易学通·重难点一本过高一数学(人教版必修3)第五章概率含解析
第五章概率
重点列表：
重点详解：
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件．
(3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的
__________．
(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的________，称事件A出现的比例f n(A)＝________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的
____________f n(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．
(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________．3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝___________.
推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋A n 发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A n)＝___________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________________.
【答案】
1．(1)必然事件(2)不可能事件
(3)随机事件(4)确定事件随机事件
2．(1)频数n A
n
(2)频率常数概率
(3)小概率事件
3．包含B A A＝B 或且A∩B ?A∩B A∪B ? 1
4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0
(4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)
②1－P(B)
重点1：随机事件的概念
【要点解读】
概率与频率的关系
(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．
(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．
【考向1】随机事件的判断
【例题】同时掷两颗骰子一次，
(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？
(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．
【考向2】不可能事件与必然事件
【例题】一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，
(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可
能事件，其概率为0.
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的
球是黑球”是随机事件，它的概率是3 8 .
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.
重点2：对立与互斥的概念及应用
【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I(全集)，也即A＝?I B或B ＝?I A；
③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
3．只有事件A，B互斥时，才有公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立．
4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维
的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．
【考向1】对立与互斥的概念
【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有一名男生和至少有一名女生；
(3)至少有一名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
(3)不是互斥事件．
道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)是互斥事件．
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
【评析】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用
定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．
【考向2】对立与互斥的应用
【例题】经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：
(1)求至多2人排队的概率； (2)求至少1人排队的概率．
【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率．
难点列表：
难点详解：
古典概型
1．基本事件和基本事件空间的概念
(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为____________．
(2)所有基本事件构成的集合称为______________，常用大写希腊字母
________表示．
2．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是____________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．
3．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．
(2)每个基本事件出现的可能性____________．
4．古典概型的概率公式
在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n个，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝________.
【答案】
1．(1)基本事件(2)基本事件空间Ω
2．(1)互斥(2)基本事件
3．(1)有限(2)相等
4. m n
几何概型
1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．
2．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称
____________．
3．概率计算公式
在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．
【答案】
1．均等的
2．长度面积体积几何概率模型
几何概型
3.构成事件A的区域的长度（面积或体积）
试验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）难点1：古典概型
【要点解读】
1．古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型，在概率论的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”)．要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．(1)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本
事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)＝m
n
求出
事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．
(2)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及
排列组合知识直接计算m，n，再运用公式P(A)＝m
n
求概率．
3．对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
4．较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法有：
(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；
(2)采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．
【考向1】基本事件与基本事件空间的概念
【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次．
(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件；
(2)事件A：“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件；
(3)事件B：“三次都出现正面向上”包含几个基本事件．
解：(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，
(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共8种等
