2.61双曲线的性质

2.61双曲线的性质

【学习目标】

1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.

2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.

3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】

要点一、双曲线的简单几何性质

双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质

范围

2

2221x x a a

x a x a

即或≥≥∴≥≤-

双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.

对称性

对于双曲线标准方程

22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对

称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线

22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 离心率

①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a

==。 ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c

e a

=

>。 由c 2

=a 2

+b 2

，可得b a ==b a 决定双曲线的开口大小，b a 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。

③等轴双曲线a b =，所以离心率2=

e 。

渐近线

经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x=±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y=±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是b

y x a

=±

。

我们把直线x a

b

y

±

=叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 =||b MN

x a

==

→

x

要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较

要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上。

对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 要点三、双曲线的渐近线

（1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为12222=-b y a x ，则其渐近线方程为?=-02222b

y a x 0=±b y a x ?x a b

y ±=

已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。 （2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为22

2

2

m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可。

（3）与双曲线122

22=-b

y a x 有公共渐近线的双曲线

与双曲线12222=-b y a x 有公共渐近线的双曲线方程可设为22

22(0)x y a b λλ-=≠（0>λ，焦点在x 轴上，

0<λ，焦点在y 轴上）

（4）等轴双曲线的渐近线

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠.

要点四、双曲线中a,b,c 的几何意义及有关线段的几何特征：

双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=b 2+a 2。

双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>，如图：

（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长

2b ,焦距12||2F F c =， （2）离心率：121122121122||||||||1||||||||PF PF A F A F c e e PM PM A K A K a =

=====>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；

（4）21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.

（5）与焦点三角形21F PF ?有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211

sin 2

PF F S PF PF F PF ?=

?∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ?之间的关系.

【典型例题】

类型一：双曲线的简单几何性质

例1．求双曲线22169144-=x y 的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.

【解析】 把方程化为标准方程

22

1916

y x

-=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，

∴5c == ∴双曲线的实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-， 离心率53c e a =

=，渐近线方程为34

y x =± 【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.

举一反三：

【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．1

4

-

B ．－4

C ．4 D.

14 【答案】A

【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2

-，则k 的值等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．32

- 【答案】C

类型二：双曲线的渐近线

例2.已知双曲线方程，求渐近线方程。

（1）221916

x y -=；（2）

22

-1916x y -= 【解析】

（1）双曲线

221916

x y -=的渐近线方程为：22

0916x y -= 即43

y x =±

（2）双曲线

22-1916x y -=的渐近线方程为：22

0916

x y -= 即4

3

y x =±

【总结升华】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22

221y x a b -=的渐近线方

程为b x y a =±，即a y x b =±；若双曲线的方程为22

22x y m n

λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上），则其渐近线方程为22220x y m n

-=?0x y m n ±=?n

y x m =±.

举一反三：

【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程

（1）22

11636

x y -=；（2）2228x y -=；（3）22272y x -= 【答案】（1）32y x =±

；（2

）2

y x =；（3

）y = 【变式2】(2015 北京)已知双曲线22

21(0)x y a a

-=>

0y +=，则a ＝________．

【解析】

0y +=

，∴有b a -=22

21x y a

-=得b =1，且a ＞0

．所以

3

a =

． 【变式３】（2016 北京文）已知双曲线22

221x y a b

-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x +y =0，一个焦点

,0），则a =_______；b =_____________.

【答案】依题意有2c b a

?=?

?=??，结合c 2=a 2+b 2，解得a =1，b =2。

例3. 根据下列条件，求双曲线方程。

（1) 与双曲线

22

1916

x y -=

有共同的渐近线，且过点(-； （2）一渐近线方程为320x y +=

，且双曲线过点M 【解析】（1）解法一：

当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22

221x y a b

-=

由题意，得22

2

243(3)1

b a a b ?=???-?-=??，解得294a =，2

4b = 所以双曲线的方程为22

4194

x y -= 当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22

221y x a b

-=

由题意，得2

24

3(3)1

a b b ?=??--=，解得2

4a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为22

4194

x y -= 解法二：设所求双曲线方程为

22

916

x y λ-=（0λ≠），

将点(-代入得1

4

λ=

， 所以双曲线方程为

2

2

19164x y -=即2

2

4194

x y -= （2）依题意知双曲线两渐近线的方程是

023

x y

±=. 故设双曲线方程为

22

49

x y λ-=，

∵点M 在双曲线上，

∴

22849

λ-=，解得4λ=，

∴所求双曲线方程为

22

11636

x y -=. 【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为

2222a x b y λ-=（0λ≠）.

