2015年高考数学全国卷I理科试题及答案word
2015年全国卷I 理科逐题述评
1.设复数z 满足1i 1z z
+=-，则||z = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 解析：由1i 1z z +=-得1i(1)z z +=-，即1i 1i
z -+=+，2(1i)(1i)(1i)i (1i)(1i)2z -+---===+-，||z =1，选（A ）.
点评：本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式，套用方程思想，由考生自行推导出1i 1i
z -+=
+，进而求出||z （从这方面来讲，简单题增加了考生的运算量）.形式简洁（甚至连“i 是虚数单位”，“复数z 的模”等说明性文字都未曾出现），增加了思维含量.当然，如果考生在平时的备考中，能拓展了解部分复数的模运算的性质，化简到1i 1i z -+=+，就可以利用分子和分母的模相等迅速得到||z =1，不必将i z =计算出来，正所谓“失之东隅，收之桑榆”，不难看出命题人在躲避各地题海战术方面的良苦用心.
2.sin 20cos10cos160sin10-=
（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12
解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选
（D ）.
点评：本题涉及三角函数的三个考点：诱导公式cos(180)cos αα-=-、两角和与差公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+的逆用、特殊角的三角函数值.其中由cos160cos 20=-得进一步做题思路十分关键.
3.设命题p ：n ?∈N ，22n
n >，则p ?为
（A ）n ?∈N ，22n n > （B ）n ?∈N ，22n n ≤ （C ）n ?∈N ，22n n ≤ （D ）n ?∈N ，22n n =
解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ?）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选（C ）.
点评：涉及含有量词的命题的否定（也可视为复合命题中p 与p ?的关系）是近几年高考命题的热点，且常考常新.解答这类题，既可以套用命题的否定的套路（特称命题与全称
命题的转换），也可以从命题真假性的角度加以判断.
4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
解析：该同学通过测试的概率为223230.60.40.60.6(1.20.6)0.648C ?+=+=，或
312310.40.40.60.648C --?=，选（A ）.
点评：本题考查点集中在独立事件、互斥事件与对立事件，难度适中，突出了理科试题的特点.
5.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是
（A ）33(,)33- （B ）33(,)66- （C ）2222(,)33- （D ）2323(,)33
- 解析：从120MF MF ?<入手考虑，120MF MF ?=可得到以12F F 为直径的圆与C 的交
点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，
111222M F M F -=-，1223F F =，112111201211||22
M F F S M F M F y F F ?=?=?解得03||3
y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y ∈33(,)33-，故选（A ）. 点评：本题借助向量的数量积这一重要工具，融合了双曲线的定义、性质，考查了构造思想和等体积转化.是对研究和利用过往高考试题正能量的引导和极好的传承.美中不足的是本题运算量比较大，思维含量高，考查点比较综合，如果能放到第10题的位置会更合理.
这道高考题脱胎于15年前的2000年高考全国卷文理第14题： 椭圆22
194
x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 .
到下一年，直接演化为2001年高考全国卷文理第14题： 双曲线22
1916
x y -=的两个焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，若12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的的距离为 .
再过4年，在2005年高考全国卷（III ）文理第9题： 已知双曲线2
2
12y x -=的焦点为12,F F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ?=，则点M
到x 轴的的距离为
（A ）43 （B ）53
（C ）233 （D ）3 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），
米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和
堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，
圆周率约为3，估算出堆放的米约有
（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 解析：
284R π=，圆锥底面半径16R π
=，米堆体积21320123V R h ππ==，堆放的米约有221.62V ≈，选（B ）. 点评：本题难度适中，取材于古代数学著述，一方面考查了简单几何体的体积，另一方面体现了数学估算等应用，更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化.
7.设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则
（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433
AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133
AD AB AC =- 解析：11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+，选（A ）. 点评：本题知识方面考查平面向量的加减运算，能力方面通过用,AB AC 表示AD 考查化归思想的应用.另外本题也可以根据选项的特点把已知3BC CD =转化为起点均为A ，即3()AC AB AD AC -=-，求出AD 即可，考查学生灵活运用基础知识分析问题和解决问题的能力以及化归思想的应用.从难易度来看，此题放在第5题的位置最理想.
