6UPS并联机构机电耦合动力学仿真[1]

第19卷第19期

系统仿真学报?V ol. 19 No. 19 2007年10月Journal of System Simulation Oct., 2007 6UPS并联机构机电耦合动力学仿真

武建新1，李强1，张辉2

（1.内蒙古工业大学机械学院, 呼和浩特 010051; 2.清华大学精密仪器与机械学系, 北京 100084）

摘要：并联机构机电耦合动力学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的复杂机电系统，

目前还没有一个成熟的并联机构动力学建模和仿真计算方法。文中针对6UPS并联机构，利用

MATLAB建立了包括机械机构、伺服电机和控制器的一体化的动力学模型；设计了伺服控制器并

对控制参数进行了整定。计算机仿真结果验证了机电耦合动力学模型建模正确合理；控制器对机构

位移和伺服电机转距良好的控制。

关键词：并联机构；机电耦合系统；动力学模型；仿真

中图分类号：TH113.2文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2007) 19-4599-05

Electromechanical Coupling Dynamic Simulation

of 6UPS Parallel Manipulator

WU Jian-xin1, LI Qiang1, ZHANG Hui2

(1.Mechanical School of Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051, China;

2.Department of Precision Instruments and Mechanology, Tsinghua University, Beijing 100084, China）

Abstract: Electromechanical coupling dynamic model of parallel manipulator is a multi-input, multi-output, non-linearity, tight coupling, and complicated electromechanical coupling system. There is no ripe method of dynamic modeling and simulation calculation for parallel mechanism. 6UPS parallel mechanism model including mechanism, servomotor and controller was established by MATLAB software. Servo controller was designed and controller parameters were fine-tuned.

The results of computer simulation validate the rationality of modeling of electromechanical coupling dynamics and show the optimal control of the mechanism’s displacement and torque of the servomotor by controller.

Key words: parallel manipulator; electromechanical coupling system; dynamic model; simulation

引言

并联机构是机器人技术和现代数控机床技术结合的产物。它能够提供机器人的灵活与柔性，又具有机床的刚度和精度，是集多种功能于一体的新型机电一体化设备[1-4]。该机构具有：刚度高、响应速度快、实现多自由度运动的能力，具有灵活实现空间姿态的能力等特点。并联机构动力学模型的建立和分析是机构的轨迹规划、整机动态设计和控制器参数整定的重要理论基础，可归结为已知刀具的运动规律(轨迹及其速度和加速度)，求解各关节的内力和驱动力。其动力学模型通常是一个多自由度、多变量、高度非线性、多参数耦合的复杂系统。相应的建模方法可采用几乎所有可以利用的力学原理，如牛顿－欧拉法、拉格朗日方程、虚功原理、凯恩方程等。国内外许多学者对此进行了研究[5-9]，但由于并联机构的复杂性，它的推导过程复杂，计算量大，目前还没有一个成熟的并联机构动力学建模和仿真计算方法。

由于并联机构是一种机电一体化装备，其电机的电磁参数与机械系统的动力参数构成参数耦合,共同影响整个系统

收稿日期：2006-07-31 修回日期：2006-10-24

基金项目：内蒙古自然科学基金资助项目(200308020204)

作者简介：武建新(1971-)，男，内蒙古乌兰察布人，博士生，副教授，研究方向为并联机构动力学；李强(1963-)，男，内蒙古乌兰察布人，教授，研究方向为动力学优化；张辉(1969-)，女，山东威海人，副教授，研究方向为数控系统。的动力学性能[10]，所以只有在并联机构动力学建模的同时考虑伺服机构的作用，该动力学方程才有可能应用于机构控制算法。文中针对6UPS并联机构建立了包括机械机构、伺服电机和控制器的一体化动力学系统模型。并对控制器参数进行了整定。

1 6UPS并联机构动力学模型的建立

虽然建立并联机构动力学方程的方法很多，但推导过程都很复杂，手工推导极易出错。即使在Mathmatica、MAPLE 等数学软件的符号计算的辅助下，也可能因为变量多，推出的公式长而又长，下一步微分方程的整理和求解也很繁琐，稍有不慎就可能出错，

得不到正确的结果。多体动力学软件包也有很多，如Modelica、ADAMS、DYNA等支持实体建模，微分方程求解器也很成熟，但大多不支持电机模型。本文选择Mathworks公司大型工程数学分析软件MATLAB的仿真模块SimMechanics和SimPowerSystem进行机电耦合动力学建模。其中SimMechanics模块支持多体动力学建模和仿真[11]，SimPowerSystem支持电机和电路建模和仿真。

