最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为:
?
?
?=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。 解:(1)从方程
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即:02
3
5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
(2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线?
??==c z y
x 的直线方程为:
???
??=-=-=?
??
?
??=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上,所以
??
?=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:026888232
22=--+--++z y x xy z y x
此即为要求的柱面方程。
2
而0M 在准线上,所以:
??
?+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ,得到:010*******
22=--+++z x xz z y x
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解:过
又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{
}1,1,1的直线方程为: ???
??-=-=-=?
??
?
??+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t
x x 1
11111 将此式代入准线方程,并消去t 得到:
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
S v u Y x +=)(
与
??
?
??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',则,
v M ='
即
1、求顶点在原点,准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为:
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得:
0)()(222=-+--y z y z z x
即:02
22=-+z y x
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,12
22=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。
解:设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使
???
??++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程,并消去t 得:
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。 4、求
对锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与顶点O 的母线为:
z
Z y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去t 得:
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(,轴与平面022=++z y x 垂直,且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解:轴线的方程为:
1
42221-=
-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为:
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即: 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
,它与)1,2,3(的距离为: 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为:
的径矢为{}0000,,z y x =γ,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:
0()(1)v u v γγγ=+-
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z
=+-??
=+-??=+-?
式中,v u ,为参数。
证明:对锥面上任一点),,(z y x M ,令OM γ=,它与顶点A 的连线交准线于((),(),()M x u y u z u '=,即OM ()u γ'=。
//AM AM ',且0AM '≠(顶点不在准线上) AM vAM '∴=
即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示,即:
000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-
??
?
??-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z
v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程,v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程:
(1);
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==
-旋转 (2);1211x y z -==-绕1112x y z -==
-旋转 (3)1133
x y z -==-绕z 轴旋转;
(4)空间曲线2
221
z x
x y ?=??+=??绕z 轴旋转。
解:(1)设1111(,,)M x y z 是母线
111
112
x y z -+-==
-上任一点,过1M 的纬圆为:
111222222111()()2()0(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?
因1M 在母线上, 1111
211
x y z -∴
==
- (3) 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:
2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=
此为所求的旋转面的方程。
(3)对母线上任一点1111(,,)M x y z ,过该点的纬圆为:
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上,所以:
111
1133
x y z -==- (3) 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。
(4)对母线上任一点1111(,,)M x y z ,过1M 的纬圆为:
1
222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上,所以
2
112211(1)1
(2)
z x x y ?=??+=??
从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤
即旋转面的方程为:22
1x y += (01)
z ≤≤ 2、将直线
01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转,求这旋转面的方程,并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面?
解:先求旋转面的方程式:
z
任取母线上一点1111(,,)M x y z ,过1M 的纬圆为:
1222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又
1
11
01
x y z βα
-=
= (3) 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:
222220x y z αβ+--=
此即为所求旋转面的方程。
当0,0αβ=≠时,旋转面为圆柱面(以z 轴为轴);
当0,0αβ≠=时,旋转面为圆锥面(以z 轴为轴,顶点在原点); 当,0αβ≠时,旋转面变为z 轴;
当0,0αβ=≠时,旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===,将曲线Γ绕z 轴旋转,求旋转曲面的参数方程。
解:如图,设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点,则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ,
§4.4椭球面
1、做出平面20x -=与椭球面222
21494x y z +
+=的交线的图形。 解:平面20x -=与椭球面222
21494
x y z +
+=的交线为: 2
2
39
442
y z x ?+=
???=? ,即 22
12734y z ?+=???? ——椭 图形为
y
2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x =的距离的一半,试求此动点的轨迹。 解:设动点(,,)M x y z ,要求的轨迹为∑,则
条两两相互垂直的射线,分别交曲面123,,p p p ,设112233,,op r op r op r ===,试证:
222222123111111r r r a b c
++=++ 证明:利用上题结果,有2222222
1(1,2,3)i i i i i r a b c
λμν=++=
其中,,i i i λμν是i op 的方向余弦。
若将(1,2,3)i op i =所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴,则123,,λλλ是坐标矢量关于
新坐标系的方向余弦,从而222
1231λλλ++=,同理,
2221231μμμ++=,2221231ννν++= 所以,
222222222
123123123222222123222
111111()()()111
r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=
++
即:
222222
123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ,当直线变动时,直线上的三定点
,,A B C 也分别在三个坐标面上变动,另外,直线上有第四点p ,它与三点的距离分别为,,a b c ,当直线按照这样的规定(即保持,,A B C 分别在三坐标面上)变动,试求p 点的轨
迹。
解:设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ,则知:
2121331221
,x z z y
x y z z z z =
=--
z z
21211221
(
,,0)x z z y
C z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ,,,pA a pB b pC c ===
2222
11
2222222222
21211221()()(1)()()(2)()()(3)
x y y z z a x x y z z b x z z y
x y z c z z z z ?