8.函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为
（A ）13(,),44
k k k ππ-
+∈Z
（B ）13(2,2),44
k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44
k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44k k k -+∈Z
解析：由五点作图知，1+4253+42
πω?π
ω??=????=??，解得=ωπ，=4π?，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+
<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124
k -，324k +），k ∈Z ，故选（D ）. 点评：本题虽然考查余弦型函数的图象和性质，但可归结为正弦型函数的图象和性质，且一反常态图象的周期是2k ，不是2k π，解答既可由图象先求解析式，再根据解析式求解函数的单调递减区间，又可先求周期，借助图象的对称性得出34
x =是其中一条对称轴，数形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解，又能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果是得分不高.
9.执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
解析：0.01t =保持不变，初始值11,0,0.52
s n m ====， 执行第1次，0.5,0.25,1s m n ===，s t >，执行循环体；
执行第2次，0.25,0.125,2s m n ===，s t >，执行循环体；
执行第3次，0.125,0.0625,3s m n ===，s t >，执行循环体；
执行第4次，0.0625,0.03125,4s m n ===，s t >，执行循环体；
执行第5次，0.03125,0.015625,4s m n ===，s t >，执行循环
体；执行第6次，0.015625,0.0078125,5s m n ===，s t >，执行循环体；
执行第7次，0.0078125,0.00390625,6s m n ===，s t <，跳出循环体，输出7n =，故选（C ）.
点评：本题通过含循环结构的程序框图，考查学生的读图能力及运算求解能力.但题中的执行次数有点多，数据有些复杂，其实大可执行3或4次，数据再简单一些，效果会更好！
10. 25()x x y ++的展开式中，52
x y 的系数为
（A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60
解析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x
，其
余因式取y ，故52x y 的系数为21253230C C C =.
另解：5
252()()x x y x x y ??++=++??，含2y 的项223235()T C x x y =+，其中23()x x +中含5x 的项为141533C x x C x =，所以52x y 的系数为215330C C =，故选（C ）.
点评：本题由以往常考的括号内的二项创新演变为三项，既能把三项转化为二项，利用二项展开式的通项公式求解，又能利用计数原理借助组合知识求解，同时考查化归思想的应用以及学生的运算求解以及变通能力.
题目排序建议：T7→T5，T9→T 6，T6→T7，T5→T10，T10→T8，
T8→T 9.
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几
何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体
的表面积为1620π+，则r =
（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8
解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组
合体，圆柱的半径与球的半径都r ，圆柱的高为2r ，其表面积为
2222142225416202
r r r r r r r r πππππ?+?++?=+=-，解得
2r =，故选（B ）.
点评：本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积，通过
三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用，
通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力.
本题与2013年全国卷Ⅰ（理8，文11）非常相似.但由2013
年的三个视图变成了2015年的两个视图，极好的考查了学生的
观察能力和空间想象能力.
（2013年全国卷Ⅰ（理8，文11））
某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为
（A ）168π+
（B ）88π+ （C ）1616π+
（D ）816π+ 12.设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一
的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是
（A ）3,12e ??-???? （B ） 33,2e 4??-????
（C ） 33,2e 4?????? （D ） 3,12e ??????
解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直
线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-
时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12
x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e
≤a ＜1，故选（D ）. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0
f f -≥??≥?，解得
32a e
≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选（D ）. 点评：本题是函数与导数综合性较强的题目，是转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想的集中体现，考查学生解决综合性问题的能力.考查化归思想的应用及学生灵活解决选择题的能力.试题难度应进一步降低.
13.若函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则a =
解析：由函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则2()ln()g x x a x =++为奇函数（(0)ln 0g a ==）；由22ln()ln(())0x a x x a x +++-++-=（()()0g x g x +-=），
得ln 0a =，1a =，故填1.