1.1 SimMechanics简介

SimMechanics是mathworks公司在2001年推出的机构运动动力分析仿真模块，目前的最新版本是2.4版。新版软件支持多刚体运动、动力学建模仿真；支持三位实体软件的

2007年10月 系

统 仿 真 学 报 Oct., 2007

实体装配模型；仿真过程支持OPENGL 实体渲染和可视化杆件显示；可将模型转化为独立的C 程序从而加快仿真速度。SimMechanics 包含的主要模型库如表1。

表1 SimMechanics 模型库

模型库名称 主要模型

刚体 刚体、地面、机械环境

约束和驱动 齿轮、平行、点－弧约束；角度、位移、速度、线性驱动

力元素

刚体间弹簧阻尼力、铰链间弹簧阻尼力 铰链 14种常用铰链、无质量连接器、拆开的铰链

（支持自定义铰链）

传感器和 执行器

刚体、铰链的传感器和执行器、约束的传感器和执行器、摩擦执行器

SimMechanics 动力学仿真原理：

1、运动表示。与机器人运动分析相同，刚体的位置用笛卡儿坐标来表示；姿态用12种欧拉角、3×3矩阵或四元数向量表示；坐标变换通过乘以旋转矩阵实现。

2、动力学建模方法。SimMechanics 采用牛顿－欧拉方法建立刚体动力学模型，这样可以求解各构件的支反力。

牛顿动力学方程：

i i i m =F a (i ＝1,2,…, n ) (1) 式中，F i 为第i 个刚体的所受的外力；m i 为第i 个刚体的质量；a i 为第i 个刚体的质心加速度。

欧拉动力学方程：

i i i i i i =+×M I εωI ω (i ＝1,2,…,n ) (2) 式中，M i 为第i 个刚体的所受的外力距；I i 为第i 个刚体相对于原点通过质心并与刚体固结的刚体坐标系的惯量张量；εi 为第i 个刚体的角加速度；ωi 为第i 个刚体的角速度。

???

?

?

????

???????=z zy

zx yz y yx

xz xy x i I I I I I I I I I I (i ＝1,2,…, n ) (3) 式中，I x 、I y 、I z 分别为刚体对x 、y 、z 轴的转动惯量；I xy 、

I xz 、I yz 为离心转动惯量；有：

22

2322

13221212

1323()()

()v v v x v v

v v y v v v v z v v

v v

xy yx v v v v xz zx v

v v v yz zy v

I m ρρI m ρρI m ρρI I m ρρI I m ρρI I m ρρ?=+??=+??

?=+??

?==??

?

==?

?

?==??∑∑∑∑∑∑ (4) 式中，ρv 为刚体上v 点对于质心c 点的径矢。

ρv

＝(1ρv 2ρv 3ρv

)T ，1ρv 2ρv 3ρv 分别为ρv 在x 轴、y

轴、z 轴上相应的分量。

据上述公式，对机构中的各个构件分别应用牛顿－欧拉

方程，已知各构件（刚体）的运动规律（位移、速度、加速度），可求其所收受外力；已知各构件收受外力，可求其运动规律。从而解决动力学的正逆问题。SimMechanics 仿真步骤主要包括：

(1) 建立仿真模型。SimMechanics 建立仿真模型非常方便。首先直接从模型库中拖曳模型到Simulink 文件，然后按照实际物理模型的连接方式连接刚体、约束、铰链和地面。最后设置各构件的质心、铰链点坐标和参考系，设置各构件的姿态和参考系。

(2) 配置传感器和执行器。根据需要在输入和输出的位置配置执行器和传感器。

(3) 设置仿真环境。首先，根据模型坐标系设置重力加速度的大小和方向；选择模型分析方法，SimMechanics 提供了四种模型分析方法：正动力学分析方法、逆动力学分析方法、运动学分析方法以及平衡分析方法；设置装配的角度和距离误差。其次，设置约束求解器的类型，可以选择稳定求解、自定义精度求解和按计算机精度求解，另外可钩选是否在仿真中处理机构奇异的问题。第三，选择运动的线性化方式，自适应步长摄动法（精度高）和固定步长摄动法（速度快）。最后，选择是否在仿真过程中支持可视化模型显示。

(4) 启动仿真模型并查看仿真结果。

1.2 建立6PUS 并联机构模型

6PUS 并联机构的基本构成是：由动平台（上平台）和静平台（下平台）以及六个可伸缩的驱动腿（杆）组成。其中与动平台连接的铰链为球铰，与静平台连接的铰链为虎克铰如图1。本文研究对象的基本参数如表2

表2 并联机构参数表 构件名称

数 值

动平台直径（mm ） 160 动平台厚度（mm ） 50 动平台铰点分布角(rad)

π/6

移动腿直径（mm ） 75 移动腿长度（mm ） 300 移动腿行程（mm ） 250 丝杠直径（mm ） 25 丝杠长度（mm ） 300 丝杠导程（mm ） 4 非移动腿外径（mm ） 150 非移动腿内径（mm ） 75 非移动腿长度（mm ） 300 静平台铰点分布角(rad)

π/12

静平台直径（mm ） 960 静平台厚度（mm ） 30

在并联机构建模中，腿的结构较复杂，六条腿结构相同，所以首先建立腿结构模型。从SimMechanics 模型库中拖曳

Base

Leg

Platform

图1 并联机构示意图

2007年10月武建新，等：6UPS并联机构机电耦合动力学仿真Oct., 2007

两个刚体、一个球铰、一个虎克铰和一个移动副，并按实际物理模型连接。如图2点划线内部分。由于动平台和上下腿的坐标及姿态是时间的函数，这里都定义为变量，变量的初值由一个m文件给定。移动副的一端连接铰链执行器以输入驱动力；另一端连接铰链传感器以输出腿运动规律。

图2 并联机构单腿仿真模型

为了模型整洁可把腿封装为一个子模块，引出两个接口一个连接动平台，一个连接地面。最后把六条腿、动平台和地面连接到一起如图3。这样一个6PUS并联机构的动力学模型就建立起来了。

图3 并联机构仿真模型

1.3 轨迹规划

不论求解动力学正问题还是逆问题，我们都希望机构能按照我们期望的轨迹运动，所以要进行轨迹规划。并联机构的末端执行器轨迹是指动平台质心的轨迹，实际控制中我们并不能直接给定动平台位姿；而是通过给定六条腿的位移来实现对动平台位姿的控制，这样需要在每个伺服周期进行一次位置逆解运算（由腿的位移变化计算动动平台位姿）。

=×+?

L R P_t P P_b

(5)

?=

?

?

?

??

Leg

Leg (6)式中，L：为3×6的旋转矩阵，表示动、静平台铰链点的坐标差；R：为3×3的旋转矩阵，由绕x、y、z轴的三个欧拉转角表示上平台的姿态变化；P_t为3×6的矩阵，表示初始动平台铰链点相对于自身参考系的位置坐标；P为3×6的矩阵，表示动平台铰链点相对于静平台参考系的位置坐标；P_b 为3×6的矩阵，表示静平台位置坐标；△Leg为1×6的行向量，表示下一个伺服周期的腿长变化；Leg为1×6的向量，表示平台初始各腿的长度。这样只要给定上平台的姿态参数R和位置参数P，轨迹规划模块就可实时逆解出下一个伺服周期的腿长变化量，生成控制参考输入。

2 永磁同步伺服电机动力学模型的建立

现代交流伺服系统中,永磁同步电机(PMSM)以其优的性能而广泛应用于工业自动化、数控机床、机器人及航空航天等领域。永磁同步电机伺服系统状态空间模型建立在假设磁路不饱和、不计磁滞和涡流损耗影响、空间磁场呈正弦分布的条件下，当永磁同步电机转子为圆筒形(L d=L q)时，得dq坐标系上永磁同步电机的状态方程为：

d

s

m

d

d

d d

q

s

q m q

q q q

m m

m l

u

R

pw

L

L

i i

u

R p

P i pw i

L L L

w w

p B T

J J J

??

??

??

??

??

??

????

??

??

????

=???+??

??

????

??

??

????

????

??

??

????

??

????

λ

λ

(7)

式中，P为微分算子；R s为绕组等效电阻；L q为等效q轴电感(H)；L d为等效d轴电感(H)；p为电机磁极对数；w m为转子机械角速度(rad/s)；λ为每对磁极磁通(Wb)；T l为折算到电机轴上的总负载转矩(Nm)；i d为d轴电流分量(A)；i q为q 轴电流分量(A)；J为折算到电机轴上总的转动惯量(kgm2)。

根据矢量原理，控制三相定子电流合成矢量i s位于q轴上,和转子磁链矢量正交；就能保证合成矢量必与q轴重合，即i q=i s，i d= 0这样可以将永磁同步电动机的数学模型转化为直流电动机模型，从而可以仿照直流电机的方法来控制。本文采用i d= 0控制方法。PMSM空间矢量控制系统的结构图如图4所示

2.1 伺服电机建模

在MATLAB的SimPowerSystem工具箱中提供了由公式7建立的永磁同步伺服电机封装模型，这里只要设计PWM功放器，电流环中的PWM功放器由三个滞环比较器和一个3/2PARK变换组成。电机参数如表3，伺服电机仿真模型如图5。