?+-+-=??-++-=???-+-+=--??
又p 在AB 的连线上,11
1121
y y z z x x y z z --∴
==--(4) 从(1)——(4)消去1122,,,y z x z ,得到
即:22
2
22(1)1a a b c
λ-=-
222
2
222
a
c b c b a
λ-=?- λ∴=满足要求的平
2、给定方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时,它表示怎样的曲面?
解:对方程222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- (*) 1o、当A λ>时,(*)不表示任何实图形; 2o、当A B λ>>时,(*)表示双叶双曲面; 3o、当B C λ>>时,(*)表示单叶双曲面; 4o、当C λ<时,(*)表示椭球面。
3、已知单叶双曲面222
1494
x y z +-=,试求平面的方程,使这平面平行于yoz 面(或xoz 面)
且与曲面的交线是一对相交直线。
解:设所求的平面为x k =,则该平面与单叶双曲面的交线为:
(*) 222
1
494
x y z x k ?+-=???=?
亦即 2221944y z k x k ?-=-
???=?
为使交线(*)为二相交直线,则须:2
104
k -=,即2k =± 所以,要求的平面方程为:2x =±
同理,平行于xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线,则该平面为:3y =± 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍,试求这动点的轨迹。
解: 22
20241160x y x +--=
此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线,C 是l 与m 的公垂线的中点,,A B 两点分别在直线l ,m 上滑动,且90ACB ∠=,试证直线AB 的轨迹是一个单叶双曲面。 证明:以l ,m 的公垂线作为z 轴,C 作为坐标原点,再令x 轴与l ,m 的夹角均为α,公垂线的长为2c ,若设tg αλ=,则l 0:y x l z c λ+=??=? 0:y x m z c λ-=??=-?
令11(,,)A x y c ,22(,,)B x y c -11220,0y x y x λλ+=-=
又AC CB ⊥,所以:222222222
11221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+
亦即 2
12120x x y y c +-= (2)
又设(,,)M x y z 为AB 上任一点,则
c
c
z y y y y x x x x 2121121--=--=-- (3)
从(1)——(3)中消去2211,,,y x y x ,得:
222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---
即:
11122
2
222222=+---c z c y c x λλλ (4) l 不垂直m ,1≠∴λ
(4)表示单叶双曲面,即AB 的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为:
??
?
??===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与 ??
?
??===u c z v btgu y v atgu x sec sin cos 解为:
z b
y a x 222
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。
∴有:
??????
?=+=+219112412
222b a b
a 从而
56
1,536122
==b a
所以要求的椭圆抛物面的方程为:z y x 25
65362
2=+ 即:z y x 53182
2=+
2、适当选取坐标系,求下列轨迹的方程:
(1)到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹; (2)与两给定的异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线间的距离为a 2,夹角为α2。 解:(1)取定平面为xoy 面,过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴,则定点的坐标设为
),0,0(a ,而定平面即为0=z ,设比值常数为c ,并令所求的轨迹为∑,则
点c z
a z y x z y x M =-++?