点评：本题主要考查函数利用函数的奇偶性求参数及对数的运算，明确奇函数和偶函数的性质是求解本题的关键，亦可采用特值法来快速求解答案，为部分思维活跃的考生提供展示舞台.
14.一个圆经过椭圆22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .
解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-； （方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =
，故所求圆的标准方程为223
25()24
x y -+=. （方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24
x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，
解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为223
25()24
x y -+=. 点评：本题主要考查椭圆的几何性质及圆的标准方程的求解，思维量较少，方法较多.对不同层次的考生有一定的选择权.（公平性的问题按规则做事）
15.若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥??-≤??+-≤?，则y x 的最大值为 . 解析：根据约束条件画出可行域，如图所示；y x
的几何意义可以看做可行域内一点与坐标原点连线的斜率，因此可知在
点(1,3)A 处取到最大值，且求得最大值为3.
点评：本题主要考查线性规划的相关知识.目标式属于斜率
类型，分清是哪两点连线的斜率，问题就可以迎刃而解了.此题
也给“投机者”留下赌局，会有部分考生求解出三角形区域的顶点，然后代入y x
，比较数值大小就可以得到答案. 16.在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则
AB 的取值范围是 .
解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重
合于E 点时，AB 最长，在BCE ?中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，
2BC =，由正弦定理可得o o sin 30sin 75
BC BE =，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ?中，
75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知 o o sin 30sin 75
BF BC =，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-
.
点评：本题考查正弦定理、余弦定理（BCF ?中，可利用余弦定理求BF ）的应用及解三角形的基础知识，通过做辅助线的方法把求AB 的取值范围转化为BF AB BE <<，考查转化与化归思想、数形结合思想的应用以及运算求解的能力，难度较大.
17.（本小题满分12分）
n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，
当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，且n a =21n +.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，则数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646
n -+. 点评：本题考查由n a 和n S 的关系作差法求通项、等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，考查转化与化归思想及运算求解能力，应属于常规的数列求通项和求和问题，感觉形式和条件应该有所创新.而且，命题人再一次在数列这个点上命制解答题，没有完全按照“数列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌，出乎诸多行家预测之外.
18.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，
,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面
ABCD ，DF
⊥平面ABCD ，2BE DF =，
AE EC ⊥.
（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；
（II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：连接BD ，设BD AC G =，连接EG ，FG ，EF .
在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由
120ABC ∠=，可得3AG GC ==，由BE ⊥
平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =.又
AE EC ⊥，所以3EG =，且EG AC ⊥.
在Rt EBG ?中，可得2BE =,故
22DF =.在Rt FDG ?中，可得62
FG =. 在直角梯形BDFE 中，由2BD =，2BE =，22DF =，可得322EF =. 因为222EG FG EF +=，所以EG FG ⊥，又AC FG G =，则EG ⊥平面AFC .
因为EG ?平面AEC ，所以平面AFC ⊥平面AEC . ……6分
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以
,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单
位长度，建立空间直角坐标系G xyz -， 由（Ⅰ）可得(0,3,0)A -，(1,0,2)E ，
2(1,0,)2
F -，(0,3,0)E ，(1,3,2)AE =，2(1,3,)2CF =--.故3cos ,3||||
AE CF AE CF AE CF ?<>==-. 所以直线AE 与直线CF 所成的角的余弦值为
33. ……12分 点评：本题由前两年常规的三棱柱改为了不常规的几何体，由判断线线的关系改为了证明面面垂直，既能给学生以新的面孔，又能考查立体几何中的基础知识和基本技能，通过面面垂直的证明考查空间想象能力和推理论证能力，借助异面面直所成角的计算考查运算求解能力与化归思想方法的应用，条件120ABC ∠=，AE EC ⊥的给出增加了题目的灵活性，菱形ABCD 和直角梯形BDFE 给备考提供了方向，在立体几何中研究空间位置关系时要注意特殊三角形（正三角形、等腰三角形等）、特殊四边形（矩形、棱形、等腰梯形、直角梯形等）的性质.
