2017届高三数学复习专题8平面向量

2017届高三数学复习 专题8平面向量

1．(2015·课标Ⅰ，7，易)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )

A.AD

→＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD

→＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →

1．A [考向1]如图所示，

在△ABC 中，BC

→＝AC →－AB →.

又∵BC →＝3CD →，

∴CD

→＝13BC →＝13AC →－13AB →， ∴AD →＝AC →＋CD →

＝－13AB →＋43AC →.

2．(2014·课标Ⅰ，6，易)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB

→＋FC →＝( ) A.AD

→ B.12AD → C.BC → D.12

BC → 2．A [考向1]如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →

) ＝1222AD

→＝AD →.

3．(2012·广东，3，易)若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( )

A ．(－2，－4)

B ．(2，4)

C ．(6，10)

D ．(－6，－10)

3．A [考向3]BC

→＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)． 4．(2013·辽宁，3，易)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向

量为( )

A.? ????35，－45

B.? ????4

5，－35 C.? ????－35，45 D.? ??

??－45，35 4．A [考向2]AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5.与AB →

同方向的单位向量为AB →|AB →|＝?

????35，－45.

故选A.

5．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕

点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2)

C ．(－46，－2)

D ．(－46，2)

5．A [考向3]由题意，得|OP

→|＝10，由三角函数定义，设P 点坐标为(10cos θ，

10sin θ)，则cos θ＝35，sin θ＝4

5.则Q 点的坐标应为

? ????10cos ? ????θ＋3π4，10sin ?

?

???θ＋3π4.

由三角函数知识得10 cos ? ????θ＋3π4＝－72，10sin ? ????

θ＋3π4＝－2，

所以Q (－72，－2)．故选A.

思路点拨：向量旋转前后模保持不变，因此求Q 点的坐标关系是求出旋转后OQ →与

x 轴正向的夹角，然后根据三角函数的定义求解．

6．(2014·北京，10，易)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.

6．[考向3]【解析】 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b .∴|λa |＝|b |，∴|λ|·|a |＝|b |， ∴|λ|·1＝5，∴|λ|＝ 5. 【答案】

5

7．(2013·四川，12，易)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD

→＝λAO →，则λ＝________． 7．[考向1]【解析】 如图，因为ABCD 为平行四边形，

所以AB

→＋AD →＝AC →＝2AO →， 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2. 【答案】 2

8．(2014·陕西，18，12分，中)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB

→＋PC →＝0，求|OP →|； (2)设OP

→＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．

8．[考向1，3]解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →

＝0，

又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴???6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得x ＝2，y ＝2， 即OP

→＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB

→＋PC →＝0，

则(OA

→－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP

→＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)， ∴|OP

→|＝2 2. (2)OP

→＝(x ，y )，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)． ∵OP

→＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴???x ＝m ＋2n ，①y ＝2m ＋n ，② ②－①得，m －n ＝y －x ，

令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值，故m －n 的最大值为1.

思路点拨：(1)根据向量相等，求出P 点坐标后求|OP →|；(2)根据向量相等，将m －

n 转化为x ，y 的关系，变换为线性规划问题．

平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：(1)向量的线性表示；(2)加(减)法运算几何意义的应用．考题多以选择题或填空题的形式出现，属于中低档题目，所占分值为5分．

1(1)(2014·浙江，8)记max{x ，y }＝

???x ，x ≥y ，y ，x

x ，x

设

a ，

b 为平面向量，则( )