举一反三：

【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为2

3

y x =

的双曲线方程是（ ） A.

225513654x y -= B.22

5513654x y -+= C.22131318136x y -= D.22

131318136

x y -+= 【答案】D

【变式2】过点(2，-2)且与双曲线12

22

=-y x 有公共渐近线的双曲线是 ( ) A. 14222=-x y B. 1242

2=-y x C. 12422=-x y D. 14

22

2=-y x 【答案】A

【变式3】设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】C

【变式4】双曲线22221x y a b -=与22

22(0)x y a b

λλ-=≠有相同的（ ）

A ．实轴

B ．焦点

C ．渐近线

D ．以上都不对 【答案】C

类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围

例4. 已知21,F F 是双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支

交于A 、B 两点,若2ABF ?是正三角形,求双曲线的离心率。

【解析】∵12||2F F c =，2ABF ?是正三角形，

∴12||2tan 30

3AF c ==

，22||2tan 30cos303

c AF

c ==

=

∴21||||2333

AF AF c a

-=-==， ∴c

e a

=

=

【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a

=

举一反三： 【变式1】

(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>

的离心率e =

过点A(0,-b)和B(a,0)

.

(2) 求过点(-1,3)，且和双曲线

22

149

x y -=有共同渐近线的双曲线方程. 【答案】（1）2

213

x y -= （2）22

41273

y x -= 【变式2】(2015 山东文)过双曲线C ：22

221x y a a

-=(a ＞0,b ＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交

C 于点P.若点P 的横坐标为2a,则C 的离心率为 .

【答案】2+【解析】双曲线22

221x y a a +=的右焦点为（c ，0）.不妨设所作直线与双曲线的渐近线b y x a =平行，其方程

为()b y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c

+=，由

22

22a c a c +=，得2()410c c a a -+=，

解之得

22c c a a ==-1c

a

>）

，故双曲线的离心率为2+【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．1

2

B ．1

C ．1

D ．1

【答案】D

类型五：双曲线的焦点三角形

例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于

A 、

B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2ABF ?的周长.

【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，

∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=.

即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=.

故2ABF ?的周长22||||||28L AF BF AB =++=.

【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．

举一反三：

【变式1】已知双曲线的方程22

221x y a b

-=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦点

F 2，|AB|=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）

A ．2a+2m

B ．4a+2m

C ．a+m

D ．2a+4m 【答案】B

【变式2】已知12F F 、是双曲线

22

1916

x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ?=，则12F PF ∠=______

【答案】

90

【巩固练习】 一、选择题

1．(2015 广东)已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的离心率54e =，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线C 的方

程为（ ）

A ．

22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22

134

x y -= 2．设F 1、F 2分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|+|PF 2|=3b,

|PF 1|·|PF 2|=9

4ab ，则该双曲线的离心率为（ ）

A.43

B. 53

C. 9

4

D.3

3.双曲线与椭圆

2211664

x y +=有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y x =-,则双曲线的离心率为( ) A.2

2

96x y -= B. 2

2

160y x -= C. 2

2

80x y -= D. 2

2

24y x -=

4．过双曲线

22

22b

y a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q=90?，则双曲线的离心率是（ ）

A.2

B.1+2

C.2+2

D.3 5. 已知双曲线

2

2

22

1x y a b -=(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．y ＝

B ．y ＝

± C ．y ＝

±

4

x

D ．y ＝±3x

6．（2016 天津文）已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线

02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）

A ．1422=-y x

B ．1422

=-

y x C ．

15320322=-y x D ．12035322=-y x

二、填空题

7．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是

________．

8．椭圆

22214x y a

+=与双曲线2

221x y a -=焦点相同，则a ＝________. 9．（2015春 黑龙江期末改编）与双曲线2

2

14y x -=有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为 10．（2016 浙江文）设双曲线2

2

13

y x -=的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是______．

三、解答题

11.设F 1，F 2分别为双曲线22

221x y a b

-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足

212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．

12．设双曲线22

22b

y a x -=1（0

4

3

c ，求双曲线的离心率.