∑∈2
22)(),,(
即02)1(2
2222=+--++a az z c y x
此为的方程。
(2)取二异面直线的公垂线为轴,中点的坐标为原点;再取x 轴,使其与二异面直线的夹角相等,则二异面直线的方程为:
??
?==?+a
z x tg y 0
α 与 ??
?-==?-a
z x tg y 0
α 设所求的轨迹为∑,则
α
α
αα
α
α22
2222
221110011100),,(tg tg y
x x a z tg a z y
tg tg y
x x a z tg a z y z y x M +-+-+--=
+++++?
∑∈
解:略。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成:
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x 与 ??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()
( 式中的v u ,为参数。 解:对方程
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x
消去参数v u ,得:z b
y a x 222
22=+
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程
??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 消去参数v u ,得:z b
y a x 222
22=-
这正是双曲抛物面的方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程:
(1)02
22=-+z y x (2)axy z = 解:(1)从原方程得:2
22y z x -=-
即:y y z x z x ?-=-+))((
亦即:
?
?
?-=-=+?=--=+y t z x ty z x t z x y
y z x )( 为了避免取极限,将上方程写成:
??
?-=-=+sy
t z x ty
z x s )()( (1) 若将原方程变形为:2
22x z y -=-,则可得到: ?
?
?-=-=+ux z y v vx
z y u )()( (2)
若令)(2
1s t u -=
,)(2
1s t v +=
,则(2)便是(1)
∴原曲面的直母线族是(1),其中t s ,不全为零。
(2)原方程变形为:ay x
z
=
亦即:t ay x
z
==
??
?==∴t
ay xt
z (1) 由
ax y
z
= 得: ??
?==s
ax sy
z (2)
(1)(2)即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面(式中的λ为参数)
(1)0112λ
λ-=-=-z y x ; (2)???=--=++4
42442z y x z y x λλλλ 解:(1)原方程等价于?
??=-=-λλz y
x 2
从此式中消去λ,得:y x z +=2
此即为直母线(1)所形成的曲面。
(2)从原方程中消去λ得:14
1622
2=-+z y x 此即为(2)的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面z y x =-4162
2上,求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。 解:双曲抛物面z y x =-4
162
2的两族直母线为: ??????
?=-=+z y x u u
y
x )24(24 及 ???????=+=-z y
x v v y
x )2
4(2
4
第一族直母线的方向矢量为:},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为:},1,2{v 据题意,要求的直母线应满足:
2
04232104232=?=-+?=?=--?v v u u
要求的直母线方程为:
???????=-=+z y x y
x 2412
4 及 ???????=+=-2
2422
4z y x y
x 4、试证单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影,一定是其腰圆
的切线。
证明:单叶双曲面的腰圆为??
???==+
0122
22z b y a x
两直母线为:
??????
?+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b
y v c z
a x 它在xoy 面内的射影为 : ?????=-++=0
)
1(12z v v
b y v v a x
(2) 将(2)的第一式代入(1)的第一式得:
44)]1(1[222
=+-++b
y v v b y v v
即:0)1()1(2])1(1[
2
22
222=-+-++v v y v v
b y v v b 上述方程的判别式为:
0)1()1(4)1(4222
2
222=-+--=
?v v v v b
v v b ∴ (2)与(1)相比,证毕。
5、求与两直线11236-==-z y x 与21
4
283-+=
-=z y x 相交,而且与平面0532=-+y x 平行的直线的轨迹。
解:设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ,则
11236000-==-z y x ,21
4
283111-+=-=z y x 又动直线与平面0532=-+y x 平行,所以,0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点),,(z y x M ,有:
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=--
从(1)——(4)消去111000,,,,,z y x z y x ,得到:z y x 44
92
2=- 6、求与下列三条直线
??
?==z y x 1
, ??
?-=-=z
y x 1 与52
4132+=+=--z y x
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则