2014～2016年高考文科汇编专题：第八章立体几何初步(含答案精析)
第一节 空间几何体的结构及其三视图、直观图
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A.1 B. 2 C.3D.2
第1题图 第2题图
2.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.13＋2π B.13π6 C.7π3D.5π2
3.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π＋4
D.3π＋4
第3题图 第4题图
4.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3D.40
3
cm 3
5.(2015·福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(
)
A.8＋2 2
B.11＋2 2
C.14＋2 2
D.15
6.(2014·辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
A.8－π4
B.8－π2
C.8－π D .8－2π
7.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A.72 cm 3 B.90 cm 3 C.108 cm 3
D.138 cm 3
8.(2014·新课标全国Ⅰ，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(
)
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
9.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，
则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.1727
B.59
C.1027
D.13
10．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
11.(2014·北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·成都市一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是( )
2.(2016·湖南衡阳大联考)如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( ) A.4B.4 2 C.43D.8
3.(2016·桂林市一调)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(
)
4.(2016·石家庄二中一模)如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值为(
)
A.4
B.5
C.3 2
D.3 3
5.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2015·山西质量监测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )
A.152
B.6＋ 3
C.3
2
＋3 3 D.4 3
7.(2015·江西师大附中、宜春中学联考)某几何体的直观图如图所示，该几何体的
正视图和侧视图可能正确的是( )
8.(2015·辽宁沈阳质量监测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )
A.1
B.5
2
C. 6
D.2 3
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析四棱锥的直观图如图所示，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面四边形ABCD 为正方形且边长为1，最长棱长P A ＝12＋12＋12＝ 3.
答案C
2.解析该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成， 其体积为V ＝π×12×2＋12×13π×12×1＝2π＋π6＝13π
6.
答案B
3.解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2， 则表面积为：S ＝2×12π×12＋1
2×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝4＋3π.
答案D
4.解析由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm 的正方体与底面为边长为2 cm 正方形、高为2 cm 的四棱锥组成，V ＝V 正方体＋V 四棱锥＝8 cm 3＋83 cm 3＝32
3 cm 3.故选C.
答案C
5.解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱．
S 表＝2×1
2
(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×2＝11＋22，故选
B.
答案B
6.解析该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体， 其体积V ＝23－1
4×π×12×2×2＝8－π，故选C.
答案C
7.解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，
则该几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 三棱柱＝4×6×3＋1
2×4×3×3＝90(cm 3)．
答案B
8.解析由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱， 答案B
9.解析由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V 1＝π·22·4＋π·32·2＝34π，原来的圆柱体毛坯的体积为V ＝π·32·6＝54π，则切削掉部分的体积为V 2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为20π54π＝10
27.故选C.
答案 C
10.解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，
底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以其体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝8
3π.
答案8
3
π
11.解析三视图所表示的几何体的直观图如图所示．
结合三视图知，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，AB ＝BC ＝2，AC ＝2， 所以PB ＝P A 2＋AB 2＝4＋2＝6，PC ＝P A 2＋AC 2＝22， 所以该三棱锥最长棱的棱长为2 2. 答案22
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析由题意知，俯视图的长度和宽度相等，故C 不可能. 答案C
2.解析由三视图可知，几何体直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，
其面积为1
2×2×42＝4 2.
答案B
3.解析只有C 项合适. 答案C
4.解析 由三视图知该几何体是一个直三棱柱和一个三棱锥的组合体，
如图所示.由图知AC 和BD 的长为几何体上任意两点间的距离的最大值，即为32＋32＋32＝33，故选D. 答案 D
5.解析满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示， 易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形. 答案D
6.解析由题意得该几何体的侧视图由一个底为3，高为3的等腰三角形和一个长为3， 宽为2的矩形组成，则其面积为12×3×3＋2×3＝15
2，故选A.
