离散数学学习笔记-个人总结

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第1章主要介绍集合论的基本概念和结论,集合的运算及其性质,以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容.考试经常涉及到的题型有以下4个:

集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系

幂集的计算

集合之间的运算

利用集合运算性质证明集合恒等式

大家对于集合与集合、元素和集合之间的关系往往容易混淆,那让我们来仔细分析下二者的区别。

1.集合与集合之间存在一种包含关系,用?、?、?、?等符号表示

①对任意两个集合A和B,若B中的每个元素都是A中的元素,则称B为A的子集,用B?A(B为A的子集)或A?B(B被A包含)表示.若B不是A的子集,即B?A不成立时,则称A不包含B,记作BA.

②空集是任意一个集合的子集,集合A也是自己的子集.

③对任意两个集合A和B,若B?A且B≠A,则称B为A的真子集,用B?A或A?B表示.

2.元素与集合之间存在一种从属关系,用∈、等符号表示

当a是集合A中的元素,则称a属于A,记作a∈A;

若a不是集合A中的元素,则称a不属于A,记作aA.

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]若集合A={a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是(C).(2008年9月试卷第1题)

A.{a,{a}}∈A B.{2}?A C.{a}?A D.∈A

[分析]

选项A,错了.

因为{a,{a}}是集合A={a,{a},{1,2}}的子集,集合之间应该用包含关系?表示,即{a,{a}}?A.

选项B,错了.

因为2不是集合A={a,{a},{1,2}}的元素,当然{2}也不是A的子集.正确的表示方法是{2}A.

选项C,正确.

因为a是集合A={a,{a},{1,2}}的元素,所以取元素a组成一个集合{a}就是A的子集,用包含关系?表示是正确的.

注意:{a}也是集合A的元素,若属于关系∈也是正确的.

选项D,错了.

因为空集是任意一个集合的子集,所以也是A的子集,集合之间应该用包含关系?表示,即?A.

[例2]若集合A={a,b},B={a,b,{a,b}},则().(2009年7月试卷第1题)

A.A?B,且A∈B B.A∈B,但AB

C.A?B,但AB D.AB,且AB

[答案]A

[分析]

选项A,正确.

因为集合A={a,b}既是取集合B={a,b,{a,b}}中元素a,b组成的一个集合,是B的一个真子集,用A?B 表示是正确的;但它也是B的元素,所以用A∈B表示也是正确的.

选项B,错了.

选项中第一个式子A∈B是正确的,但第二个式子AB是错的.因为集合A={a,b}是取集合B={a,b,{a,b}}中元素a,b组成的一个集合,是B的一个真子集,应该用A?B表示,而不是用AB表示.

选项C,错了.

选项中第一个式子A?B是正确的,但第二个式子AB是错的.因为集合A={a,b}是集合B={a,b,{a,b}}中元素,应该用A∈B表示,而不是用AB表示.

选项D,错了.

因为集合A={a,b}是取集合B={a,b,{a,b}}中元素a,b组成的一个集合,是B的一个真子集,应该用A?B 表示,而不是用AB表示.

又因为集合A={a,b}是集合B={a,b,{a,b}}中元素,应该用A∈B表示,而不是用AB表示.

幂集的计算比较简单,先来看什么是幂集呢?

由集合A的所有子集组成的集合,称为A的幂集,记作P(A)或2A.若集合A是由n个元素所组成的集合,则A的幂集由2n元素组成.当n=3时,A的幂集由23=8个元素组成.举个例子来说,大家就会觉得比较简单了.设集合A = {0, 1, 2 },则A的全部子集由以下子集组成:

0元子集(即空集):;

1元子集:{0},{1},{2};

2元子集:{0, 1},{0, 2},{1, 2};

3元子集(即集合A):{0, 1, 2}.

因此,计算集合A的幂集时,首先要按照上述方法写出集合A的全部子集,然后检验写出的子集个数是否等于2n个,其中n是集合A的元素个数

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1] 若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为().(2008年7月试卷第3题)A.1024B.10

C.100D.1

[答案]:A

[分析]

由集合A的所有子集组成的集合,称为A的幂集,记作P(A)或2A.

若集合A是由n个元素所组成的集合,则A的幂集由2n元素组成.本题集合A有10个元素,因此A的幂集由210=1024个元素组成.

所以选项A是正确,其他选项都不对.

【易错点】

当n比较大时,有些同学可能不会计算2的n次幂,即把210计算错了.【提示】

若集合A有n个元集,则其幂集P(A )有2n个元素.

[例2] 设集合A={a,b},那么集合A的幂集是_________ .(2008年7月试卷第6题)

[答案]:{,{a},{b},{a,b}}

[分析]

按照幂集定义,集合A={a,b}的所有子集就是A的幂集.

A的全部子集由以下子集组成:

0元子集(即空集):;

1元子集:{ a },{ b };

2元子集(即集合A):{a,b}.

所以,集合A的幂集是:{,{a},{b},{a, b}}

集合之间的运算有并(∪)、交(∩)、差(-)、补(~)和对称差()等五种运算,在做集合运算的题目时,一定要按照它们的定义进行计算。

(1) 集合A和B的并集

A∪B={ x | x∈A或x∈B }

特点:所有属于A或属于B的元素组成的集合.见图1

(2) 集合A和B的交集

A∩B={ x | x∈A且x∈B }

特点:既属于A又属于B的所有元素组成的集合.见图2

(3) 集合A和B的差集

A-B={ x | x∈A且x B }

特点:由属于A,而不属于B的所有元素组成的集合.见图3

(4) 集合A的补集

~A = { x | x∈E且x A }

特点:由属于全集E但不属于集合A的元素组成的集合.见图4

补集总相对于一个全集而言,可以看作是全集E与集合A的差集.

(5) 集合A与B的对称差

A B

=(A-B)∪(B-A)

或A B=(A∪B)-(A∩B)

特点:由分别属于集合A与B的元素但不属于它们公共元素组成的集合.见图5

(6) 把集合A,B合成集合A×B叫做笛卡儿积,规定

A×B={ | x∈A且y∈B}

注意:由于有序对中x, y的位置是确定的,因此A×B的记法

也是确定的,不能写成B×A..

笛卡儿积的运算一般不能交换..

虽然笛卡儿积的内容是第2章2.1.1目的内容,是二元关系的预备知识,但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1] 设A={{1},{2}, 1, 2},B={1, 2, {1, 2}},试计算(2008年9月试卷第17题)

(1)A-B;(2)A∩B;(3)A×B[分析]

(1)求集合A与B的差集A-B,就是求属于A而不属于B的所有元素组成的集合.即A-B= {{1},{2}, 1, 2}-{1, 2, {1, 2}}= {{1},{2}}.

(2)求集合A与B的交集A∩B,就是求由集合A和B的公共元素组成的集合.即

A∩B={{1},{2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}.

(3)求集合A与B的笛卡儿积A×B,就是求一个元素是有序对的集合,而这些有序对的第一个元素取自集合A,第二个元素取自集合B.即

A×B={{1},{2}, 1, 2}×{1, 2, {1, 2}}={<{1}, 1>,<{1}, 2>,<{1}, {1, 2}>,<{2}, 1>,<{2}, 2>,<{2},{1,2}>,<1, 1>,<1, 2>,<1, {1, 2}>,<2, 1>,<2, 2>,<2, {1, 2}>}

【易错点】

我们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆,既不把{1},{2}看作集合A的元素,不把{1, 2}看作集合B的元素,或者把{1},{2},{1, 2}看作是相同的。

【提示】

笛卡儿积A×B是由集合A的每一个元素与集合B的各个元素合成有序对(其中x∈A且y∈B)作为元素的集合.

所谓有序对就是指一个有顺序的数组,如,x, y的位置是确定的,不能随意放置。

[例2] 设A={{a, b}, 1, 2},B={ a, b, {1}, 1},试计算(2009年1月试卷第17题)

(1)A-B;(2)A∪B;(3)(A∪B)-(A∩B)

[分析]

(1)求集合A与B的差集A-B,就是求属于A而不属于B的所有元素组成的集合.即A-B={{a, b}, 1, 2}-{ a, b, {1}, 1}={{a, b}, 2}.

(2)求集合A与B的并集A∪B,就是求由集合A和B的所有元素组成的集合.即

A∪B ={{a, b}, 1, 2}∪{ a, b, {1}, 1}={{a, b}, 1, 2,a, b, {1}}.

(3)因为A∪B ={{a, b}, 1, 2,a, b, {1}}

A∩B ={{a, b}, 1, 2}∩{ a, b, {1}, 1}={1}

所以(A∪B)-(A∩B)={{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}-{1}={{a, b}, 2, a, b, {1}}.

如同实数运算有交换律、结合律和分配率等。集合的运算也有许多运算律。下面以恒等式的形式给出集合运算满足的主要运算律,其中

A,B,C为任意集合,E为全集。这些恒等式是证明其它集合恒等式、化简集合表达式的主要依据,正确运用这些恒等式是做好集合证明或化简题的关键.因此,大家要通过练习逐步掌握这些集合运算性质.

1、交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A

2、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

3、分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

4、同一律A∪=A A∩E=A

5、幂等律A∪A=A A∩A=A

6、零律A∪E=E

A ∩=

7、补余律A∪~A=E A∩~A =

8、吸收率A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A

9、摩根律A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ~(B∪C)=~B∩~C

~(B∩C)=~B∪~C

~=E

~E =

10、双补律~(~A)=A

[例1] 试证明集合等式A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).(2008年9月试卷第19题、2009年10月试卷第8题)

[证明过程]

若对A∪(B∩C)中的任一元素x,即x∈A∪(B∩C),

则有x∈A或x∈B∩C,

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,

也即x∈A∪B且x∈A∪C,得x∈(A∪B)∩(A∪C).

所以A∪(B∩C)?(A∪B)∩(A∪C).①

反之,若对(A∪B)∩(A∪C)中的任一元素x,即x∈(A∪B)∩(A∪C),

则有x∈A∪B且x∈A∪C,

即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,

也即x∈A或x∈B∩C,得x∈A∪(B∩C).

所以(A∪B)∩(A∪C)?A∪(B∩C).②

由①和②得A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

【提示】

集合恒等式的证明方法通常有二:

(1)要证明A=B,只需要证明A?B,又A?B;

(2)通过运算律进行等式推导.

[例2] 设A,B是任意集合,试证明:若A×A=B×B,则A=B.(2010年1月试卷第18题)

[证明过程]

设对A中的任一元素x,即x∈A,那么有序对是笛卡儿积A×A的元素,即∈A×A.

因为A×A=B×B,故有∈B×B,则有x∈B.

所以A?B.①

又设对B中的任一元素x,即x∈B,那么有序对是B×B的元素,即∈B×B.

因为A×A=B×B,故有∈A×A,则有x∈A.

所以B?A.②

由①和②得A=B.

第2章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容.考试经常涉及到的题型有以下5个:

关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算

关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定;自反、对称和传递闭包运算

等价关系

偏序关系和哈斯图

函数的概念和性质

所谓“关系”,就是指客体之间的相互联系,是一种普遍存在的现象.任何一个有序对集合,称为一个“二元关系”,简称“关系”,记作R.对于二元关系R,

∈R,可记作aRb;

R,则记作a b.

[例1] 如果R是非空集合A上的等价关系,a∈A,b∈A,则可推知R中至少包含等元素.

[答案]

[分析]

由等价关系的概念,知道R具备了自反性、对称性和传递性.根据已知A上的元素a和b,根据自反的概念,知道R中必须包含和,由对称和传递概念,得知{,}也具备对称性和传递性,因此对应A上的关系R 至少应该包含元素,

【易错点】

本题目中要求的是最小等价关系,同学们容易将答案写为{}.

【提示】

先加入自反关系,然后再根据等价关系加入必要的对称和传递所需的元素.

[例2] 集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={| x+y=10且x,y∈A},则R的性质为().A.自反的B.对称的

C.传递且对称的D.反自反且传递的

[答案] B

分析]

首先,可以写出关系R的有限集合表示,即{<2,8>,<8,2>,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6,4>,<5,5>}

容易看出,<1,1>R,因此R不是自反的.<5,5>∈R因此,R不是反自反的.

又因为<2,8>∈R,且<8,2>∈R,而<2,2>R,因此,R不具备传递性.因此,答案选择B [例3] 若A={1,2},R={| x∈A,y∈A,x+y=10},则R的自反闭包为

答案] {<1,1>,<2,2>}

[分析]

本题考核的是关系闭包的计算.计算关系闭包有集合法、矩阵法和关系图法.本题目可以直接使用集合法计.

算公式r(R)=R∪I

A

首先容易计算出R=Φ,I A={<1,1>,<2,2>}.r(R)=R∪I A= I A={<1,1>,<2,2>}

(1)函数的概念

设f是集合A到B的二元关系,若任意a∈A,存在b∈B,且∈f,Dom(f) = A,则f是一个函数(映射).函数是一种特殊的关系.

注意:集合A×B的任何子集都是关系,但不一定是函数.函数要求对于定义域A中每一个元素a,B中有且仅有一个元素与a对应,而一般的关系没有这个限制.

(2)单射、满射和双射的判断

单射:若a1≠a2?f (a1)≠ f (a2);

满射:f (A) = B,即对任意y∈B,存在x∈A,使得y = f(x);

双射:单射且满射.

(3)函数的复合

若f:A→B,g:B→C,则f·g:A→C,即(g·f)(x)=g( f(x)).

复合成立的条件是:Ran(f)?Dom(g).

[例1] 设A={a,b,c},B={1,2},作f:A→B,则不同的函数个数为__________

[答案]:8

[分析]

本题目考核的是学生对函数概念的理解.

函数可以有下面映射规则:

(1)a,b,c全映射到2;

(2)a 映射到1,b和c映射到2;

(3)b映射到1,a和c映射到2;

(4)c映射到1,a和b映射到2;

(5)a映射到2,b和c映射到1;

(6)b映射到2,a 和c映射到1;

(7)c映射到2,a 和b映射到1;

(8)a,b,c全映射到1;

因此,函数个数为8.另外,此类题目也可以作以下分析.A到B映射个数可以描述为:

C

0+C31+C32+C33=8

3

正确答案:8

【提示】

函数概念中,有两点尤其要注意.第一,是函数的单值性,即对于A中任何元素,必须有B中元素映射f 唯一对应;第二,是函数的定义域,即A是函数f定义域

[例2] 判断说明:设N、R分别为自然数集与实数集,f:N→R,f(x)=x+6,则f是单射.

[答案]:正确

[分析]

设x1,x2为自然数且x1≠ x2,则有f(x1)= x1+6 ≠ x2+6= f(x2),故f为单射.

【提示】

“单射”概念中,强调的是对于不同定义域中的值,通过函数映射得到的对应值不同,这种“一对一”是从前到后的一对一,并不要求从后到前一对一.

[例3] 设A={a,b},B={1,2},R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1={ , },R2={,, },R3={, },则()不是从A到B的函数.

A.R1和R2B.R2

C.R3D.R1和R3

[答案]:B

[分析]

函数的概念中,强调两点:第一,函数的单值性,即对于每一个定义域中的值,只能有一个对应函数值;第二,函数的定义域必须为集合A.本题中的R2不符合函数概念强调的第一点.

(1)偏序关系

设R是非空集合A上的二元关系,如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R是A上的偏序关系或者简称序关系.偏序关系记作≤.∈≤,则称a小于等于b,记作a≤ b.(2)哈斯图

作图规则:

i.去掉每个结点的自回路,用空心点表示集合的元素;

ii.对于集合任意元素a和b,若a≤b,则将a画在b的下方;

iii.对于集合任意元素a和b,若a

一个子集的极大(小)元可以有多个,而最大(小)元若有,只能惟一;且极元、最元只在该子集内;而上界与下界可在子集之外确定,最小上界是所有上界中最小者,最小上界再小也不会小于子集中的任一元素;可以与某一元素相等,最大下界也是同样.

[例1] 若偏序集的哈斯图如所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.

[答案] 错误

集合A的最大元不存在,a是极大元.若a为最大元,则对于任意x∈A,

必有 ∈R,但从图中可以得知, R,因此a不是最大元.同时,不存在x

∈A,满足 ∈R,因此,a为极大元.

【易错点】

哈斯图不是简单的层次关系图,不要用层次关系判断最大元、最小元、极大元、极小元等.

【提示】

最小元应小于等于其它各元素;最大元应该大于等于其它各元素;极小元应该小于等于一些元素,而与剩下的元素没有关系;极大元应该大于等于一些元素,而与剩下的元素没有关系.最大元和最小元不一定存在,如果存在则必定唯一.