可能结果．
(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正)．
【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”．任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间．
【考向2】列举基本事件求概率
【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
难点2：几何概型
【要点解读】
1．几何概型与古典概型的关系
几何概型是古典概型的补充和推广，它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素，每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求，两种概率模型是高度统一的．
2．解决几何概型问题，注意把握好以下几点：
(1)能正确区分古典概型与几何概型．
例1：在区间0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为________．
例2：在区间0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为________．例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概
型，故所求概率为4
11
．例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，故所求概
率为3
10
．
(2)准确分清几何概型中的测度．
例3：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率．
例4：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM＜30°的概率．
例3中的测度定性为线段长度，当∠CAM0＝30°，CM0＝
3
3
AC＝
3
3
CB．满足
条件的点M等可能的分布在线段CM0上，故所求概率等于CM0
CB
＝
3
3
．例4中的
测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分
布在∠CAB内，∠CAB＝45°．所以所求概率等于∠CAM0
∠CAB
＝
30°
45°
＝
2
3
．
(3)科学设计变量，数形结合解决问题．
例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率．
例6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率．
例5是《必修3》的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝16．例6容易犯解例5形成的定势思维的错误，得到错误答案560＝1
12．原
因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y|≤5结合线性规划知识可解，故所求概率为602－552602＝23144．通过这两道例题我们也可以
看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题．
3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．
【考向1】以长度为度量的几何概型
【例题】在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于该直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 解：记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，
不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的
弦，当弦为FD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O
到弦的距离小于12，由几何概型公式得：P(A)＝1
2×22＝12．故填1
2
．
【评析】①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P(A)＝事件A 对应的线段长试验的全部结果对应的线段长
．※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，
该“悖论”是说：在一半径为1的圆C 内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长(
3)的概率是多少？由于题中“任意作一弦”的提法不明确，与之对
应的随机试验及基本事件也不同，从而产生不同的概率问题．除了本例给出的解答外，还有两种常见解答，而这三种解答结果各不相同，从而形成所谓的“悖
论”．另外两种如下：(Ⅰ)以1
2
为半径作圆C 的同心圆C 1(图1)，易证弦的中点M 落
在圆C 1内的充要条件为弦长l>
3，故所求概率等于二圆面积之比1
4
；(Ⅱ)设弦AB
的一端固定于圆上，于是弦的另一端B 是“任意”的，考虑正三角形ADE(图2)，弦长l>
3的充要条件为B 落在劣弧DE ︵上，故所求概率为劣弧DE ︵
的弧长与圆
周长之比1
3．有兴趣的同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采
用的都是何种等可能性的假定？
【考向2】以面积为度量的几何概型
【例题】(1)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P(x ，y)．
①求△APB 的面积大于1
4
的概率；
②求点P 到原点的距离小于1的概率．
解：①如图，取线段BC ，AO 的中点E ，F ，连接EF ，则当点P 在线段EF 上时，S △APB ＝1
4
，故满足条件的点P 所在的区域为矩形OFEC(阴影部分)．
故所求概率为
S 矩形OFEC
S 正方形OABC ＝1
2．
②所有的点P 构成正方形区域D ，若点P 到原点距离小于1，
则????
?0＜x ＜1，0＜y ＜1，x 2＋y 2＜1，所以符合条件的点P 构成的区域是圆x 2＋y 2＝1在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)．∴点P 到原点距离小于1的概率为：1
4
·π·121
2＝
π
．
4
【评析】①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P＝
事件A构成区域的面积
．②解此类问题的主要步骤为：列出条件
整个试验的全部结果构成区域的面积
组，画出图形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．
(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．
【评析】①平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7
x－y≤15所对应的图中阴影部分表时时间段内到达的时间．而能会面的时间由||
示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型．
【考向3】以体积为度量的几何概型
【例题】在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A 的距离不大于a的概率为( )
A．
2
2
B．
2
2
πC．
1
6
D．
π
6
【评析】①以体积为度量的几何概型概率计算公式：P＝
构成事件A的区域的体积
试验的全部结果构成的区域的体积
；②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．【考向4】随机模拟
【例题】一只海豚在水池中游弋，水面为长30 m，宽20 m的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”．
(1)试设计一个能估算出事件A发生的概率的算法；
(2)求P(A)的准确值．
解：(1)建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(x，y)来表示海豚嘴尖的坐标．
这里几何区域D所表示的范围为长方形：x∈(－15，15)，y∈(－10，10)，事件A所表示的区域为图中的阴影部分d：||x|－15|≤2，或||y|－10|≤2．
算法框图如下：
(2)如图所示，所求概率为
P(A)＝阴影部分的面积
区域D 的面积＝30×20－26×1630×20＝23
75
．
【评析】①简单说明：n 记录做了多少次试验，m 记录其中有多少次(x ，y)出现在阴影部分；rand()×30－15产生－15～15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标，rand()×20－10产生－10～10之间的随机数y 作为海豚嘴尖的纵坐标；??????||x －15≤2或????
??
||
y －10≤2判断(x ，y)是否落在阴影部分．②随机模拟的是计算机产生随机数，而算法的引入为模拟提供了可能，随着新课标注重应用的不断深入，此类问题会倍受关注．
【趁热打铁】
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.3
4
2．在区间－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )