2018-2019年最新最新高考总复习数学(通用)立体几何(真题+模拟)专项复习及解析

2018-2019年最新最新高考总复习数学(通用)立体几何(真题+模拟)专项复习及解析
2018-2019年最新最新高考总复习数学(通用)立体几何(真题+模拟)专项复习及解析

第七章 立体几何

考点21 空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积

两年高考真题演练

1.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )

A .8 cm 3

B .12 cm 3

C.323 cm 3

D.403 cm 3 2.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A .3π

B .4π

C .2π+4

D .3π+4

3.(2015·新课标全国Ⅰ)

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”

其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之

一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )

A .14斛

B .22斛

C .36斛

D .66斛

4.(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.13+2π

B.13π6

C.7π3

D.5π2

5.

(2014·新课标全国Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A .三棱锥

B .三棱柱

C .四棱锥

D .四棱柱

6.(2014·陕西)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )

A.32π3 B .4π C .2π D.4π3

7.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.

8.(2015·四川)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,其正视

图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M ,N ,P 分别是AB ,BC ,B 1C 1的中点,则三棱锥P -

A 1MN 的体积是________. 考点21 空间几何体的结构、 三视图、几何体的

表面积与体积

一年模拟试题精练

1.(2015·北京朝阳区期末)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )

A .1

B .2

C .3

D .4

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD

B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C

P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招

2018年高考数学压轴 题突破140之立体几何五种动态问题和解题 绝招 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招中高考数学名师张芙华2018-01-29 06:14:27 2018年高考数学压轴题突破140之立体几何五种动态问题和解题绝招 一.方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点,问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍,使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题,由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用,很多学生一筹莫展,无法形成清晰的分析思路,导致该题成为学生的易失分点。究其原因,是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素,因此要认真分析其变化特点,寻找不变的静态因素,从静态因素中,找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题,有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来,通过动态思维,观察它的变化规律,找到两个极端位置,即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题划归为静态问题。具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证。 二.解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题

【指点迷津】空间的角的问题,一种方法,代数法,只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系,然后利用公式求解;另一种方法,几何法,几何问题要结合图形分析何时取得最大(小)值。当点M在P处时,EM与AF 所成角为直角,此时余弦值为0(最小),当M点向左移动时,EM与AF所成角逐渐变小时,点M到达点Q时,角最小,余弦值最大。 类型二立体几何中动态问题中的距离问题

全国高考理科数学:立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 .(2013年新课标1(理))如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ) A 2 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是( )[] A .若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B .若//αβm α?n β?则//m n C .若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D .若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 .(2013年上海市春季数学试卷(含答案))若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为( ) A .1:2 B .1:4 C .1:8 D .1:16 4 .(2013年普通等学校招生统一试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( ) A 5 .(2013年新课标1(理))某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 6 .(2013年湖北卷(理))一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有( ) A .1243V V V V <<< B .1324V V V V <<< C .2134V V V V <<< D .2314V V V V <<< 7 .(2013年湖南卷(理))已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能...等于( ) A .1 B 8 .(2013年普通等学校招生统一试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,() 1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB ⊥⊥(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

(一) 1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 右图所示,则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。

(一) 1.D 2.83 3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=?=, 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD (Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则 ()1,0,0A ,()03,0B ,,()1,3,0C -,()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ,则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=(0,-1,3-) 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27-

(二) 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)

专题04 立体几何 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 3.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 A.158 B.162 C.182 D.324

4.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P –AC –B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC , BC P 到平面ABC 的距离为___________. 6.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 7.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =AA =,,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g. 8.【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网 格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥.(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为

A .1 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ; (2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30?,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科:

历年江苏高考数学立体几何真题汇编含详解

历年江苏高考数学立体几何真题汇编(含详解) (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ? ??? ?E ,F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)??????? ?? ?CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上, A 1D ⊥ B 1 C . 求证:(1)EF ∥平面ABC (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明:(1)由E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点知EF ∥BC , 因为EF ?平面ABC ,BC ?平面ABC ,所以EF ∥平面ABC (2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1, 又A 1D ?平面A 1B 1C 1,故CC 1⊥A 1D , 又因为A 1D ⊥B 1C ,CC 1∩B 1C =C , CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ,又A 1D ?平面A 1FD , 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C (2010年第16题)

2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题 1.(全国Ⅰ) 如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =, 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( ) A . 15 B . 25 C . 3 5 D . 45 解:如图,连接BC 1,A 1C 1,∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角,设AB=a ,AA 1=2a ,∴ A 1B=C 1B=5a , A 1C 1=2a ,∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ,选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知 正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 . 解:一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知 正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠, 2AB = ,BC = SA SB == (Ⅰ)证明SA BC ⊥; (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 解法一: (Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD , 得SO ⊥底面ABCD . 因为SA SB =,所以AO BO =, 又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥. (Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC ∥, 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

立体几何 高考真题全国卷

(2018 文 I )在平行四边形中,,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且. ⑴证明:平面平面; ⑵为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积. (2018 文 I I )如图,在三棱锥中,, ,为的中点. (1)证明:平面; (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离. ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M

(2018 文 III )如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D 的点. ⑴证明:平面AMD ⊥平面BMC ; ⑵在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由. (2017 文 I )如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠= (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ,求该四棱锥的侧面积.

(2017 文 II )如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? (1)证明:直线BC ∥平面PAD ; (2)若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. (2017 文 III )如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD=CD . (1)证明:AC ⊥BD ; (2)已知△ACD 是直角三角形,AB=BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.

2018高考数学立体几何含答案(最新整理)

5 ??n ? ? 2018 高考数学立体几何答案 1.(本小题 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中, CC 1 ⊥ 平面 ABC ,D ,E ,F ,G 分别为 AA 1 ,AC , A 1C 1 , BB 1 的中点,AB=BC = ,AC = AA 1 =2. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面 BEF ; (Ⅱ)求二面角 B?CD ?C 1 的余弦值; (Ⅲ)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. 【解析】(1)在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中, Q CC 1 ⊥ 平面 ABC , ∴ 四边形 A 1 ACC 1 为矩形.又 E , F 分别为 AC , A 1C 1 的中点, ∴ AC ⊥ EF , Q AB = BC ,∴ AC ⊥ BE , ∴ AC ⊥ 平面 BEF . (2)由(1)知 AC ⊥ EF , AC ⊥ BE , EF ∥CC 1 . 又CC 1 ⊥ 平面 ABC ,∴ EF ⊥ 平面 ABC . Q BE ? 平面 ABC ,∴ EF ⊥ BE . 如图建立空间直角坐称系 E - xyz . 由题意得 B (0, 2, 0) , C (-1, 0, 0) , D (1, 0,1) , F (0, 0, 2) , G (0, 2,1) , ∴CD =(2, 0,1) , CB =(1, 2, 0) ,设平面 BCD 的法向量为 n = (a , b , c ) , u u u r CD = 0 ∴? uur n ? ,∴?2a + c = 0 , a + 2b = 0 ? ? CB = 0 ? 令 a = 2 ,则b = -1 , c = -4 ,∴ 平面 BCD 的法向量 n = (2, - 1,, - 4) ,

历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系

历年高考数学真题精选(按考点分类) 专题31 垂直关系(学生版) 1.(2019?北京)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,E 为CD 的中点. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若60ABC ∠=?,求证:平面PAB ⊥平面PAE ; (Ⅲ)棱PB 上是否存在点F ,使得//CF 平面PAE ?说明理由. 2.(2015?重庆)如图,三棱锥P ABC -中,平面PAC ⊥平面ABC ,2 ABC π ∠= ,点D 、E 在线段AC 上,且2AD DE EC ===,4PD PC ==,点F 在线段AB 上,且//EF BC . (Ⅰ)证明:AB ⊥平面PFE . (Ⅱ)若四棱锥P DFBC -的体积为7,求线段BC 的长. 3.(2015?福建)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,PO 垂直 于圆O 所在的平面,且1PO OB ==, (Ⅰ)若D 为线段AC 的中点,求证;AC ⊥平面PDO ; (Ⅱ)求三棱锥P ABC -体积的最大值; (Ⅲ)若2BC =E 在线段PB 上,求CE OE +的最小值.

4.(2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 (Ⅰ)若AC BC ⊥,证明:直线BC ⊥平面11ACC A ; (Ⅱ)设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE 平面1A MC ?请证明你的结论. 5.(2014?福建)如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥. (Ⅰ)求证:CD ⊥平面ABD ; (Ⅱ)若1AB BD CD ===,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC -的体积. 6.(2014?广东)如图1,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==作如图2折叠;折痕//EF DC ,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥. (1)证明:CF ⊥平面MDF ; (2)求三棱锥M CDE -的体积.

近三年高考全国卷理科立体几何真题

新课标卷高考真题 1、(2016年全国I 高考)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60. (I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值.

2、(2016年全国II 高考)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O , 5,6AB AC ==,点,E F 分别在,AD CD 上,5 4 AE CF == ,EF 交BD 于点H .将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置,10OD '=. (Ⅰ)证明:D H '⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角B D A C '--的正弦值.

3【2015高考新课标1,理18】 如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC; (2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. 图1-3

5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中,侧面BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A -A1B1-C1的余弦值.

高考理科数学立体几何(答案详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 12. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_92___。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 答案:几何体的直观图如右,几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥组成,圆锥的高 221534PO =-=,1+=45+94=573 V V V C πππ=??圆柱圆锥 ,故选 15.如图,圆O 的半径为1,A B C 、、是圆周上的三点,满足030ABC ∠=,过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,=PA 则 解:连OA 得06021AOP OP PC ∠===,所以,,所以2+213=3PA PC PC PA =?=?∴(), 2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 第(12)题图 俯视图24 5 侧(左)视图 正(主)视图4

(4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB =,122CC =E 为1CC 的中点,则 直线1AC 与平面BED 的距离为 (A )2(B 3C 2(D )1 答案:D (16)三棱柱11 1 ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等, 1160BAA CAA ∠=∠=o ,则 异面直线1 AB 与1BC 所成角的余弦值为62012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 4、如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=( B ) A 、 B 、 C 、 D 、 6、下列命题正确的是( C ) A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 14、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点, 则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____90o ____。 2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 11.如图2,过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点.若1=PA , 2=AB ,3=PO ,则⊙O 的半径等于6. 2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 5.如图. ∠ACB=90o,CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则(A ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 【解析】在ACB ?中,∠ACB=90o,CD ⊥AB 于点D ,所以

高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何大全

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 立 体 几 何 一、选择题 【2017,6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( ) 【2016,7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) A .17π B . 18π C . 20π D . 28π 【2016,11】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,α∥平面11CB D ,αI 平面 ABCD m =, αI 平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为( ) A . 3 B .22 C .3 D .13 【2015,6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各位多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 【2015,11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体 的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r =( ) B A .1 B .2 C .4 D .8 【2015,11】 【2014,8】 【2013,11】 【2012,7】 【2014,8】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的一个 几何体的三视图,则这个几何体是( ) A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥 D .四棱柱 【2013,11】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A .16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 【2012,7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .15 【2012,8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球

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