答案A
7.解析将几何体置于正方体中，正视图和侧视图可能正确的是A ，故选A. 答案A
8.解析由三视图在正方体中画出该几何体为三棱锥DABC ，
计算得知面积最大的面为平面ABD ，其面积为1
2×22×（22）2－（2）2＝23，
答案D
第二节 空间几何体的表面积与体积
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅱ，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A.12π B.32
3π C.8π
D.4π
2.(2016·新课标全国Ⅱ，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
3.(2016·新课标全国Ⅲ，10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A.18＋365
B.54＋18 5
C.90
D.81
4.(2016·新课标全国Ⅲ，11)在封闭的直三棱柱ABCA 1B 1C 1内有一个体积为V 的球， 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π B.9π
2 C.6π
D.32π3
5.(2016·新课标全国Ⅰ，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相
垂直的半径.若该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是( )
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
6.(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
B.13＋23π
C.13＋26π
D.1＋26
π 7.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A.1
B.2
C.4
D.8
8.(2015·新课标全国Ⅱ，10)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B .64π C.44π D .256π
9.(2015·安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A.1＋3
B.1＋2 2
C.2＋3
D.2 2
10.(2015·新课标全国Ⅰ，6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛B.22斛 C.36斛D.66斛
11.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.18
B.17
C.16
D.15
12.(2015·山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3
B.42π3
C.22π
D.42π
13.(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料
利用率＝新工件的体积
/原工件的体积)( )
A.89π
B.827π
C.24 2－1 3π
D.8 2－1 3π
14.(2014·新课标全国Ⅱ，7)正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥AB 1DC 1的体积为( ) A.3 B.32
C.1
D.
32
15.(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.12
B.18
C.24
D.30
16.(2014·陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B .3π C.2π D .π
17.(2016·浙江，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.
18.(2016·四川，12)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.
19.(2016·北京，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.
20.(2015·四川，14)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________．
21．(2014·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.
22.(2014·山东，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
23.(2015·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
24.(2015·湖南，18)如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点． (1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；
(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积． 25.(2014·广东，18)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，
BC ＝PC ＝2.作如图2折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF
.
(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥MCDE 的体积．
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
A.45，8
B.45，8
3
C.4(5＋1)，8
3
D.8，8
2.(2016·厦门市质检)如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点， 则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )
A.13
B.512
C.36
D.16
3.(2016·江西八所重点中学联考)如图，网格纸中的小正方形的边长均为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为( )
A.1
2
(22＋2＋4) B.1
2
(22＋32＋4)
C.1
2(22＋32＋8) D.1
2
(22＋22＋4) 4.(2015·湖北八校联考)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )
A.143
B.4
C.103
D.3
5.(2015·东北三校联考)点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3，则这个球的表面积为( )
A.125π6
B.8π
C.25π4
D.25π16
6.(2016·河南适应性测试)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是
________cm 3.
7.(2015·豫西五校联考)如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析由题可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，
所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A. 答案A
2.解析由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，
所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝1
2×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，
所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 答案C
3.解析由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45， 几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5. 答案B
4.解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4，三棱柱的高为3， 所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.
答案B
5.解析由题知，该几何体的直观图如图所示，
它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的1
8后得到的组合体，其表面积是
球面面积的78和三个1
4
圆面积之和.
易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×1
4π×22＝17π，故选A.
答案A
6.解析 由三视图知，半球的半径R ＝
2
2
，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥， ∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×????223＝13＋26π，故选C.
答案 C
7.解析由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，∴r ＝2.
答案B 8.解析如图，
要使三棱锥OABC 即COAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ， 则V OABC 最大＝V COAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，
所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.选C. 答案C
9.解析由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示．
∴其表面积S 表＝2×12×2×1＋2×3
4×(2)2＝2＋3，故选C.
答案C
10.解析由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ＝320
9(立方尺)．
所以堆放的米大约为320
9×1.62≈22(斛)．
答案B
11.解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA 1B 1D 1.