19.（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,
,8i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x y w 821()i
i x x =-∑ 821()i i w w =-∑ 81()()i i i x x y y =--∑ 8
1()()i i i w w y y =--∑ 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中i i w x =，8
1
18i i w
w ==∑ （Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程；
（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
1()()()n i i i n i i u u v v u
u β==-=--∑∑，v u αβ=-.
解：（Ⅰ）根据散点图判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型； （Ⅱ）令w x =，由8
1821108.()8681.()6
)(i i
i i
i w w w d y y w ==---===∑∑，56368 6.8100.6c y dw =-=-?=，所以100.668y w =+，即y 关于x 的回归方程为100.668y x =+；
（III ）（i ）当x =49时，年销售量y 的预报值100.66849576.6y =+=，年利润z 的预报值0.2576.64966.32z =?-=；
（ii ）年利润z 的预报值100.660.2()13.620.128z x x x x =-=-+++，所以当13.6 6.82
x ==即年宣传费x =46.24时，年利润的预报值最大. 点评：本题是继2014年高考理科以正态分布为重点后，又一次出乎意料而又推陈出新的考法.其实，广东卷2007年就已经在解答题里出现过回归方程，但一直没能引起足够的重视.这道题命题人为了解决高考不允许携带计算器进考场而导致数据计算复杂的问题，直接通过表格给出了许多“半成品”，即便如此仍然因为涉及高考知识点的“冷点”（模型不熟悉）、阅读量大、题干过长、只有猜测不加证明等导致试题得分非常低，更由于文理共用，导致文科得分更是惨不忍睹（过往几年概率统计的解答题是文科生的主要拿分点）.
需要特别强调的一点是，课标教材的理念是要引导学生学会统计思想，理解统计原理，会“用统计”而不是“算统计”，这些都与课标对这统计部分的课时比例明显增加，教材篇幅扩大等的趋势是相吻合的.教学中，应该摒弃原来的那种“文科是统计加概率，理科概率加期望方差”的训练模式，全面掌握统计思想、统计案例直至几何概型等“新增知识点”.特别是要加强阅读理解能力的培养，并将应用意识贯穿始终.在这一点上，送考教师一定不要教的支离破碎，仅仅是用一些具体例子代替系统讲解，使得学生偏离了统计思想的轨道.
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C ：2
4
x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点.
（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由. 解：（Ⅰ）当0k =时，点(2,)M a a 和(2,)N a a -，2
x y '=，故2x a =处的导数
值为a ，切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=；同理，2x a =-处的导数值为a -，切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.
（Ⅱ）在y 轴上存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠.证明如下： 设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k .
直线l 与曲线C 的方程联立可得2440x kx a --=，则12124,4x x k x x a +==-.
1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a
--+-+++=+==，当b a =-时，120k k +=，则直线,PM PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，即(0,)P a -符合题意.
点评：解析几何试题在传统的理解中，基本是“思路自然，运算繁难”的代表，这恰恰是不少地方在备考中基本强调主要以椭圆为主线加以训练的原因.这道题命题人有意识的控制了“副压轴题”的难度，并在题设里多处“暗示”考生解题方向：抛物线方程没用2
4x y =的标准形式，因为不涉及焦点和准线，直接用函数2
4
x y =给出来，以方便用导数的几何意义找出切线的斜率；“定”点P 与动直线y kx a =+在动态中如何满足OPM OPN ∠=∠，显然斜率、向量、相似三角形、内角平分线定理等等都可以成为解题的入手点.关键是如何从题设透露出的信息中抓住贴合自己知识储备的“翻译”（化归与转化）能力.当然，如果在
备考阶段能够从圆的切线200x x y y r +=、椭圆的切线00221x x y y a b
+=、双曲线的切线00221x x y y a b
-=（00(,)x y 是切点）等出发，探索得到00()x x p y y =+或00()y y p x x =+是抛物线22x py =或22y px =的切线方程也有助于问题的解决.