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图4 PMSM 空间矢量控制系统的结构图

表3 电机参数 名 称

数 值

额定功率（KW ） 1.3 额定转速（rpm ） 3000 额定转距（NM ） 6 相电阻（?） 0.62 定子电感（H ） 0.002075 每对永磁体磁通（Wb ） 0.08627 转子转动惯量（kgm 2） 0.000508

定子极对数 4

图5 伺服电机仿真模型

2.2 连接伺服电机与并联机构

上述伺服电机输入为三相正弦交流电和参考转距，参考转距的计算公式如下[12]：

[()()]/l m l m l T K dt B =?+?∫????η （8） 式中，T l 为参考转距（Nm ）；K 为负载轴的扭转刚度（Nm ）；

B 为负载轴的阻尼（NMs ）；ωm 为电机转速轴(rad)；ωl 为负载轴转速(rad)；η为传动效率。负载轴的转速由并联机构腿中移动副的移动速度转换而来；参数K ＝5157；B ＝200；

η＝0.9。将上述公式变为Simlink 模型screw 如图2，输入

为负载轴转速和电机轴转速；输出为负载参考力矩和移动腿的驱动力。

3 控制器设计

为了方便调整控制器参数，速度控制器和位置控制器设在模型的顶层。位置环控制器为PID 控制器，运动轨迹参考由轨迹规划模块提供，输出为速度参考；速度环控制器为

PI 控制器，输出为伺服电机电流参考iq *。

本文采用MATLAB 的Simlink Response Optimization 模块实现控制参数整定。Simlink Response Optimization 参数整定的一般步骤是：

1、设置待整定参数；

2、对输出信号施加约束（即指定输出的误差）；

3、选择参数优化算法；

本文的伺服系统中，首先进行速度环参数整定，然后在调整好的速度控制参数基础上再进行位置环参数整定。最终速度环控制器参数为：Kp = 643，Ki ＝ 10；位置环控制器参数为：Kp = 881，Ki ＝ 1821，Kd ＝ 878。

4

仿真与分析

动平台质心的轨迹设定为：首先在动平台原点（0, 0,

0.7）处X 、Y 轴联动插补正方形；然后X 、Y 、Z 轴联动插补螺旋线；如图6。最后由轨迹规划模块将动平台运动轨迹解算为六个移动腿轨迹作为位置控制器的输入参考。

0.05

0.7

0.72

0.740.760.780.8X /m

Y /m

Z /m

图6 运动平台设定轨迹

通过求解微分方程，各腿随时间实际运动轨迹如图7。

-0.1

00.10.20.3Time /s

L e g P o s i

t i o n /m

图7 仿真输出各腿的轨迹

为了更清楚看到控制器的控制精度，输出了轨迹规划模块计算的参考腿长与仿真输出的实际腿长的误差如图8。可

以看出最大误差约为8×10－

5m ，而且速度变化大的位置，输

出误差也大。

-5

5

10

× 10-5

Time /s

L e g P o s i t i o n E r r o r /m

图8 腿长误差

2007年10月 武建新，等：6UPS 并联机构机电耦合动力学仿真 Oct., 2007

移动腿驱动电机输出转距如图9，可以看到转距大约在

2NM 左右波动。

-10123Time /s

M o t o r T o r q u e /N m

图9 驱动电机输出转距

4 结论

本文详细介绍了利用MATLAB 的仿真模块

SimMechanics 和SimPowerSystem 进行6UPS 并联机构的机电耦合动力学建模过程。设计了伺服控制器，并对控制器参数进行了整定。该方法可以大大提高机电系统设计和分析的效率。经设计实例验证,本方法具有较高的速度和精度，稳定性好，有广阔的应用前景。

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（上接第4580页）

3）当4 ≤ N ≤ 1000时，存在242个无紧优双环网络的N 值。可以看出，对于大部分的N 值，能构造一个以上的紧优双环网络，更全面直观的印证了文献[10]的观点，即大量的紧优单位步长双环网络存在[10]，不象其它文献那样苦苦寻找紧优的单位步长双环网络[1-9]。

4 结论

本文提出一种快速仿真算法，研究双环网络G (N ; 1, s )的紧优分布特性，成功仿真出了4≤N ≤1000时双环网络G (N ;

1, s )的n-N 分布率与n/(N-2)-N 的分布率，并列出无紧优双环网络的N 值。仿真结果表明，n-N 的空间呈现平稳的波动特性，n/(N-2)-N 的分布成明显的波动性下降的特性，且与N 值奇偶无关，而此类研究在国内外文献中还未见到。

将此仿真方法应用于非单位步长双环网络),;(s r N G 及如何能从紧优分布特性中寻找到快速构建紧优双环网络的方法，是下一步研究的重点。

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