[例2] 设集合A={1,2,3,4,5},偏序关系≤是A上的整除关系,则偏序集 上的元素5是集合A的().

A.最大元B.极大元

C.最小元D.极小元

[答案] B

由于元素4和5没有整除关系,显然5不是最大元.

同理,5和2没有整除关系,5也不是最小元.

【提示】

整除关系是常考的一类偏序关系.两个元素是否具备整除关系可以不直接表达,所以题型描述简单,但是同学们需要将序关系的概念应用到此类题目中才能正确辨别.

第3章是图论的基础部分,主要介绍图论的基本概念与结论,包括图的基本概念、图的连通性与连通度、图的矩阵表示等.经常涉及到的题型有:

已知点集和边集画图,求结点的度数,画补图

握手定理计算题

强分图(连通)、单向分图(连通)、弱分图(连通)的判断

求点割集,割点,边割集,割边

无向简单图,已知点集和边集求邻接矩阵

我们将反映对象及其相互关系的图分为无向图和有向图,那我们就仔细了解一下它们,以及它们的区别、联系:

1. 无向图是一个有序的二元组,记作G=,其中V≠称为顶点集,其元素称为顶点或结点;其中E称为边集,其元素称为无向边,简称为边.

2. 有向图是一个有序的二元组,记作G=,其中V≠称为顶点集,其元素称为顶点或结点;其中E称为边集,其元素称为有向边,简称为边.

小提示:

①用图形表示无向图和有向图时,用小圆圈表示顶点,用顶点之间的连线表示无向边,用

有方向的连线表示有向边.

②在无向图中,与结点相关联的边的条数,称为该结点的度数,记作deg(V),用Δ(G)表示最大度,用δ(G)表示最小度.

③在有向图中,对于任何结点,出度就是以其为始点的边的条数,入度就是以其为终点的边的条数,出度与入度之和称为该结点的度数.

④如果图G与图H互为补图,则它们的顶点集相同,且它们的边集的并集等于其完全图的边集.

[例1]设图G=,V={ v1,v2,v3,v4,v5},E={ (v1, v2),(v1, v3),(v2, v3),(v2, v4),(v3, v4),(v3, v5),(v4, v5) },试

(1)画出G的图形表示;

(2)求出每个结点的度数;

(3)画出图G的补图的图形.

[解题过程]

(1)关系图

先根据G的结点集画出图中的5个结点,这里的结点按逆时针排列,也可以按顺时针排列.再根据边集,在邻接的结点间将边画出.

(2)在图示中观察每个结点连接的边数,计算出各结点的度数.

deg(v1)=2

deg(v2)=3

deg(v3)=4

deg(v4)=3

deg(v5)=2

(3)补图

补图的结点集与原图的结点集相等,补图的边集是那些由结点集确定的完全图中去掉原图中的边所留下的边组成

的.补图的边数=完全图的边数-原图的边数.又因为5个结点的完全图的边数为条.所以10-7=3条

[例2] 设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于2的奇数.证明G与中的奇数度顶点个数相等(是G的补图).

[证明过程]分析]

因为握手定理:结点度数之和等于边数的2倍,所以图G的结点度数总和一定是偶数.

又因为n是奇数,图G有奇数个结点,所以n阶完全图每个顶点度数为偶数.

因此,奇数+奇数=偶数,若G中顶点v的度数为奇数,则在补图中v的度数一定也是奇数,所以G与

中的奇数度顶点个数相等.

【提示】

补图与原图的结点集相等,补图与原图的边数之和等于其结点的完全图的边数.

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]设图G=,v V,则下列结论成立的是() .(2008年9月试卷第2题)

A.B.

C.D.

[答案]:C

[分析]

选项A,不对.

因为没有连加符号∑,不能表示所有度数之和.

选项B,不对.

不但没有连加符号∑,而且边数也没有乘以2.

选项C,正确. 有连加符∑,还有边数乘以2.表示所有的度数之和等于边数的2倍.

选项D,不对.

没有将边数也没有乘以2.

【提示】不论图中有奇数个结点或者偶数个结点,图的度数之和都是偶数.

【易错点】同学们容易忘记将边数乘以2倍,容易忘记表示所有度数之和的连加符号.

[例2] 设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则G的结点度数之和为_________ .

[答案]2(或“边数的两倍”)

[分析]

根据握手定理,在图中所有结点的度数之和等于边数的2倍.

【提示】

不论图中有奇数个结点或者偶数个结点,图的度数之和都是偶数

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1] 设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图一所示,则下列结论成立的是().

(2009年1月试卷第2题)

A.(a)是强连通的B.(b)是强连通的

C.(c)是强连通的D.(d)是强连通的

[答案] D

[分析]

选项A,不对.

(a)图存在一点(左下角点)不可达其它点,所以不是强连通图.但图存在一点(左上角点)可达其它各点,所以是单向连通图,也是弱连通图.

选项B,不对.

b)图存在一点(右上角点)不可达其它点,所以不是强连通图.但图存在一点(右下角点)可达其它各点,所以是单向连通图,也是弱连通图.

选项C,不对.

(c)图存在两点(右上和左下角点)不可达其它点,所以不是强连通图.但图略去边的方向后,是连通图,所以是弱连通图.

选项D,正确.

(d)图中任何两结点互相可达,所以是强连通图,当然也是单向连通图和弱连通图.

易错点】

同学们要完全理解弱连通图、意向连通图、强连通图的概念,不能将它们混淆.

【提示】

强连通图一定是单向连通图和弱连通图;单向连通图一定是弱连通图.反之,不成立.

[例2] 判断下图是哪类连通图.

⑴⑵(3)

[解题过程]

(1)存在V1点,可达其它各点V2、V3、V4,所以是单向连通图.但图中V3点不可达其它点,所以不是强连通图.

(2)略去边的方向后,不是连通图,所以不是任何连通图.

(3)存在V1点,可达其它各点V2、V3、V4.

存在V2点,可达其它各点V1、V3、V4.

存在V3点,可达其它各点V1、V2、V4.

存在V4点,可达其它各点V1、V2、V3.

因此,任何两结点都可达,所以是强连通图

【提示】

强连通图一定是单向连通图和弱连通图;单向连通图一定是弱连通图.反之,不成立.

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]如图一所示,以下说法正确的是().(2008年9月试卷第4题)

A.e是割点B.{a,e}是点割集

C.{b, e}是点割集D.{d}是点割集

[答案] A

[分析]

选项A,正确.

去掉点e和其连接的边后,图就不连通了.

选项B,不对.

虽然去掉点a、点e和其连接的边后,图就不国通了.但是单单去掉点e和其连接的边后也可以不连通,所以不应该包括点a.选项C,不对.

虽然去掉点b、点e和其连接的边后,图就不连通了.但是单单去掉点e和其连接的边后也可以不连通,所以不应该包括点b.

选项D,正确.

去掉点d和其连接的边后,图依然连通.

【提示】

点割集里只有一个结点时,这个结点才是割点.

【易错点】

同学们要准确地确定点割集里的结点,不能含多余的结点.

[例2] 如图一所示,以下说法正确的是().(2010年7月试卷第4题)

A.{(a,e)}是割边B.{(a, e)}是边割集

C.{(a,e),(b,c)}是边割集D.{(d, e)}是边割集

[解题过程]

[分析]

选项A,不对.

去掉边(a,e)后,图依然连通.而且{(a,e)}是集合.

选项B,不对.去掉边(a,e)后,图依然连通.

选项C,不对.

去掉边(a,e),(b,c)后,图依然连通.

选项D,正确.

去掉边(d,e)后,图就不连通了.

【提示】

边割集里只有一条边时,这条边才是割边.

【易错点】

同学们要准确地确定边割集里的边,不能含有多余的边.

[例1]已知图G的邻接矩阵为

则则G有(). (2008年7月试卷第5题)

A.5点,8边B.6点,7边

C.6点,8边D.5点,7边

[解题过程]

选项A,不对。

因为无向图的邻接矩阵的上三角矩阵数字之和为7,所以边数为7。

选项B,不对。

因为邻接矩阵是5×5方阵,所以图的结点数为5个。

选项C,不对。

因为邻接矩阵是5×5方阵,所以图的结点数为5个。

因为无向图的邻接矩阵的上三角矩阵数字之和为7,所以边数为7。

选项D,正确。

【提示】

n个结点的邻接矩阵为n×n矩阵,即n行n列矩阵.

【易错点】

有向图的邻接矩阵里所有的数字之和等于边数.而因为无向图忽略了方向,所以无向图的邻接矩阵的上

三角矩阵数字之和或者下三角矩阵数字之和才是边数.不要混淆.

[例2]设G=,V={ v1,v2,v3,v4},E={ (v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4) },试写出其邻接矩阵.

[解题过程]

图G有4个结点,则G的邻接矩阵为4×4矩阵,按结点的序号排序,根据结点间的邻接关系,确定邻接矩阵中的对应数值。边(v1,v3)对应的位置为1,边(v2,v3)对应的位置为1,边(v2,v4)对应的位置为1,边(v3,v4)对应的位置为1.又因为是无向图,所以边没有方向,因此在(v3,v1)(v3,v2),(v 4,v2),(v4,v3)的位置也是1.其余的位

置由于没有边,因此为0.

邻接矩阵:

【提示】

n个结点的邻接矩阵为n×n矩阵,即n行n列矩阵。无向图的邻接矩阵是对称矩阵.

第1章主要介绍集合论的基本概念和结论,集合的运算及其性质,以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容.考试经常涉及到的题型有以下4个:

欧拉通路、欧拉图的判别方法

汉密尔顿图的判断方法

平面图的判断方法

(1)定义的要点:图G满足无向,连通,经过每条边一次且仅一次,经过每个结点(注意:点可重复经过,边不能重复经过),这四点缺一不可.

如果同时满足这四点,当始点与终点不重合时,就是欧拉通路.

如果同时满足这四点,当始点与终点重合时,就是欧拉图.

(2)欧拉图判定定理的要点:无向、连通图G是欧拉图的(充要条件是)G不含奇数度结点.

若无向、连通图G是欧拉图,那么G一定不含奇数度结点.

反之,若无向、连通图G不含奇数度结点,那么G一定是欧拉图.

(3)欧拉通路判定定理的要点:无向、连通图G是欧拉通路的(充要条件是)G不含奇数度结点或只含2个奇数度结点.当G不含奇数度结点时,G是欧拉图.

若无向、连通图是欧拉通路,那么不含奇数度结点或只含2个奇数度结点.

反之,若无向、连通图G不含奇数度结点或只含2个奇数度结点,那么G一定是欧拉通路.当G不含奇数度结点时,G是欧拉图.

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看5道历年真题:

[例1] 若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为().

A.m为奇数B.n为偶数

C.n为奇数D.m为偶数

[答案]:C

[分析]

关键:无向完全图的总度数为,平均每个结点的度数为,如果中存在欧拉图,则每个结点的度数均为偶数,于是n为奇数.

知识点:根据欧拉图定义,每个结点的度数都是偶数,不含奇数度结点,完全图是连通图.[例2] 无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且_________

[答案]:所有结点的度数全为偶数

[分析]

关键:欧拉图判定定理的要点:连通、不含奇数度结点.

知识点:欧拉图判定定理:无向连通图G是欧拉图的(充要条件是)G不含奇数度结点.

[例3]判断下列各题正误,并说明理由.(2008年9月试卷第15题)如图1所示的图G存在一条欧拉回路.

[答案]:正确.

[分析]

关键:欧拉图判定定理的要点:连通、不含奇数度结点.

知识点:欧拉图判定定理:无向连通图G是欧拉图的(充要条件是)G不含奇数度结点.

因为图G为连通的,且结点的度数分别为2,4,4,4,4,均为偶数,不含奇数度结点,所以G存在一条欧拉回路.[例4]判断下列各题正误,并说明理由.(2008年7月试卷第6题)

如图所示的图G存在一条欧拉回路.

[答案]:错误.因为图G为中包含度数为奇数的结点.

[分析]

关键:欧拉图判定定理的要点:连通、不含奇数度结点.

知识点:欧拉图判定定理:无向连通图是欧拉图的(充要条件是)G不含奇数度结点..

[例5]]判断下列各题正误,并说明理由.

如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G是欧拉图

[答案]:错误.因为题中的图G缺少连通的条件.

[分析]

关键:根据欧拉图定义,缺少连通的条件.当图不连通时,图G不是欧拉图.

知识点:欧拉图的要点是:连通、无向图、不含奇数度结点.本题缺少连通条件.

【易错点】

容易漏掉欧拉图的部分要点.

(1)定义的要点:图G存在一条路,经过每个结点一次且仅一次.

在满足定义的条件下,若这条路是回路,则图G是汉密尔顿图..

在满足定义的条件下,若这条路不是回路,则图G是汉密尔顿通路.

(2)定理4.2.1:如果图中具有一条汉密尔顿回路(即汉密尔顿图),则对于V的每个非空子集

S,均有其中是的连通分支

也就是说,从图G中去掉若干个结点(至少一个结点),得到的连通分支数(即连通图数)不大于去掉的点数.。

[例1]若图中有一条汉密尔顿回路,则对于的G每个非空子集S,在G中删除非空子集中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中的结点数与W满足关系式__________.

[答案]:

[分析]

关键:记住定理4.2.1的条件和结论.

知识点:定理4.2.1:如果图中具有一条汉密尔顿回路(即汉密尔顿图),则对于V的每个非空子集S,均有

,其中是的连通分支.

【易错点】

容易机械记忆定理,用表示分支数.

【提示】

本题叙述与定理叙述不同,这里是用W表示.

[例2] 若G是一个汉密尔顿图,则G一定是()

A.平面图B.对偶图

C.欧拉图D.连通图

[答案]:D

[分析]

(1)汉密尔顿图定义:G存在一条回路,经过每个点一次且仅一次.

(2)连通图定义:对任意两点,存在路径,使得一点达到另一点

【提示】

汉密尔顿图定义要点:G存在一条回路,经过每个点一次且仅一次

(1)定义的要点:任意两条边,除结点外没有任何交点.

(2)欧拉定理:连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为,则.

(3)定理4.3.3:设G是一个有v个结点e条边的连通、简单、平面图,若,则.那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为______________.

关键:利用欧拉定理:连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为,则.

解应填.

[例2]设G是连通平面图,v,e,分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和满足的关系式______________.关键:利用欧拉定理:连通平面图G的结点数为v,边数为e,面数为,则.

解应填.

[例3]设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图,则m等于______________.(2010年1月试卷第9题)关键:利用欧拉定理:连通平面图G的结点数为n,边数为m,面数为k,则.

解应填.

一、题型分析

树是图论中的重要部分之一,其在计算机科学与技术领域有着广泛的应用,二叉树更是程序设计中的一种基本的数据结构.

本章主要介绍树、生成树、二叉树、树根、最优树等概念及相关的结论与算法,包括求最小生成树的Kruskal算法、构造最优树的Huffman算法以及前缀码的求法.

经常涉及到的题型有:

1.树叶与结点间的计算

2.画最小生成树并求其权

3.构造最优树(Huffman算法)并求其权

4.求前缀码

因此,在本章学习过程中希望大家要清楚地知道一些概念:

树连通无简单回路的无向图G. 树中次数为1的顶点称为树叶.次数大于1的顶点称为分支点或内部顶点.

森林一个无向图称为森林,如果它的每个连通分图都是树.

树的判别给定图T,则以下命题关于图T为树的定义等价.

(1) T是无回路的连通图;

(2) 图T无回路且e=v-1,其中e是边数,v是顶点数;

(3) 图T连通且e=v-1;

(4) 图T无回路,若增加一条新边,得到且仅得到一个回路;

(5) 图T连通,但删去任一边后图便不连通(v≥0);

(6) 图T的每一对顶点之间有且仅有一条路(v≥0).

生成树给定一个无向图G,若G的一个生成子图T是树,则称T为G的生成树或支撑树.T的边称为树枝.

生成树的结论任何连通图至少有一棵生成树.

权与带权图n个结点的连通图G,每边指定一正数,称为权,每边带权的图称为带权图.G的生成树T中树枝的权之和称为T的权,记作W(T).

有向树如果一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树,那么该有向图就是有向树.

根树与树根一棵有向树T,若恰有一个顶点的入度为0,其余顶点的入度都为1,则称T为根树;入度为0的顶点称为树根;出度为0的顶点称为树叶;入度为1出度不为0的顶点称为内点;根与内点统称为分支点;从树根到T的任一顶点v的通路(顶点不同的路)的长度称为v顶点的层数;层数最大的顶点的层数称为树高.