设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 VAA 1B 1D 1VB 1C 1D 1ABCD ＝VAA 1B 1D 1VA 1B 1C 1D 1ABCD －VAA 1B 1D 1＝13×12×12
×113－13×12×12×1
＝1
5
.选D.
答案D
12.解析如图，设等腰直角三角形为△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝CB ＝2，则AB ＝
2
2.
设D 为AB 中点，则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.
∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π
3.
答案B
13.解析欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上． 圆锥体积V 1＝13π×12×22＝22
3
π.
作几何体截面图，则内接正方体棱长a ＝223，正方体体积V 2＝a 3＝????2233＝16227，
∴V 2V 1＝16227×322π＝8
9π
.故选A.
答案A
14.解析由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1， 又AD ＝2·sin 60°＝3，所以11AB DC V ＝13AD ·S △
11
B D
C ＝13×3×1
2
×2×3＝1，故选C. 答案C
15.解析此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－13×6×3＝24，选择C.
答案C
16.解析由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 答案C
17.解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成， 上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体的底面边长为4 cm ，高为2 cm ， 其直观图如右图，其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2)，
体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3). 答案 80 40
18.解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC 为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视
图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V SABC ＝13S △ABC h ＝3
3.
答案
3
3
19.解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S ＝（1＋2）×12＝3
2，高h ＝1，
所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝3
2.
答案 3
2
20.解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱.
∵1PA MN V ＝1A PMN V ，又AA 1∥平面PMN ，∴1A PMN V ＝APMN V ， ∴V APMN ＝13×12×1×12×12＝124，故1PA MN V ＝124.
答案1
24
21.解析由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m 、高为2 m 的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m 、高为4 m 的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2＋4π＝20π
3(m 3)．
答案20π
3
22.解析由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，
设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22
×h ＝23，解得h ＝1，
底面正六边形的中心到其边的距离为3， 故侧面等腰三角形底边上的高为3＋1＝2， 故该六棱锥的侧面积为1
2×12×2＝12.
答案12
23.解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：
(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(7
9也正确)．
24.(1)证明 ∵△ABC 为正三角形，E 为BC 中点，
∴AE ⊥BC ，
∴又B 1B ⊥平面ABC ，AE ?平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ， ∴由B 1B ∩BC ＝B 知，AE ⊥平面B 1BCC 1， 又由AE ?平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)解 设AB 中点为M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，
由平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1， ∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角， ∴∠CA 1M ＝45°. 易知CM ＝
3
2
×2＝3，在等腰Rt △CMA 中，AM ＝CM ＝3， 在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2. ∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝3
2，
∴V 三棱锥F AEC ＝13×32×22＝6
12
.
25.(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，
又四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .
∵PD ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，且PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，
∵CF ?平面PCD ，∴AD ⊥CF ，
又MF ⊥CF ，MF ∩AD ＝M ，∴CF ⊥平面MDF .
(2)解 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ， 又CD ＝AB ＝1，PC ＝2，∴PD ＝ 3. 由(1)知CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF .
∴由S △PCD ＝12PD ×CD ＝12PC ×DF 得DF ＝3
2，
∴CF ＝CD 2－DF 2＝1
2
.
∵EF ∥CD ，∴DE DP ＝CF CP ，∴DE ＝CF CP ×DP ＝3
4.
∴S △CDE ＝12CD ×DE ＝12×1×34＝3
8
.
∵AD ⊥平面PCD ，即MD ⊥平面CDE ，且ME ＝PE ＝PD －ED ＝33
4，
∴MD ＝ME 2－ED 2＝
2716－316＝62
， ∴三棱锥MCDE 的体积为V MCDE ＝13S △CDE ×MD ＝13×38×62＝2
16
.
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，
所以其侧面积为1
2×
62－12×2×4＝45，体积为13×22×2＝83
.
