2017届广西桂林、百色、梧州、北海、崇左五市高三第二次模拟考试(二模)试卷 文科数学

2017届广西桂林、百色、梧州、北海、崇左五市高三

第二次模拟考试（二模）试卷

文科数学

第I 卷：选择题共60分

一 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）

1．已知全集U R =，集合{}|(1)(2)0M x x x =-+≥，{}|12N x x =-≤≤，则()U M N = e（ ） A ．[]2,1-- B ．[]1,2-

C ．[1,1)-

D ．[]1,2

2．在复平面内，复数21(1)1

i

i +-+对应的点在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．在ABC ?中，90B ∠=?，(1,2)AB =- ，(3,)AC λ=

，则λ=（ ）

A ．1-

B ．1

C ．

32

D ．4

4．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是（ ）

①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个； ②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长； ③去年同期的GDP 总量前三位是江苏、山东、浙江；

④2016年同期浙江的GDP 总量也是第三位． A ．①②

B ．②③④

C ．②④

D ．①③④

5．在{}3,5和{}2,4两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是（ ） A ．

1

2

B ．

13

C ．

14

D ．

16

6．若函数()2sin (01)f x x ωω=<<在区间0,

3π??

????

上的最大值为1，则ω=（ ） A ．

1

4

B ．

13 C ．

12

D

7．若11

log 3

a π=，3

b e π

=，31log cos 5c π=，则（ ）

A ．b c a >>

B ．b a c >>

C ．a b c >>

D ．c a b >>

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B =（ ）

A ．15

B ．29

C ．31

D ．63

9．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =

，b =，30A =?，B 为锐角，那么角::A B C 的比值为（ ） A ．1:1:3

B ．1:2:3

C ．1:3:2

D ．1:4:1

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A

．20+

B

．12+

C

．20+

D

．12+

11．α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，下列命题正确的是（ ）

A ．若m αβ= ，n α?，m n ⊥，则αβ⊥

B ．若αβ⊥，m αβ= ，n αγ= ，则m n ⊥

C ．若m 不垂直平面，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线

D ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ

12．设P 为双曲线2

2

115

y x -=右支上一点，M ，N 分别是圆22(4)4x y ++=和22(4)1x y -+=上

的点，设||||PM PN -的最大值和最小值分别为m ，n ，则||m n -=（ ） A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

第II 卷：非选择题共90分

二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知实数x ，y 满足不等式组12,11,

x y x y ≤+≤??

-≤-≤?则1

1y z x +=+的最大值是 ．

14．ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，5b =，b c >，ABC ?

的面积为

，则c = ．

15．圆2

2

221x y +=与直线sin 10x y θ+-=（R θ∈，2

k π

θπ≠+，k Z ∈）的位置关系是

（横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填）．

16．直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，则||AB 的最小值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.）

17．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足：422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，设{}n b 的前n 项和为n S ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设16

n n S b n

+=，数列{}n b 是否存在最小项？若存在，求出该项的值；若不存在，请说明理由．

18．（12分）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y （单位：万件）之间的关系如表：

（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；

（Ⅱ）根据散点图选择合适的回归模型拟合y 与x 的关系（不必说明理由）； （Ⅲ）建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量．

附注：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

1

1

2

2

211

()()()n n

i

i

i i

i i n

n

i i i i x x y y x y nx y

b

x x x nx ====---==

--∑∑∑∑ ， a

y bx =- ．

19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，且2EC FB =． （Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11ACC A ；

（Ⅱ）若2AB EC ==，求三棱锥C AEF -的体积．

20．（12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x

轴上，离心率e <．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为23 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若点00(,)P x y 为椭圆C 上一点，直线l 的方程为0034120x x y y +-=，求证：直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．

21．（12分）设函数()ln 22f x x ax a =-+，2

()()g x xf x ax x =+-（a R ∈）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()g x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C

的参数方程为3cos ,

x y αα

=???=??（α为参数）．以坐标原点为极点，

以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos()3

π

ρθ+=．

（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．

23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1

()||2f x x a a

=-+

（0a ≠）． （Ⅰ）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （Ⅱ）当1

2

a <

时，函数()()|21|g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围．

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第二次模拟考试（二模）试卷

文科数学答案

一、选择题

1-5:CBABC

6-10:CBDBA

11、12：DC

二、填空题

13．2

14

15．相离

16．2

三、解答题

17．解：（Ⅰ）根据题意，等差数列{}n a 中，设公差为d ，422a a =，且1a ，4，4a 成等比数列，10a >，

即1111

32(),

(3)16,a d a d a a d +=+???+=?解得12a =，2d =，

所以数列{}n a 的通项公式为1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=． （Ⅱ）数列{}n b 存在最小项4b ．理由如下： 由（Ⅰ）得，2(1)

222

n n n S n n n -=+

?=+， ∴16n n S b n

+

=216

16119n n n n n ++==++≥=，

当且仅当4n =时取等号，

故数列{}n b 的最小项是第4项，该项的值为9． 18．解：（Ⅰ）作出散点图如图：

（Ⅱ）根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：

可得52x =

，69

2

y =． 所以1

2

221

569

4184732255304()2

n

i i

i n

i i x y nx y

b

x nx

==--??

==

=-?-∑∑ ， a y bx =- 697352252=-?=-． 故y 对x 的回归直线方程为 73

25

y x =-． （Ⅲ）当5x =时， 73

52715

y =

?-=． 故第5年的销售量大约71万件．

19．（Ⅰ）证明：取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则

1

2

MG EC BF =

=， 又////MG EC BF ，

∴MBFG 是平行四边形，故//MB FG ．

∵MB AC ⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =， ∴MB ⊥平面11ACC A ，而//BM FG ， ∴FG ⊥平面11ACC A ， ∵FG ?平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面11ACC A ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得FG ⊥平面AEC

，FG BM ==，