[例1] 设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去条边后使之变成树.

【答案】4

【分析】

运用教材中的定理5.1.1,可以作出正确选择.因为定理5.1.1中给出的图G为树的等价定义之一是图G连通且e=v-1(e是边数,v是顶点数).若图G变为树,则边数e=6-1=5。由于题中结点的总度数为18,根据定理3.1.1,总度数应为边数2倍,可知此图中有边数9条。所以应该删去9-5=4条边才能使图G是树。

【易错点】

大家对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆,但这种类型考题中经常出现,大家一定要习惯.本题主要是检查大家对属于关系∈和包含关系?是否理解,能否正确运用。

【提示】

首先检查各选项给出的关系符号∈和?左边的式子是集合A的元素还是子集,然后判断选项中使用的关系符号是否正确,确定选项。

[例2]已知一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为.

[答案] 5

[分析]

设无向树T的树叶数为x,因为树叶是度数为1的结点.

那么,由定理3.1.1(握手定理)设G是一个图,其结点集=-合为V,边集合为E,则

得:4+3+2+x=2(8-1),即x=5.应填5.

【易错点】

题中没有直接给出图G的边数,而是给出了结点的总度数,这里大家要清楚总度数和边数之间的关系。

【提示】

设G是有n个结点,m条边的连通图,必须删去G的( m-n+1 )条边,才能确定G的一棵生成树

求最小生成树的方法主要有避圈法与破圈法.那到底什么是避圈法和破圈法?我们一起来看一看:

避圈法:图G有n个顶点,以下算法产生的是最小生成树(避圈法由kfuskal给出.

(1)选择最小的边e1,置边数i←1;

(2)i=n-1结束,否则转3);

(3)设定已选定e1 ,e2,,…,ei,,在G中选取不同于e1,e2,,…,ei的边ei+1,使{ e1,e2,,…,ei,ei+1}无回路,且ei+1是满足此条件的带权最小的边;

(4)i←i+1,转2).

?破圈法:

(1)初始令G0,= G, i←0;

(2)若Gi中不含圈,则转(3);否则,设C为Gi中的一个圈,ei为C上带权最大的边,令Gi+1= Gi - ei;i← i+1,转(1).

(3)结束.

结束时G中的图为最小生成树。

最小生成树的权等于最小生成树各边权值的和。

[例1]图G=,其中V={ a, b, c, d, e},E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) },对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试

(1)画出G的图形;

(2)写出G的邻接矩阵;

(3)求出G权最小的生成树及其权值.

[解题过程]

(1)因为V={ a, b, c, d, e},E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) },对应边的权值依

次为2、1、2、3、6、1、4及5,则G的图形表示为:

(2)根绝邻接矩阵的定义,写出邻接矩阵为:

(3)用避圈法:

第1步:选(a, b)边;

第2步:选(a c)边;

第3步:选(c, e)边;

第4步:选(b, d)边.

这样,得到了最小的生成树,如下图中粗线所示.

最小的生成树的权为2+1+1+3=7.

【提示】求最小生成树可以利用避圈法或者破圈法.

求最小生成树的权就是各边权值之和

设T是一棵根树,若T的每个分支点的出度至多为m,则称T为m叉树;若T的每个分支点的出度恰好等于m,则称T为m叉正则树;若T是m叉正则树,且每个树叶的层数均为树高,则称T为完全m叉正则树;若T是m叉树且为有序树,则称T为m叉有序树;若T是m叉正则树且为有序树,则称T为m叉正则有序树;若T是m叉完全正则树且为有序树,则称T为m叉完全正则有序树;若m=2,则T称为二叉树.

带权二叉树?给定一组权w1,w2,…,wt,不妨设w1≤w2≤…≤wt.设有一棵二叉树,共有t片树叶,分别带权w1,w2,…,wt,则该二叉树称为带权二叉树.

最优树? 设在有t个树叶的带权二叉树T中,带权为wi (i=1,…,t)的树叶,其通路长度为L(wi),则将w(T) =?wiL(wi) (i=1,…,t)称为该带权二叉树的权.在所有带权w1,w2,…,wt的二叉树

中,w(T)最小的树称为最优树.

用Huffman算法得到的最优树.

(Huffman):设T为带权w1

≤w2≤…≤wt的最优树,若将以带权w1,w2的树叶为儿子的分枝点改为带权w1+w2的树叶,得到一棵树T’,则T’也是最优树.

最优树的权:每片树叶的权乘以它到树根的长度取和

正则m叉树结论? 设有正则m叉树,其树叶数为t,分枝数为i,则(m-1)i=t-1.

[例1]画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它们的权

[解题过程]

Huffman算法:从1, 2, 2, 3, 4中选1, 2为最低

层结点,并从权数中删去,再添上他们的和数,从

小到大排列,即2,3,3,4;

再从2,3,3,4中选2,3为倒数第2层结点,

并从上述数列中删去,再添上他们的和数,从小到

大排列,即3,4,5;

然后,从3,4,5中选3,4为倒数第2层结点,

并从上述数列中删去,再添上他们的和数,从小到大排列,

即5,7;……

最优二叉树如右图所示。

最优二叉树权值为:1×3+2×3+2×2+3×2+4×2=27

【提示】

最优树的权:每片树叶的权乘以它到树根的长度取和

在求前缀码前,我们需要了解何为前缀码: 给定一个序列集合,若没有一个序列是另一个序列的前缀,该序列集合称为前缀码.

结论:任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码.

任何一个前缀码都对应一个二叉树

【提示】

最优树的权:每片树叶的权乘以它到树根的长度取和.