答案 B
2.解析 111D B C E V ＝1
3S △
1111
BC EDC ＝13×12×1×1×1＝1
6
. 答案 D
3.解析 由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中AB ⊥底面BCD ，则由题中数据得AB ＝3，BD ＝2，BC ＝CD ＝2，AD ＝13，AC ＝11，所以AC ⊥CD ，
则该几何体的表面积为12×2×11＋12×3×2＋12×3×2＋12×2×1＝1
2(22＋32＋8)，故选C.
答案 C
4.解析 该截面将正方体分成两个完全相同几何体，因此该几何体的体积为1
2
×23
＝4.
全国高考文科数学立体几何综合题型汇总
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
15-17年全国高考立体几何真题及答案详解
近三年立体几何高考真题几详解 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
2016年高考文科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，，{} 2|9B x x =<，则A B = （ ） A. {2,1,0,1,2,3}-- B. {2,1,0,1,2}-- C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （ ） A. 12i -+ B. 12i - C. 32i + D. 32i - 3. 函数()sin y A x ω?=+的部分图像如图所示，则 A. 2sin(2)6 y x π =- B. 2sin(2)3 y x π =- C. 2sin()6 y x π =+ D. 2sin()3 y x π =+ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A. 12π B. 32 3π C. 8π D. 4π 5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0k y k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则= k （ ） A. 1 2 B. 1 C. 32 D. 2 6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a （ ） A. 43 - B. 3 4 - C. D. 2 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ） A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （ ） A. 710 B. 58 C. 3 8 D. 310 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （ ） A. 7 B. 12 C. 17 D. 34 10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是 （ ） A. y x = B. lg y x = C. 2x y = D. 1y x = 11. 函数() = cos26cos()2 f x x x π +-的最大值为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. 已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的 交点为11x y （,），22x y （,），…，m m x y （,），则1 m i i x =∑= A. 0 B. m C. 2m D. 4 m 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此-------------------- 卷--------------------上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------
高考立体几何大题20题汇总情况
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
2016年数学文高考真题分类汇编：专题06-立体几何(文科)
立体几何 1.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A [来源学优高考网gkstk] 【解析】 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 2.【2016 高考新课标 1 文数】平面α 过正文体 ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点 A 11//C B D α平面,ABCD m α =平面,11ABB A n α =平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ） （A ） 32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 【答案】A
【解析】 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 3.【2016高考上海文科】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（） (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1(D)直线B1C1 【答案】D 【解析】
考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系. 【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 4.【2016高考浙江文数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ） A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥l D.m ⊥n 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意知,l l αββ=∴?，,n n l β⊥∴⊥．故选C ． 考点：线面位置关系. 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．学优高考网 5.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯 视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
2016年高考全国三卷文科数学试卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 设集合A = {0,2,4,6,8,10}，B = {4,8}，则 =B A A. {4,8} B. {0,2,6} C. {0,2,6,10} D. {0,2,4,6,8,10} 2. =+=| |i 34z z z ，则 若 A. 1 B. 1- C. i 5354+ D. i 5 354- 3. 已知向量)2 1 ,23()23, 21(==，，则∠ABC = A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点 表示四月的平均最低气温约为5℃。下面叙述不正确的是 A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M 、I 、N 中 的一个字母，第二位是1、2、3、4、5中的一个数字，则小敏输入一次密码 能够成功开机的概率是 A. 158 B. 81 C. 151 D. 30 1 6. θθcos 3 1tan ，则若-= A. 54- B. 51- C. 51 D. 5 4 7. 已知3 13 23 42532===c b a ，，，则 A. b < a < c B. a < b < c C. b < c < a D. c < a < b 8. 执行右面的程序框图，如果输入的a = 4，b = 6，那么输出的n = A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在△ABC 中，4 π = B ，B C 边上的高等于 3 1 BC ，则sin A = A. 103 B. 1010 C. 55 D. 10 10 3 2016.6
山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E
立体几何高考真题大题