21.（本小题满分12分） 已知函数31()4
f x x ax =++，()ln
g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.
解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足
00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++
=，解得012x =，34a =-，因此，当34
a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04
f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h f
g g ===，故1x =是()
h x 的零点；
当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数.
对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么
（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44
f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；
（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（03a x <<-）且()0f x '>（13
a x -<<），所以3a x =-为最小值点，且21()3334
a a a f -=-+. 显然，若()03a f -
>，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点； 若()03a f -=，即34
a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点； 若()03a f -
<，即334a -<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534
a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54
a =-时，()h x 有2
个零点；当5344
a -<<-时，()h x 有3个零点. 点评：本题第一问比较简单，第二问虽有新定义，但因为比较常见，并未增加难度，只是涉及多层次分类讨论，难度较大，确实有非常大的区分度，起到了压轴题的作用，体现了甄选不同层次思维能力的价值.美中不足的是导数考查偏多，分类讨论过于复杂.
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是
O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E .
（I ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是
O 的切线； （Ⅱ）若3OA CE =，求∠ACB 的大小.
解析：（I ）连接,AE OE ，由AB 为直径可得AE BE ⊥；
在Rt AEC ?中，D 为AC 的中点，所以CD DE =，即
DE C C
∠=∠； 在等腰三角形OBE 中，OEB B ∠=∠.
由AC 为切线可得AC AB ⊥，即90C B ∠+∠=?；所以有
90OEB DEC ∠+∠=?，所以90OED ∠=?，所以DE 为O 的
切线.
（Ⅱ）不妨设1CE =，AE x =，由已知得23AB =，212BE x =-，由
2AE CE BE =?得2212x x =-，解得3x =，所以60ACB ∠=?.
点评：本题的主要考点有圆的切线判定与性质、圆周角定理、直角三角形射影定理等，考点比较多，考生可能上手比较慢.
来源于2009年某市期末考试题：
如图所示，△ABC 是直角三角形，∠ABC =90°，以AB 为直径的O 交AC 于E 点，点D 是BC 边的中点，连结DE .
（I ）请判断DE 与⊙O 是怎样的位置关系？请说明理由.
（Ⅱ）若⊙O 的半径为4，DE =3，求AE 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；
（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求
2C MN ?的面积.
解析：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的
极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将=4π
θ代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN |=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN ?的面积o 121sin 452???=12
. 点评：本题的主要考点直角坐标方程与极坐标方程之间的转化、直线与圆的位置关系、三角形的面积公式等，难度相对较低，符合选做题特点.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()12,0f x x x a a =+-->.
（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；
（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-??--+->?或111221x x x -<?或11221
x x x ≥??+-+>?，解得223x <<. （方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.
设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=??->?解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212
221d d d d -=??->?解得21d <；故(1,2)x ∈.
综上可得223
x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-??=+--≤≤??-++>?
， 所以函数()f x 的图像与x 轴围
成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3
a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积-1 1
x -1
1 x
为22(1)3a +.由题设得22(1)3
a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. 点评：本题的主要考点含绝对值不等式解法、分段函数、一元二次不等式解法及分类讨论思想．选修4-5的内容以双绝对值的考查最为频繁，主要应对策略有两种：一是采用零点分段讨论法，去掉绝对值求解；二是利用绝对值的几何意义，借助数轴求解.