13．已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)

过点A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.

求此双曲线方程．

14．已知双曲线2

214

x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ?的面积.

15．如下图，已知F 1，F 2是双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形

MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．

【答案与解析】 1．【答案】：C

【解析】由双曲线右焦点为F2（5，0），则c=5，

5

4

c e a =

=，∴a=4 ∴b 2

=c 2

－a 2

=9，所以双曲线方程为

19

162

2=-y x 2．【答案】：B 【解析】：由双曲线的定义得：|PF 1|-|PF 2|=2a ,(不妨设该点在右支上) |PF 1|+|PF 2|=3b,所以|PF 1|=

22332,||22

a b b a

PF +-=， 两式相乘得

22949

44

b a ab -=。结合222

c a b =+得53c a =， 故5

3

e =

,故选B 。 3．【答案】： D

【解析】： 设双曲线方程为2

2

(0)y x λλ-=≠

∵焦点(0,±

∴0,λ>

又22λ=,24λ= 4. 【答案】：B

【解析】：因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足22

22b y a c -=1

，∴y =

∴2c =

即 2ac=b 2=c 2-a 2, ∴1

2e e

=-,故e=1+2.

5. 【答案】： B 【解析】：如图，

分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，

∴

1

3OA AB OF FC ==， ∴13a c =

，∴b

a

=

故渐近线方程为：y =±.

6. 【答案】：A

【解析】由题意得c =122b a a =?=，22

1141

x y b =?

-=，选A 7. 【答案】：(±2,0)

【解析】：由题意得：a ＝1，e ＝c

a

＝2，所以c ＝2，又由标准方程可得焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±2,0)．

8．【答案】：

【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a

9．【答案】：

22

1312

x y -= 【解析】设双曲线方程为2

2

4

y

x k -

=， 因为双曲线过点（2,2），所以k =3,所以双曲线的方程为

22

1312

x y -=。 10.

【答案】

【解析】由已知a =1

，b =c =2，则2c

e a

=

=，设P （x ，y ）是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则1＜x ＜2，|PF 1|=2x+1，|PF 2|=2x －1，

∠F 1PF 2为锐角，则|PF 1|2+|PF 2|2＞|F 1F 2|2，即(2x+1)2+(2x －1)2＞42，解

得2x >

，所

以22

x <<

，12||||4PF PF x +=∈

11. 【解析】：过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知F 2A ＝2a ，12F F ＝2c ，则1AF ＝2b ，∴1PF ＝4b ，而1

PF －2PF ＝2a ，

∴4b －2c ＝2a ， c ＝2b －a ， c 2＝(2b －a )2，

a 2＋

b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得4

3

b a =， ∴双曲线的渐近线方程为

43

y x =±.

12.【解析】： 由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0, 原点到l

的距离为

4

4=,

又c 2=a 2+b 2,

∴2

4ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4. 两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或2

4

3

e =

. ∵ 0,221b a >,得2222

2

212a b b e a a

+==+>, ∴e 2=4，故e=2.

13.【解析】： 双曲线22

221x y a b

-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0.

点A 到两渐近线的距离分别为

1d =

，2d =

已知d 1d 2＝43，故2222

|145|4

3

b a a b -=+ (ⅰ) 又A 在双曲线上，则 14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)

(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ

)

联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.

故所求双曲线方程为22

142

x y -=.

14. 【解析】：

解法一： 由双曲线的方程知a=2, b=1,

∴c =

因此12||2F F c ==由于双曲线是对称图形，如图所示，

设P 点坐标为(x,14

2-x )，

由已知F 1P ⊥F 2P ，

∴111F P F P

k k ?=-,

1=-， 得2

245x =

，∴12

1211||122F PF S F F ?=?=?= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16, 又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20, ∴|PF 1||PF 2|=

21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=2

1

(20-16)=2, ∴121F PF S ?=.

15.【解析】：设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·2

.又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a

，所以1

2a c =

，1c e a ==

=.