立体几何高考真题大题 1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o ,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o ． （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）19 - 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ?平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平 面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量 n r ,再利用cos ,n m n m n m ?=r r r r r r 求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ?平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ． （Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ． 以G 为坐标原点,GF u u u r 的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 由（Ⅰ）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E - ,(D ． 由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ． 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角, C F 60∠E =o ．从而可得(C -． 所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r ． 设(),,n x y z =r 是平面C B E 的法向量,则 C 0 0n n ??E =???EB =??u u u r r u u u r r , 即040x y ?=?? =??, 所以可取(3,0,n =r ．
最新高考文科立体几何大题
1．（2013年高考辽宁卷（文））如 图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 (I)求证:BC PAC ⊥平面； (II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面 2.2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA == (Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. O D 1 B 1 C 1 D A C A 1
3.（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =, 60PAD ∠=o .(1)当正视图方向与向量AD u u u r 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点． （1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．
5.（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中2BC =. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当23 AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -. 图 4G E F A B C D 图 5D G B F C A E 6．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证: (1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
2016年高考文科数学全国卷2
徐老师 第 1 页 2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合{}123A =， ，，{}2|9B x x =<，则A B =I （ ） A. {2,1,0,1,2,3}-- B. {2,1,0,1,2}-- C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （ ） A. 12i -+ B. 12i - C. 32i + D. 32i - 3. 函数()sin y A x ω?=+的部分图像如图所示，则
第 2 页 A. 2sin(2)6 y x π =- B. 2sin(2)3 y x π =- C. 2sin()6 y x π =+ D. 2sin()3 y x π =+ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π 5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0k y k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则 =k （ ） A. 1 2 B. 1 C. 32 D. 2 6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a （ ） A. 43 - B. 34 - C. D. 2 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）
高考立体几何大题及答案理
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷2
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分. （1）已知集合{1 23}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}， （2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则 （A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π =- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3 y x π = (4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 (6) 圆x 2+y 2?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a = （A ）? 43 （B ）?3 4 （C （D ）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒， 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ） 710 （B ）58 （C ）38 （D ）3 10 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图． 执行该程序框图，若x =2,n =2,输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
立体几何高考真题大题
立体几何咼考真题大题 1. （2016高考新课标1 卷）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方 形,AF=2FD, NAFD =90：且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60： （I ）证明：平面 ABEF 丄平面EFDC （n ）求二面角 E-BC-A 的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（n ） -2蜃 19 【解析】 试题分析：（I ）先证明AF 丄平面E FDC ,结合直F U 平面AB E F ,可得平面ABE F 丄 平面E FDC . （n ）建立空间坐标系，分别求出平面E C E 的法向量m 及平面E C E 的法 试题解析：（I ）由已知可得 A F 丄DF, A F 丄F E|,所以A F 丄平面E FDC . 又A F U 平面 AE E F ,故平面AEE F 丄平面|E F D C . _ （n ）过D 作DG 丄E F ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面［A E 百F . 以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，GF 为单位长度，建立如图所示的空间直 角坐标系G —xyz . 由（I ）知N DF E 为二面角D -A F -E 的平面角，故N DF E =60：贝U DF = 2 , DG|=3,可得九(1,4,0 ), B(—3,4,0 ), E(—3,0,0 ), D (0,0, 73 ). 由已知，AE //E F ,所以AE //平面E FDC . 又平面 A ECD n 平面 |E FDC = DC ,故〕AB //CD , CD//EF . 由EE //A F ,可得EE 丄平面I E F DC ,所以N C E F |为二面角C —EE —F 的平面角， 向量n ,再利用cos （n,m ） 求二面角. n ||m |
