精编2010各地中考数学压轴题详解(共21题)1233

2010年各地中考数学压轴题详解（精选21道）

1.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为

（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、

C 不重合），过点

D 作直线y ＝－

1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ．

（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE

的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【分析】（1）要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，只需求出这个三角形的底边OE 长（E 点横坐标）和高（D 点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，这时△ODE 的面积可用长方形OABC 的面积减去△OCD 、△OAE 、△BDE 的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．

【答案】（1）由题意得B （3，1）．

若直线经过点A （3，0）时，则b ＝3

2 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5

2

若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1

若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤

3

2

，如图25-a ，

此时E （2b ，0）

∴S ＝

12OE ·CO ＝12

32b 31＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即

32＜b ＜5

2

，如图2

此时E （3，3

2

b -

），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )

＝ 3－[

12(2b －1)×1＋12×(5－2b )2(52b -)＋1233(32

b -)]＝252b b - C D

B

A

E O

x

y

图1

D

E

x

y

C

B A

O

D

E

x

y

C

B A

O 图2

∴23

125352

22

b b S b b b ?<≤

??

=?

?-<

7.（甘肃兰州）28.（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、

AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当

411

=

t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2

第28题图

解：（1）因抛物线

c bx x y ++-=2

经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0） 故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为x x y 42

+-=…………………………………………1分

由x x y 42+-=()2

24y x =--+

得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P 不在直线ME 上. 已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)， 设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k

所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分

由已知条件易得，当

411=

t 时，OA=AP=411，)

411

,411(P …………………4分

∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.

1

-2

1 A x

y

O B

P

M

C Q E

D

∴ 当

411

t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分

②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2

+4t ) …………………………………6分

∴ AN=-t 2

+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2

+4 t )- t=-t 2

+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2

+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形

的高为AD ，∴ S=21DC 2AD=21

3332=3. （ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，

∴ S=21(CD+PN )2AD=21

[3+(-t 2+3 t )]32=-t 2

+3 t +3…………………8分 当-t 2

+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）

8.（江苏盐城）28．（本题满分12分）已知：函数y =ax 2

+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2

+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物

线y =ax 2

+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．

解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分)

当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 1

4

，此时，图象与x 轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14

x 2

+x +1……（3分）

A x y O B

（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．

∵y =ax 2

+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =1

4

x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分）

∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA

∴AO

BC OB

PC =，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）

设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )

∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14

x 2

+x +1…………………（6分）

解之得：x 1=-2，x 2=-10

∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）

（3）点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上……………………………………………（8分） 由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作

x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ

∴QE ∥MD ，QE =1

2

MD ，QE ⊥CE

∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB

∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1

2

CE =2QE =232BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =16

5

∴Q 点的坐标为(-185 ，16

5 )

可求得M 点的坐标为(145 ，32

5

)…………………………………………………（11分）

∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分)

9.（浙江台州）24．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A

时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ． （1）求证：△DHQ ∽△ABC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？

解：（1）∵A 、D 关于点Q 成中心对称，HQ ⊥AB ，

∴C HQD ∠=∠=90°，HD =HA ， ∴A HDQ ∠=∠，…………………………………………………………………………3分 ∴△DHQ ∽△ABC ． ……………………………………………………………………1分

（第24题） D

E

Q

B

A

C

P

H

（2）①如图1，当5.20≤

ED =x 410-，QH =x A AQ 4

3

tan =

∠， 此时x x x x y 415

2343)410(212+-=?-=． …………………………………………3分

当4

5=x 时，最大值3275

=y ．

②如图2，当55.2≤

ED =104-x ，QH =x A AQ 4

3

tan =

∠， 此时x x x x y 4

15

2343)104(212-=?-=． …………………………………………2分

当5=x 时，最大值4

75

=y ．

∴y 与x 之间的函数解析式为?????≤<-≤<+-=).

55.2(415

2

3),

5.20(415

2322x x x x x x y

y 的最大值是

4

75

．……………………………………………………………………1分 （3）①如图1，当5.20≤

若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 4

5

cos =∠， DE =x 410-，

∴x 410-=x 45，21

40

=x ．

显然ED =EH ，HD =HE 不可能； ……………………………………………………1分 ②如图2，当55.2≤

若DE =DH ，104-x =

x 45

，11

40=x ； …………………………………………1分 若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ； ………………………1分

若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ，

∴AD DH DH ED =，x x x x 2454

5104=

-，103320=x ． ……………………………………1分 ∴当x 的值为103

320

,

5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分）

10.（浙江金华）24.如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，

OB ，BA 上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

3

3

(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO-OB-BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．请解答下列问题：

（1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ；

（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合；

（3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为

菱形，则t 的值是多少？

② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29

=t ；……4分（各2分）

（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1）

∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒

又∵t FG OE 33

=

=,∠=A 60°,∴t FG AG 3160

tan 0== 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 3

2

=-=

由t t 323=-得 5

9

=t ；……………………………………………1分

当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时，

过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2）

∵t OE 33=

,∴t BE 33

33-=,∴3360tan 0t BE EF -== ∴6

921t

EF EH MP -===， 又∵)6(2-=t BP

在Rt △BMP 中，MP BP =?060cos

即6921)6(2t t -=?-，解得7

45

=t ．……………………………1分

②存在﹒理由如下：

B F A P E O x y

l (第24题图) y

B F A P E

O x y G P ′

(图1)

B F

A P E O

x

y M P ′

H （图2)

B

∵2=t ，∴33

2

=

OE ,2=AP ，1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到 △EC B '（如图3）

∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上，

C 点坐标为（332，33

2

－1）

过F 作FQ ∥C B '，交EC 于点Q ,

则△FEQ ∽△EC B '

由

3=='=QE CE FE E B FE BE ，可得Q 的坐标为（－3

2

，33）………………1分 根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－

3

2

，3）也符合条件．……1分

11.（辽宁丹东）26．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），

点N 的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积

S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?

若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．

写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． 2222222222222222 1分 ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） 2222222222222222222 3分 （写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2

y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），

∴4c =．则抛物线关系式为2

4y ax bx =++． 2222222222222 4分 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得

3664464840a b a b ++=??

++=?，

．

222222222222222222222222222 5分 解得1432

a b ?=-????=??，． 2222222222222222222222222222 6分 x y O M N（-6，-4）

H（-8，0）

O M N H A C E F D B ↑ → －8

(－6，－4) x

y

所求抛物线关系式为：213

442

y x x =-

++． 222222222222222 7分 （3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． 222222222222222 8分

∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 2

1=OA （AB +OC ）12-AF 2AG 12-OE 2OF 1

2-CE 2OA

m m m m m 421

)8(21)4(2186421?-----+??=

）（ 2882

+-=m m （ 0＜m ＜4） 2222222222222 10分

∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．

又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． 222222222222 12分

（4）当226m =-+时，GB =GF ，当2m =时，BE =BG ． 22222222222 14分

12.（湖南益阳）20.如图9，在平面直角坐标系中，已

知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，0），B （6，0），C （0，3）.

(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； (2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标； (3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.

解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为)0(32

≠++=a bx ax y ，则

??

?=++=+-036360324b a b a ， 解得?????

=-

=1

41b a ∴抛物线的解析式为34

12

++-=x x y ……………………………4分

⑵ D 的坐标为)3,4(D ……………………………5分

直线AD 的解析式为121+=x y 直线BC 的解析式为32

1

+-=x y

由???

????

+-=+=321121x y x y

求得交点E 的坐标为)2,2( ……………………………8分 ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(

又∵

E )2,2(，)3,4(),3,0(D C

∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥

∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12分

13.（江苏宿迁）28．（本题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=2

交x 轴于)0,1(A 、

)0,3(B ，交y 轴于点C ，其顶点为D ．

（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；

P

A

C

D

E

B

o

x

y 1

-1

1

（2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；

（3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的3

1

？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分

(2) 抛物线的解析式为342

+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE ∵?OBC 是等腰直角三角形，?DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=