A ．min{|a ＋b|，|a －b|}≤min{|a|，|b|}

B ．min{|a ＋b|，|a －b|}≥min{|a|，|b|}

C ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≤|a|2＋|b|2

D ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b|2

(2)(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →

＋yAC

→，则x ＝________；y ＝________. 【解析】 (1)方法一：对于平面向量a ，b ，|a ＋b|与|a －b|表示以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又|a ＋b|，|a －b|中的较大者与|a|，|b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b|2，故选项D 正确，选项C 错误． 方法二：若a ，b 同向，令|a|＝2，|b|＝3，这时|a ＋b|＝5，|a －b|＝1，min{|a ＋b|，|a －b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2，|b|＝6，这时|a ＋b|＝8，|a －b|＝4，min{|a ＋b|，|a －b|}＝4，而min{|a|，|b|}＝2，显然对任意a ，b ，min{|a ＋b|，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小关系不确定，即选项A 、B 均错．同理，若a ，b 同向，取|a |＝1，|b|＝2，则|a ＋b|＝3，|a －b|＝1，这时max{|a ＋b|2，|a －b|2}＝9，而|a|2＋|b|2＝5，不可能有max{|a ＋b|2，|a －b|2}≤|a|2＋|b|2，故选C 项错． (2)如图，在△ABC 中，

MN

→＝MA →＋AB →＋BN →＝－23AC →＋AB →＋12BC → ＝－23AC →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝12AB →－16AC →

，

∴x ＝12，y ＝－16.

【答案】 (1)D (2)12 －1

6

1.(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝

12AB ，BE ＝23

BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

1．【解析】 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →－16AB →，又DE

→

＝λ1AB →＋λ2

AC →，

∴λ1＝－16，λ2＝23.∴λ1＋λ2＝12. 【答案】 1

2

2．(2014·课标Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO

→＝12(AB →＋AC →)，则AB →

与AC

→的夹角为________． 2．【解析】 由AO →

＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°. 【答案】 90°,

解题(1)的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a ，b 特殊化，从而得到|a ＋b|，|a －b|的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．

解题(2)的关键是结合图形，正确运用平面向量加减运算的三角形法则，通过对向量的逐步分解即可求得结果．

平面向量线性运算的解题策略

(1)用已知向量表示某个向量问题的基本解题思路 ①观察各个向量的位置，特别注意平行关系； ②寻找相应的三角形或多边形； ③利用法则找关系； ④化简结果．

其中要特别注意结论：若AD 是△ABC 的中线，则有AD

→＝12

(AB →＋AC →)．

(2)构造三角形或平行四边形分析向量模之间的关系

根据向量线性运算的几何意义，涉及比较分析向量的模之间的大小关系等问题，均可构造三角形或平行四边形，通过三角形中的边角关系来确定向量模之间的关系．

高考对共线向量定理、平面向量基本定理的考查主要有以下几个方面：(1)利用共线向量定理求参数的值；(2)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算对向量进行分解；(3)在坐标表示的前提下由向量共线求参数值或对向量进行分解．一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值为5分．

2(1)(2012·大纲全国文，9)△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB

→＝a ，CA →

＝b ，a 2b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝( )

A.13a －13b

B.23a －23b

C.35a －35b

D.45a －45b

(2)(2015·课标Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．

【解析】 (1)方法一：∵a·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝255.

∴BD ＝55，AD ＝45

5，∴AD ∶BD ＝4∶1. ∴AD

→＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45

b .

方法二：如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由已知得A (2，0)，B (0，1)．又因为CD ⊥AB ，所以可求得D ? ??

??

25，45，于

是AD →＝? ??

??－85，45，而a ＝(0，1)，b ＝(2，0)，若设AD →＝x a ＋y b ，则有?????2y ＝－85，x ＝45，

即?????x ＝45，y ＝－4

5，故AD →＝45a －45b .

(2)因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，

所以存在实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0. 由于a ，b 不平行，所以???λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝12.

【答案】 (1)D (2)1

2

1.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的

是( )

A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)

B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)

C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)

D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)

1．B 方法一：若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2

－2，所以e 1，e 2不共线，根

据平面向量基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.

方法二：因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μ e 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μ e 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以???3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得???λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.

2．(2012·四川，7)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b

|b|成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a|＝|b|

2．C 因为向量a |a|的方向与向量a 相同，向量b |b|的方向与向量b 相同，且a |a|＝b |b|，

所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，

a |a|＝2

b |2b|＝b

|b|，故a ＝2b 是a |a|＝b

|b|成立的充分条件．,

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.

(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线?OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面

内任一点，t ∈R )．

(5)OA

→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.

应用平面向量基本定理应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

高考对平面向量坐标运算的考查主要有以下几个方面：(1)用坐标进行线性运算；(2)在坐标表示下两向量共线与垂直条件的应用；(3)用坐标运算进行向量的分解．高考中该类问题多以客观题的形式出现，难度一般，为中低档题目，分值为5分．

3(1)(2014·陕西，13)设0<θ<π

2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，

1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．

(2)(2013·北京，13)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如

图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则

λ

μ

＝________．【解析】 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ， 即2sin θcos θ＝cos 2θ.

因为0<θ<π

2，所以cos θ≠0，得2sin θ＝cos θ， 所以tan θ＝1

2.

(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标

系(设每个小正方形边长为1)，

则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1，1)，b

＝OB

→＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即???－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－1

2，

∴λμ

＝4.

【答案】 (1)1

2 (2)4

在考题展示(1)中，若θ∈? ??

??

π2，π，a ，b 的坐标不变，且a ⊥b ，

求tan θ的值．

解：由于a ⊥b ，所以a·b ＝0，即sin 2θ·cos θ＋cos θ＝0，因为π

2<θ<π，所以cos θ≠0，于是sin 2θ＝－1，即2θ＝3π2，从而θ＝3π4，故tan θ＝tan 3π4＝－1. ,

平面向量坐标运算的方法技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用． (2)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．

1．(2016·山东济南二模，3)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋

CB

→＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2OA

→－OB → D ．－OA →＋2OB → 1．C [考向1]因为AC

→＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)

＋(OB

→－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C. 2．(2015·河北邯郸一模，5)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m

n 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.1

2

2．C [考向3]由题意得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－1

2，故选C.

3．(2016·四川成都一模，4)在△ABC 中，D 是AB 边上一点，AD →＝3DB →，且CD →＝

λAC

→＋34CB →，则λ的值为( ) A.14 B ．－14 C.13 D ．－13

3．B [考向2]依题意有CD

→＝CA →＋AD →＝CA →＋34AB →＝CA →＋34(CB →－CA →)＝14CA →＋34

CB →

＝－14AC →＋34CB →，故λ＝－14.

4．(2015·浙江杭州质检，5)设O 是△ABC 的外心，若AO

→＝13AB →＋13AC →，则∠BAC

等于( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

4．C [考向1]取BC 的中点D ，连接AD ，则AB

→＋AC →＝2AD →.由题意，得3AO →＝

2AD

→，∴O 为△ABC 的重心．又O 为△ABC 的外心，∴△ABC 为正三角形， ∴∠BAC ＝60°，故选C.

5．(2016·山东潍坊一模，8)若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，

则△ABM 与△ACM 的面积之比为( ) A.12 B.13 C.1

4 D ．2

5．A [考向1]设AC 的中点为D ，则BA

→＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →

＝2BM

→，即M 为BD 的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12

. 6．(2015·陕西西安质检，14)已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________. 6．[考向2]【解析】 依题意，设a ＝k b ， 即2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)， 于是???2＝k ，－1＝kλ，解得λ＝－12.

【答案】 －1

2

7．(2015·河南开封二模，13)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)， C (－1，c )(c >0)，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ，μ的值分别是________． 7．[考向3]【解析】 ∵|OC →|＝2， ∴|OC

→|2＝1＋c 2＝4，c >0，∴c ＝ 3. ∵OC

→＝λOA →＋μOB →，

∴(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)， ∴λ＝－1，μ＝ 3. 【答案】 －1，3

8．(2015·安徽阜阳一模，14)在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB

→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________． 8．[考向2]【解析】 方法一：由AB →＝λAM →＋μAN →，得AB →＝λ·

12(AD →＋AC →)＋μ·

12(AC →＋AB →

)，则? ????μ2－1AB →＋λ2AD →＋? ????λ2＋μ2AC →＝0，得? ????μ2－1AB →＋λ2AD →＋? ??

?

?λ2＋μ2? ????AD →＋12AB →＝0，得? ????14λ＋34μ－1AB →＋? ?

???λ＋μ2AD →＝0. 又因为AB

→，AD →不共线，所以由平面向量基本定理得 ?????14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ

2＝0，解得?????λ＝－45，

μ＝8

5. 所以λ＋μ＝45.

方法二：如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，

由已知易得AB ＝4

5AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM

→＋μAN →. ∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝4

5. 【答案】 4

5

1．(2016·课标Ⅱ，3，易)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m

＝( )

A ．－8

B ．－6

C ．6

D ．8

1．D [考向1]方法一：a ＋b ＝(4，m －2)，

∵(a ＋b )⊥b ，∴(a ＋b )·b ＝0，即12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 方法二：∵(a ＋b )⊥b ，∴(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝0. ∴3－2m ＋9＋4＝0，解得m ＝8.

2．(2016·课标Ⅲ，3，易)已知向量BA →＝? ????12，32，BC →＝? ????32，12，则∠ABC ＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120° 2．A [考向2]如图．

易知|AB

→|＝|BC →|＝1，则∠α＝60°，∠β＝30°，∴∠ABC ＝∠α－∠β＝30°.

3．(2016·山东，8，中)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝1

3.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94

3．B [考向1]由题意得，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝m ·n 34||n 2＝13，所以m ·n ＝14||n 2＝14n 2

.

因为n ·(t m ＋n )＝0，所以t m ·n ＋n 2＝0，即1

4t n 2＋n 2＝0，所以t ＝－4.

4．(2015·山东，4，易)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →2CD →＝( )

A ．－32a 2

B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2

4．D [考向1]∵BD →＝BC →＋BA →，且CD →＝BA →，∴BD →2CD →＝(BC →＋BA →)·BA →

＝BC

→2BA →＋BA →2

＝|BC →||BA →|cos 60°＋|BA →|2 ＝12a 2＋a 2＝3

2a 2.故选D.

5．(2014·重庆，4，易)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )

A ．－92

B ．0

C ．3 D.152

5．C [考向2]2a －3b ＝(2k －3，－6)，由(2a －3b )⊥c ，得4k －6－6＝0，解得k ＝3.故选C.

6．(2014·课标Ⅱ，3，易)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5

6．A [考向2]由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1，故选A.

7．(2013·福建，5，易)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )

A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10

7．C [考向3]AC →2BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12|AC →||BD →|＝1235325＝5，故选C.

8．(2015·安徽，8，中)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC

→＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC

→

8．D [考向1]在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →

＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·

b ＝4a·b ＋|b|2＝43(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC

→，故选D.

9．(2013·湖南，8，中)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1 D.2＋2

9．C [考向3]建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，

∴可设OA

→＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OC →＝c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)， ∵|c －a －b |＝1，

∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，即点C (x ，y )的轨迹是以M (1，1)为圆心，1为半径的圆．而|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1，即|c |max ＝2＋1，故选C.

思路点拨：由于a ，b 是相互垂直的单位向量，故可建立直角坐标系，根据向量加法、减法以及模的几何意义进行求解，求解向量问题要善于运用数形结合的思想．

10．(2014·天津，8，中)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若 AE →2AF →＝1，CE →2CF →

＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.712

10．C [考向1]以AB →，AD →为基向量，则AE →2AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)

＝μAB

→2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →2AD → ＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.① CE

→2CF →＝(λ－1)BC →2(μ－1)DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－2

3.②

由①②可得λ＋μ＝5

6.

11．(2016·课标Ⅰ，13，易)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________．

11．[考向2]【解析】 方法一：a ＋b ＝(m ＋1，3)，又|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2. ∴(m ＋1)2＋32＝m 2＋1＋5， 解得m ＝－2.