2020年立体几何高考题汇总
2016年文科数学立体几何高考题汇总 1.（2016北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________. 2.（2016北京文18）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面； (III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由. 3.（2016天津文17） (本小题满分13分) 如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60o，G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ； (Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ） 65 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取BD 的中点为O ，可证四边形OGFE 是平行四边形，从而得出OE FG //（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出0 90=∠ADB ，即AD BD ⊥（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点A 作DE AH ⊥于点H ，则⊥AH 平面BED ，从而直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.再结合三角形可求得正弦值
2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I
绝密★ 启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. AB?5}?|{x2?xA?{1,3,5,7}B?（，则，1. 设集合） {1,3}{3,5}{5,7}{1,7} D. C. B. A. aa?)?i)(ai(1?2（为实数，则）2. 设的实部与虚部相等，其中 33?2?2 D. C. B. A. 3. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） 1512 B. A. C. D. 36232 5a?cosAc,,b,AB,Ca bc?2?ABC?（的内角，，已知，）的对边分别为4. ，则33232 D. A. B. C. 1ll，的距离为其短轴长的经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到则该椭圆的离心率为5. 直线4）（ 1123 B. A. C. D. 32341
?1)??2sin(2xy的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（将函数6. ）46??)??2sin(2xy?2sin(2x?)y B. A. 34??)??2sin(2x2sin(2y?x?)y D. C. 347. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是?28，则它的表面积是（）3????28172018 C. B. D. A. 1?ba??00?c 8. 若），则（， bacc b?loglogalogc?logcc?a?bc A. C. B. D. cabc|x|2ex?y?22,2][?9. 函数在）的图像大致为（ y y
高考文科立体几何大题
1. (2013年高考辽宁卷(文))如 图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. (I) 求证：BC _平面PAC ； (II) 设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC. 2.2013年高考陕西卷(文))如图，四棱柱ABCDAιBιCD的底面ABCt是正方形，O为底面中 心,AC⊥平面ABCD AB=AA=√2. (I )证明：A i BD // 平面CDB1； ( ∏ )求三棱柱ABDABD的体积.
3. (2013年高考福建卷(文))如图，在四棱锥P- ABCD 中,PD _ 面ABCD , AB∕∕DC , AB _ AD , BC =5, DC =3, AD = 4, .PAD =60 .(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P- ABCD的正视图.(要求标出尺寸，并画出演算过程); ⑵若M为PA的中点，求证：DM / /面PBC ; (3) 4. 如图，四棱锥 P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，∠ APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,且 AB=1，AD=2, E、F分别为 PC和BD的中点. (1)证明：EF// 面 PAD (2)证明：面PDC⊥面PAD; (3)求四棱锥 P— ABCD的体积. A B 求三棱锥D- PBC的体积.
5. (2013年高考广东卷(文))如图4,在边长为1的等边三角形 ABC 中，D ) E 分别是AB )AC 边上的点，AD =AE , F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G , 将 :ABF 沿AF 折起, (1)证明：DE //平面BCF ; (2) 证明：CF _平面ABF ; 2 ⑶ 当AD 时，求三棱锥F - DEG 的体积V F DEG 3 _ 6. (2013年高考北京卷(文))如图,在四棱锥P-ABCD 中，AB∕∕CD , AB _ AD , CD =2AB ,平面 PAD _ 底面 ABCD , PA _ AD , E 和 F 分别是CD 和PC 的中点，求证: (1) PA _ 底面 ABCD ;(2) BE//平面 PAD ;(3)平面 BEF _ 平面 PCD 得到如图5所示的三棱锥 A - BCF ,其中BC 洱
2016高考文科立体几何大题
立体几何综合训练 1、证明平行垂直 1．（2013?辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC． 2．（2013?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD． 3．（2011?福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB． （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD； （Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知 ．M是PD的中点． （Ⅰ）证明PB∥平面MAC （Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD （Ⅲ）求四棱锥p﹣ABCD的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1． （Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积． 6．（2011?辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．
7．（2013?安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=． （Ⅰ）证明：PC⊥BD （Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积． 8．（2008?山东）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，． （Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 3、三视图 9．已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点． （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线BC1∥平面AB1D；