45 ∴OE ∥BD

∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ?和EBF Rt ?中，

OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF ∴OD= BE

∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分

(3) 存在， ………………8分

由题意得：2

9

332121=??=?=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ）， 由题意得：y y OB S OBQ 2321=?=三角形=2

3293131=?=ODBE S 四边形 ∴1±=y

当y=1时，即1342

=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，

∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分 当y=-1时，即1342

-=+-x x ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1）

综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1） 使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形3

1

． ………………12分

14.（山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．

x y

O D

C B A （第28题） E

M x

y

O D

C B A

（第28题2）

E F Q 1

Q 3 Q 2

如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？

（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2

），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

解：（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，

∴AP = AQ .

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC . ∴CE = CQ .

由题意知：CE = t ，BP =2 t ， ∴CQ = t . ∴AQ = 8－t . 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

则AP = 10－

2 t .

∴10－2 t = 8－t .

解得：t = 2.

答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上. 22222 4分

（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，

∴90BMP ∠=?.

在Rt△ABC 和Rt△BPM 中，sin AC PM

B AB BP

==

， ∴8210PM t = . ∴PM = 8

5

t .

∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .

∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ?－12BE PM ?= 1682??－()18

6t t 25

?-?

=24242455t t -+ = ()2484355t -+. ∵4

05

a =>，∴抛物线开口向上.

∴当t = 3时，y 最小=84

5

.

答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845

cm 2

…………8分

（3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.

过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ， ∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=?.

∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC .

A D

B C F （ E ） 图（1） A D B C F E 图（2）

P Q A B C 图（3） 图（2） Q A D B C F E P M A

∴

PN AP AN

BC AB AC ==

. ∴1026108

PN t AN -==

. ∴665PN t =-，8

85

AN t =-.

∵NQ = AQ －AN ，

∴NQ = 8－t －(885t -) = 3

5

t ．

∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ . ∵∠FQC = ∠PQN ， ∴△QCF ∽△QNP .

∴PN NQ FC CQ = . ∴636559t t

t t

-=- . ∵0t <<4.5 ∴

663595

t

t -=- 解得：t = 1.

答：当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上. ……………… 12分

15.（山东威海）25.（12分） （1）探究新知：

①如图，已知AD ∥BC ，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．

②如图，已知AD ∥BE ，AD ＝BE ，AB ∥CD ∥EF ，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线

EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．

（2）结论应用：

如图③，抛物线c bx ax y ++=2

的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴

于点D ．试探究在抛物线c bx ax y ++=2上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD

的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．

﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚

﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ． ∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． A

B D

C

M

N

图 ①

A

备用图

C

D

B

O

x

y A

图 ③

C

D

B

O

x

y C

图 ② A

B

D

M

F

E

G

D C M N

∴ AB ∥CD ． ∴ ME = NF ．

∵S △ABM ＝ME AB ?21，S △ABN ＝NF AB ?21，

∴ S △ABM ＝ S △ABN ． ……………………………………………………………………1分 ②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ． 则∠DHA =∠EKB =90°． ∵ AD ∥BE ， ∴ ∠DAH =∠EBK ． ∵ AD ＝BE ， ∴ △DAH ≌△EBK ．

∴ DH =EK ． ……………………………2分

∵ CD ∥AB ∥EF ，

∴S △ABM ＝DH AB ?21，S △ABG ＝EK AB ?21，

∴ S △ABM ＝ S △ABG . …………………………………………………………………3分

﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分

解：因为抛物线的顶点坐标是C (1，4)，所以，可设抛物线的表达式为4)1(2

+-=x a y .

又因为抛物线经过点A (3，0)，将其坐标代入上式，得()41302

+-=a ，解得1-=a .

∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322

++-=x x y ． ………………………5分

∴ D 点坐标为（0，3）．

设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．

过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-．

∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2． …………………………………………………………6分

设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322

++-m m ．

过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ． 由﹙1﹚可知：若EP ＝CH ，则△ADE 与△ADC 的面积相等． ①若E 点在直线AD 的上方﹙如图③-1﹚， 则PF =m -3，EF ＝322++-m m ． ∴ EP ＝EF －PF ＝)3(322

m m m --++-=m m 32

+-．

∴ 232

=+-m m ．

解得21=m ，12=m ． ……………………………7分

当2=m 时，PF =3－2＝1，EF=1+2＝3．

∴ E 点坐标为（2，3）．

同理 当m =1时，E 点坐标为（1，4），与C 点重合． ………………………………8分 ②若E 点在直线AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚，

则

m m m m m PE 3)32()3(2

2-=++---=． ……………………………………………9分 ∴232

=-m m ．解得

21733+=

m ，217

34-=

m ． ………………………………10分

当

2173+=m 时，E 点的纵坐标为217

1221733+-

=-+-；

当2173-=

m 时，E 点的纵坐标为217

1221733+-=

---．

∴ 在抛物线上存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等，E 点的坐标为

H C 图 ② A B D M F E

G K

A

图 ③-1

C D

B

O

x

y

H

G F

P

E

E 1（2，3）；)21712173(

2+-+，E ；)217

12173(3+--，E ． ………………12分

﹙其他解法可酌情处理﹚

16.（浙江绍兴）24.

如图,设抛物线C 1:()512

-+=x a y , C 2:()512

+--=x a y ,C 1与C 2

的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2. （1）求a 的值及点B 的坐标；

（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,

在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的 直线为l ,且l 与x 轴交于点N .

① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为

(1, 2)，求点N 的横坐标； ② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横 坐标的取值范围.

解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512

-+=x a y 得 a =1.

∴ 抛物线C 1的解析式为422-+=x x y ,

设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . （2）①如图1，

∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E,

由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,

由△MEG ∽△MHN ,得 HN

EG

MH ME =, ∴ 1

3

54-=x , ∴ =x 1345+, ∴ 点N 的横坐标为134

5

+．

A

图③－3

C

D

B

O

x

y

H

G

F

P

E

A

图③－2

C

D

B

O

x

y

H

G F P

E

第24题图

第24题图1

② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2， 直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F , 设Ｎ（x ，0），

∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2), ∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5. ∵ △NGQ ∽△NMF ，

∴

MF

GQ

NF NQ =, ∴ 521322=---x x ,

∴ 3

8310+=x .

当点D 移到与点B 重合时,如图3， 直线l 与DG 交于点D ,即点B , 此时点N 的横坐标最小.

∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4), 设N （x ，0），

∵ △BHN ∽△MFN ， ∴ MF

BH

FN NH =， ∴

5412=-+x x , ∴ 3

2

-=x . ∴ 点N 横坐标的范围为 32-≤x ≤3

8

310+.

17.（山东济宁）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交

y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，

C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的

面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

第24题图2

第24题图3

A

x

y

B

O

C

D

(第23题)

解：（1）设抛物线为2(4)1y a x =--.

∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴1

4

a =. ∴抛物线为2211

(4)12344

y x x x =

--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分

证明：当

21

(4)104

x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴223213AB =+=.

设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴

CE BC

OB AB =.∴62213CE -=.∴8213

CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为1

32y x =-

+.………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，1

32

m -+）.

∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+.

∵22

113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+,

∴当3m =时，PAC ?的面积最大为27

4

.

此时，P 点的坐标为（3，3

4

-）. …………………………………………10分

18.(四川南充)22.已知抛物线2

142

y x bx =-

++上有不同的两点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+．

（1）求抛物线的解析式． （2）如图，抛物线2

142

y x bx =-

++与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，M 为AB 的中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ ＝45°，MP 交y 轴于点C ，MQ 交x 轴于点D ．设AD 的长为m （m ＞0），BC 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式．

B

A

M

C

D

O

P

x

y

（3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边过点F ．

11. 解：（1）抛物线2

142

y x bx =-

++的对称轴为122b

x b =-=???- ???