方法二：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ·b ＝0，即m ＋2＝0，解得m ＝－2. 【答案】 －2

12．(2015·湖北，11，易)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →2OB →＝________． 12．[考向1]【解析】 OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝9. 【答案】 9

13．(2014·江西，14，中)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1

3，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．

13．[考向2]【解析】 a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－93131313＝8. ∵|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12313131

3＝9，∴|a |＝3. ∵|b |2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6313131

3＝8，∴|b |＝22， ∴cos β＝a ·b

|a ||b |＝83322

＝22

3.

【答案】

223

14．(2012·安徽，14，中)若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a 2b 的最小值是________．

14．[考向3]【解析】 由向量的数量积知，

－|a||b|≤a ·b ≤|a||b|?|a|·|b|≥－a·b (当且仅当〈a ，b 〉＝π时等号成立)． 由|2a －b|≤3

?4|a|2－4a·b ＋|b|2≤9

?9＋4a·b ≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b

?a ·b ≥－98(当且仅当2|a|＝|b|，〈a ，b 〉＝π时取等号)，∴a·b 的最小值为－9

8. 【答案】 －98

思路点拨：先由|2a －b|≤3找出a·b 与|a|·|b|之间关系，再利用基本不等式及数量积的定义求最值.

平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要从以下几个角度考查：(1)对数量积定义式的理解与应用；(2)在具体平面图形中计算数量积的值；(3)求一个向量在另一个向量方向上的投影．这类考题一般以选择题、填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为5分．

1(1)(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立

．．．．

的是( ) A ．|a·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2

(2)(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM

→＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →2NM →＝( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．6 (3)(2013·课标Ⅱ，13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →2BD →

＝________.

【解析】 (1)根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立；当向量a 和b 方向不相同时，|a －b|>||a|－|b||，B 不恒成立；根据|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立；根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．

(2)如图所示，由题意知，AM

→＝AB →＋BM →＝AB →＋

34AD ，NM →＝13AB →－14

AD →， ∴AM

→·NM →＝? ????AB →＋34AD →·? ??

??13AB →－14AD → ＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13336－3

16

316＝9.

(3)方法一：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (1，2)． 于是AE

→＝(1，2)，BD →＝(－2，2)， 故AE

→·BD →＝13(－2)＋232＝2. 方法二：由于四边形ABCD 为正方形，且边长为2，

所以AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝? ??

??AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝|AD

→|2－12AB →·AD →－12|AB →|2＝22－0－12322＝2. 【答案】 (1)B (2)C (3)2

1.(2013·湖北，6)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，

则向量AB

→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152 1．A 由AB

→＝(2，1)，CD →＝(5，5)，

得AB

→2CD →＝15，|CD →|＝5 2. ∵AB →2CD →＝|AB →||CD →|cos 〈AB →，CD →〉，

∴|AB →|cos 〈AB →，CD →

〉＝AB →2CD →

|CD →|

＝1552＝322.故选A.

2．(2012·天津，7)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，

AQ

→＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →2CP →＝－32，则λ＝( ) A.1

2 B.1±22 C.1±102 D.－3±222

2．A 如图，BQ →＝AQ →－AB →，CP →＝AP →－AC →，

∵BQ

→2CP →＝－32

， ∴(AQ →－AB →)·(AP

→－AC →)＝－32

， AQ

→2AP →－AQ →2AC →－AB →2AP →＋AB →2AC →＝－32. 又AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →， 代入上式得

(1－λ)AC

→2λAB →－(1－λ)AC →2AC →－AB →2λAB →＋AB →2AC →＝－32.(*) ∵△ABC 为等边三角形，且|AC →|＝|AB →|＝|BC →|＝2，

∴AC

→2AB →＝|AC →|2|AB →|2cos 60° ＝23231

2＝2，

|AC

→|2＝4，|AB →|2＝4，代入(*)式得 4λ2－4λ＋1＝0，

即(2λ－1)2＝0，∴λ＝1

2，故选A.

思路点拨：本题的关键在于将BQ

→，CP →用一组基底AB →，AC →来线性表示，然后根据

数量积的运算律，结合已知条件建立参数λ的方程求解．,