2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
2015高考数学全国卷1(完美版)
2015高考数学全国卷1(完美版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1．设复数z满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝ A．1 B．2 C． 3 D．2 2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ A．－ 3 2B． 3 2C．－ 1 2 D．1 2 3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为 A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2 ＝1 上的一点， F 1、F 2是C 上的两个焦点，若 M F 1→· M F 2 →＜0 ，则y 0的取值范围是 A ．? ???? －33 ，33 B ． ? ???? －36 ，36 C ．? ????－223，223 D ．? ?? ?? －233，233 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析
2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )
A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题
17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点
全国统一高考数学试卷(理科全国卷1)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3） 2．（5分）（2016?新课标Ⅰ）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 3．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）（2016?新课标Ⅰ）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（） 《 A．B．C．D． 5．（5分）（2016?新课标Ⅰ）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 离为4，则n的取值范围是（） A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，） 6．（5分）（2016?新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（） A．17πB．18πC．20πD．28π 7．（5分）（2016?新课标Ⅰ）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）
A．B．C． D． 8．（5分）（2016?新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A．a c＜b c B．ab c＜ba c : C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c 9．（5分）（2016?新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（） A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）（2016?新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）
2015年高考理科数学试题及答案(新课标全国卷1)
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
2018年高考数学全国卷III
2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+
高考真题理科数学全国卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（全国II 卷） 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．1212i i +=-（）（A ）4355i --（B ）4355i -+（C ）3455i --（D ）3455 i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） （A ）9 （B ）8 （C ）5（D ）4 3．函数()2x x e e f x x --=的图像大致为（） 4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ?=-，则() 2a a b ?-=（） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）0 5．双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（） （A ）2y x =±（B ）3y x =±（C ）22y x =±（D ）32 y x =± 6．在ABC ?中，5cos 25 C =，1BC =，5AC =，则AB =（） （A ）42（B ）30（C ）29（ D ）25 7．为计算11111123499100 S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） （A ）1i i =+ （B ）2i i =+ （C ）3i i =+ （D ）4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A ）112（B ）114 （C ）115（D ）118
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5
2018年数学高考全国卷3答案
2018年数学高考全国卷3答案
参考答案： 13. 14. 15. 16.2 17.(12分) 解：（1）设的公比为，由题设得. 由已知得，解得（舍去），或. 故或. （2）若，则.由得，此方 程没有正整数解. 若，则.由得，解得. 综上，. 18.（12分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. 12 3-3{}n a q 1 n n a q -=4 2 4q q =0q =2q =-2q =1 (2)n n a -=-1 2n n a -=1 (2) n n a -=-1(2)3 n n S --= 63 m S =(2) 188 m -=-1 2n n a -=21 n n S =-63 m S =2 64 m =6m =6m =
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科*网 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知. 列联表如下： 7981 802 m +==
2017高考全国Ⅰ卷理科数学试卷及答案(word版)
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
2015年高考文科数学试题及答案(新课标全国卷2)
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量=?+-=-=a b a b a ）则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和， 的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 61 D. 5 1 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的 圆心到原点的距离为 A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34
(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 21 D. 8 1 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记 的图像大致为 则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A D C B A 4 24 4 424 24π 4 24X O X O X X O
2018年高考全国二卷理科数学试卷
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷） 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1 2i 1 2i 4 3 4 3 i 3 4 3 4 A ． i B ． 5 C ． i D ． i 5 5 5 5 5 5 5 2．已知集合 A x ，y x 2 y 2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9 B ． 8 C ． 5 D ． 4 3．函数 f e x e x 的图像大致为 x x 2 A B C D 4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b 1 ，则 a (2a b ) A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 2 2 5．双曲线 x 2 y 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a b A ． y 2x B ． y 3x C ． y 2 D ． y 3 x x 2 2 6．在 △ABC 中， cos C 5 ，BC 1 ， AC 5，则 AB 开始 2 5 N 0,T A ．4 2 B ． 30 C ． 29 D ．2 5 i 1 1 1 1 1 1 7．为计算 S 1 3 ? 99 ，设计了右侧的程序框图，则在 是 100 否 2 4 100 i 空白框中应填入 1 A ． i i 1 N N S N T i B ． i i 2 T T 1 输出 S i 1 C ． i i 3 结束 D ． i i 4 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 30 7 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1 B ． 1 1 1 A ． 14 C ． D ． 12 15 18 ABCD A B C D AD DB
2013年高考理科数学全国卷1有答案
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________
2018年高考全国1卷理科数学(word版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B
2018年高考全国卷一理科数学(含答案)
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A ．0 B ． C ． D ． 2．已知集合，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 此卷 只装 订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（） A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（） A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，