． ……..（1分）

∵ 抛物线上不同两个点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+的纵坐标相同， ∴ 点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则 (3)(1)

12

k k b ++--==，且k ≠－2．

∴ 抛物线的解析式为2

142

y x x =-++． ……..（2分） （2）抛物线2

142

y x x =-

++与x 轴的交点为A （4，0），与y 轴的交点为B （0，4）， ∴ AB ＝42，AM ＝BM ＝22． ……..（3分） 在∠PMQ 绕点M 在AB 同侧旋转过程中，∠MBC ＝∠DAM ＝∠PMQ ＝45°， 在△BCM 中，∠BMC ＋∠BCM ＋∠MBC ＝180°，即∠BMC ＋∠BCM ＝135°， 在直线AB 上，∠BMC ＋∠PMQ ＋∠AMD ＝180°，即∠BMC ＋∠AMD ＝135°． ∴ ∠BCM ＝∠AMD ．

故 △BCM ∽△AMD ． ……..（4分） ∴

BC BM AM AD =，即 22

22

n m =，8n m =． 故n 和m 之间的函数关系式为8

n m =

（m ＞0）． ……（5分） （3）∵ F 2

(1,1)k k ---+在2142

y x x =-++上，

∴ 22

1(1)(1)412

k k k ---+--+=-+，

化简得，2

430k k -+=，∴ k 1＝1，k 2＝3．

即F 1（－2，0）或F 2（－4，－8）． ……（6分） ①MF 过M （2，2）和F 1（－2，0），设MF 为y kx b =+，

则 2220.k b k b +=??-+=?， 解得，121.k b ?

=???=?

，

∴ 直线MF 的解析式为112y x =+．

直线MF 与x 轴交点为（－2，0），与y 轴交点为（0，1）． 若MP 过点F （－2，0），则n ＝4－1＝3，m ＝

8

3

； 若MQ 过点F （－2，0），则m ＝4－（－2）＝6，n ＝

4

3

． ………（7分） ②MF 过M （2，2）和F 1（－4，－8），设MF 为y kx b =+，

则 2248.k b k b +=??-+=-?， 解得，53

4.

3k b ?=????=-??， ∴ 直线MF 的解析式为5433y x =-．

直线MF 与x 轴交点为（

45，0），与y 轴交点为（0，43

-）． 若MP 过点F （－4，－8），则n ＝4－（43-）＝163，m ＝3

2；

若MQ 过点F （－4，－8），则m ＝4－45＝165，n ＝5

2

． ……（8分）

故当118,33,m n ?

=???=?

226,

4,3m n =???=??

333,2163m n ?=???

?=??或4416,5

52

m n ?

=????=??时，∠PMQ 的边过点F ．

19.(湖北黄冈)25．（15分）已知抛物线

2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过

抛物线上一点P （x ，y ）向直线5

4

y =作垂线，垂足为M ，

连FM （如图）.

（1）求字母a ，b ，c 的值；

（2）在直线x ＝1上有一点3

(1,)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形； （3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），

使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由. 25．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1

132

+

.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞5

4

，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.

20.（浙江衢州）24. (本题12分)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB =23．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O (如图)，△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．

(1) 当点B 在第一象限，纵坐标是6

2

时，求点B 的横坐标；

(2) 如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴经过点C ，请你探究：

① 当54a =

，1

2

b =-，355

c =-时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ② 设b =-2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B

两点不可能同时在这条抛物线上？

若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1) ∵ 点O 是AB 的中点， ∴ 1

32

OB AB =

=． ……1分 设点B 的横坐标是x (x >0)，则22

26()(3)2

x +=，

……1分

解得 162x =

，262

x =-(舍去)． ∴ 点B 的横坐标是6

2

． ……2分

(2) ① 当54a =，1

2

b =-，355

c =-时，得 25135425y x x =-- ……(＊) 255135()4520y x =--． ……1分

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C 在第一象限(如图甲)，则点C 的横坐标为5

5

，

3

tan 30313

OC OB =??=?=． ……1分

由此，可求得点C 的坐标为(55，25

5

)， ……1分

点A 的坐标为(2155-，15

5

)，

∵ A ，B 两点关于原点对称，

∴ 点B 的坐标为(2155，15

5

-)．

将点A 的横坐标代入(＊)式右边，计算得15

5，即等于点A 的纵坐标；

将点B 的横坐标代入(＊)式右边，计算得15

5

-，即等于点B 的纵坐标．

∴ 在这种情况下，A ，B 两点都在抛物线上． ……2分

情况2：设点C 在第四象限(如图乙)，则点C 的坐标为(55，-25

5

)，

点A 的坐标为(2155，155)，点B 的坐标为(2155-，15

5

-)．

经计算，A ，B 两点都不在这条抛物线上． ……1分 (情况2另解：经判断，如果A ，B 两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A ，B 两点不可能都在这条抛物线上)

② 存在．m 的值是1或-1． ……2分 (22()y a x m am c =--+，因为这条抛物线的对称轴经过点C ，所以-1≤m ≤1．当m =±1

时，点C 在x 轴上，此时A ，B 两点都在y 轴上．因此当m =±1时，A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上)

O

y x C B

A

1

1 -1

-1 O y x

C B

A (甲) 1

1 -1

-1

O

y x C B A

(乙)

1

1 -1

-1

21.（山东莱芜）24.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2交x 轴于

)0,6(),0,2(B A 两点，交y 轴于点)32,0(C .

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线x y 2=交于点D ，作⊙D 与x 轴相切，⊙D 交y 轴于点E 、F 两点，求劣弧EF 的长； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于x 轴，垂足为点G ，试确定P 点的位置，使得△PGA 的面积被直线AC 分为1︰2两部分.

解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2经过点)0,2(A ，)0,6(B ，)320(，C ．

∴?????==++=++320636024c c b a c b a ， 解得????

??

???=-==

3233463

c b a . ∴抛物线的解析式为：3233

4632+-=

x x y . …………………………3分 （2）易知抛物线的对称轴是4=x .把x =4代入y =2x 得y =8，∴点D 的坐标为（4,8）．

∵⊙D 与x 轴相切，∴⊙D 的半径为8． …………………………4分 连结DE 、DF ，作DM ⊥y 轴，垂足为点M ． 在Rt △MFD 中，FD =8，MD =4．∴cos ∠MDF =

2

1． ∴∠MDF =60°，∴∠EDF =120°． …………………………6分

∴劣弧EF 的长为：

π=?π?3

16

8180120． …………………………7分 （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b . ∵直线AC 经过点)32,0(),0,2(C A .

∴???==+3202b b k ，解得?????=-=3

23

b k .∴直线AC 的解析式为：323+-=x y . ………8分

设点)0)(3233

4

63,

(2<+-m m m m P ，PG 交直线AC 于N ， 则点N 坐标为)323,(+-m m .∵GN PN S S G NA PNA ::=??.

∴①若PN ︰GN =1︰2，则PG ︰GN =3︰2，PG =2

3

GN .

即3233

4

632+-m m =）（32323+-m .

解得：m 1=－3， m 2=2（舍去）. 当m =－3时，

3233

4

632+-m m =

3215. ∴此时点P 的坐标为)32

15

,3(-. …………………………10分 ②若PN ︰GN =2︰1，则PG ︰GN =3︰1， PG =3GN . 即

3233

4

632+-m m =）（3233+-m . x y O A C B D

E

F P

G N

M

（第24题图） x

y

O A

C B

D

E

F

解得：121-=m ，22=m （舍去）.当121-=m 时，3233

4632+-m m =342. ∴此时点P 的坐标为)342,12(-. 综上所述，当点P 坐标为)32

15

,

3(-或)342,12(-时，△PGA 的面积被直线AC 分成1︰2两部分． …………………12分

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于

点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形

根据轴对称知，∠MED ＝∠NED

又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形．

过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，

由题易知，tan ∠DEN ＝1

2

，DH ＝1，∴HE ＝2，

设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴54

a = ∴S 四边形DNEM ＝NE 2DH ＝

54

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

54

． 【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理

【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

【推荐指数】★★★★★

2.26.（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=

2

2

1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最

大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，

若不存在，说明理由.

A B C

E

D

x y o A B C

x

y o 图3

H

N M

C 1

A 1

B 1

O 1

D

E

x

y C

B

A O