F 在棱1AA 上，且1A E DF ⊥.

（1）证明：1A E ⊥平面1C DF ； （2）若43

3

BM =

，求三棱锥E AFN -的体积. 20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：2

2y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在

点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C . （1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q ，且26PQ =，求抛物线1C 的方程； （2）证明：BOC ?的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值. 21.已知函数2

()3x

f x e x =+，()91

g x x =-. （1）求函数()4()x x xe x f x ?=+-的单调区间； （2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为23

3233x t t y t

?=?-?

?

?=?-?

（t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.

（1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()413f x x x =-+--. （1）求不等式()2f x ≤的解集；

（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.

高三数学详细参考答案（文科）

一、选择题

1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD

二、填空题

13.

36

π

14. 8 15. 22(1)4n n n +++- 16. (2,4] 三、解答题

17.（1）解：∵sin 20sin ab C B =，∴20abc b =，即20ac =， 则222cos b a c ac B =+-1

414068

=

-?=.

（2）证明：∵20ac =，22

41a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.

若4a =，5c =，则2225643

cos 2564

A +-=

=??，∴2cos 2cos 1cos 2B A A =-=，∴2B A =. 若5a =，4c =，同理可得2B C =.

故ABC ?的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍. 18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.

这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.

（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为

1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++1438

13111

=≈. （3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件. 在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为11

6

P =

， 获得5元的概率为216P =

， 获得2元的概率为342

63

P ==.

19.（1）证明：由已知得111A B C ?为正三角形，

D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥， 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥. 又11

11A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥.

易证1A E AD ⊥，又1AD

C D D =，∴1A E ⊥平面1AC D .

（2）解：连结1MB ，则11BB MB ⊥， ∵12BB =，433BM =

，∴123

3

MB =. 又11MD A B ⊥，∴3

3

MD =

. 由（1）知1C D ⊥平面AEF ，∴N 到平面AEF 的距离3

13

d DN ==+. 设1A E

DF O =，∵1A E DF ⊥，∴1

11AOD A B E ??， ∵13B E BE =，∴

11111B E A D A B A F =，∴113

4A F =，∴143A F =.

∴E AFN N AEF V V --=1122323d =

????23236

(1)9327

+=?+=

.

20.（1）解：由21

2y x x py

=+??=?，消去y 得2220x px p --=.

设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122x x p +=，122x x p =-.

∴211PQ =+2

(2)4(2)26p p ?--=，∵0p >，∴1p =.

故抛物线1C 的方程为2

2x y =.

（2）证明：由2222y px

x py

?=??=??，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .

设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与22x py =联立得22

1124(1)0x pk x p k ---=. 由222

111416(1)0p k p k ?=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.

设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与2

2y px =联立得22

2224(1)0k y py p k ---=.

由22222416(1)0p p k k ?=+-=，得22(12)0k -=，∴212

k =. 故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：1

2(2)2

y p x p -=-， 从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，

∴2

BOC S p ?=，2

3ABM

S p ?=，∴B O C ?的面积与四边形AOCM 的面积之比为222

1

32

p p p =-（为定值）. 21.解：（1）'()(2)(2)x x x e ?=--， 令'()0x ?=，得1ln 2x =，22x =； 令'()0x ?>，得ln 2x <或2x >； 令'()0x ?<，得ln 22x <<.

故()x ?在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. （2）()()f x g x >. 证明如下：

设()()()h x f x g x =-2

391x

e x x +-+，∵'()329x h x e x =+-为增函数， ∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈. 当0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <. ∴min 0()()h x h x =0200391x e x x =+-+， 又003290x

e x +-=，∴00329x

e x =-+，

∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--. ∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴min ()0h x >，()()f x g x >.

22.解：（1）∵

y t x =，∴23

3x y x

=-，即3(2)y x =-，

又0t >，∴23

30x

-

>，∴2x >或0x <，