[例1] 给定一个序列集合{000,001,01,10,0},若去掉其中的元素,则该序列集合构成前缀码.【答案】0

【分析】

根据定义5.2.10 给定一个序列集合,若没有一个序列是另一个序列的前缀,则该序列集合为前缀码。

本章主要介绍命题、联结词的概念,命题公式与翻译,真值表与等价公式,重言式与蕴含式,范式和命题逻辑的推理理论等内容。经常涉及到的题型有:

将陈述句翻译成命题公式

求命题公式的真值

命题公式类型的判断

等价公式的证明

求范式和主范式

判断有效结论的直接证法和间接证

因此,在本章学习过程中希望大家要清楚地知道:

命题表述为具有确定真假意义的陈述句.命题必须具备二个条件:语句是陈述句;语句有唯一确定的真假意义.因此判断一个句子是否为命题,应首先判断它是否为陈述句,再判断它是否有唯

一的真值.

例如,“北京是中国的首都”是陈述句,有确定的真假意义,是命题,为真命题.

将陈述句翻译成命题公式关键在于陈述句的逻辑含义要与命题公式的逻辑含义保持一致。因

此首先要注意陈述句中表示特殊逻辑关系的词语的含义,其次要掌握五个联结词“,,,,

”所表示的命题间的逻辑关系:“”是唯一一元联结词,表示否定;合取联结词“”在语句中相

当于“不但…而且…”,“既…又…”;析取联结词“”在语句中表示“或”的含义;条件联结词“”

在语句中表示“如果P则Q”或“只有Q,才P”;双条件联结词“”在语句中相当于“…当且仅当…”.例如,“我们不能划船,又跑步”。设P:我们划船,G:我们跑步,那么该命题符号化为:

或.

[例1]将语句“他是学生.”翻译成命题公式.(2009年10月试卷第11题)

[解题过程]

依据命题必须具备的二个条件,可设P:他是学生,则该语句翻译成命题公式为:P.[例2]将语句“今天没有人来.”翻译成命题公式.

[解题过程]

依据命题必须具备的二个条件以及否定联结词“”的定义,

可设P:今天有人来,

则语句“今天没有人来.” 翻译成命题公式为P。

[例3]将语句“如果所有人今天都去参加活动,则明天的会议取消.”翻译成命题公式.

[解题过程]

在该语句中出现表示逻辑关系的连词“如果…,则…”,这样我们就很容易联想到条件联结词“”在语句中表

示“如果…,则…”,但要注意的是,似乎P Q是“因果关系”,但是不一定总有因果关系,只要P,Q是命题,

那么P Q就是命题(即有真值),不管P,Q是否有无因果关系.

因此,设P:所有人今天都去参加活动,

Q:明天的会议取消,

于是该语句可翻译成命题公式为:P Q.

[例4]将语句“如果所有人今天都去参加活动,则明天的会议取消.”翻译成命题公式.

[解题过程]

P Q表示的基本逻辑关系是,Q是P的必要条件,P是Q的充分条件,因此复合命题“只要P,就Q”,“P仅当Q”,“只有Q才P”等都可以符号化为P Q的形式.

因此可设P:我去旅游,

Q:我有时间,

则语句“我去旅游,仅当我有时间.”翻译成命题公式为:P Q.

[例5]将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式.

[解题过程]

合取联结词“”在语句中相当于“并且”,“不但…而且…”,“既…又…”.但要注意“”与“并且”等是有区别的,“并且”等要考虑语义,而“合取”只考虑命题之间的关系以及复合命题的取值情况,不考虑语义.因此,可设P:小王去旅游,

Q:小李去旅游,

则语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式为:P Q.

一般将命题的合式公式简称为命题公式.要理解合式公式的递归定义:

(1)单个命题变元本身是一个合式公式.

(2)若A是合式公式,则┐A是合式公式.

(3)若A与B是合式公式,则(A∧B),(A∨B),(A→B)与(A B)是合式公式.(4)当且仅当能够有限次应用(1)、(2)、(3)所得到的包含命题变元,联结词和括号的符号串是合式公式.

显然,如果对一个命题公式中的命题变元不给以真值指派,则命题公式无真值可言.如果对命题公式中的每个命题变元都赋以真值(1或0),则命题公式就变成了一个有真值的命题,并可求出其真值.

对于特殊的命题公式(永真式和永假式),对命题公式中的命题变元不给以真值指派,利用常用的等价公式也可以求出其真值(永真式为1,永假式为0).

对命题公式中的所有命题变元指派各种可能的真值组合,就可确定这个命题公式对应的取值,将命题变元的所有真值组合及命题公式对应的取值汇列成表,就得到命题公式的真值表.如果一个命题公式有n个命题变元,那么命题变元的真值指派就可能出现种不同的组合.在

真值表中是包含了命题变元的所有真值指派.例如,如果一个命题公式有3个命题变元,那么命题变元的真值指派就有8种不同的组合,作其真值表就是将这8种真值组合及命题公式对应的真值汇列成表.

要非常熟练地掌握命题公式的真值表作法,因为利用真值表可以判定命题公式类型,验证等价公式和蕴含式,求命题公式的主析取(合取)范式,在推理理论中判别有效结论.

[例1]命题公式的真值是_______

[解题过程]

依次利用蕴含等价式、结合律和零律,可将该命题公式化为:

因此该公式的真值是1。

对于命题的判断,存在着多种方法,也容易混淆,那我们来仔细分析一下他们的区分方法:

在各种真值指派下均为真的命题公式,称为重言式或永真式;在各种真值指派下均为假的命题公式,称为矛盾式或永假式;不是矛盾式的命题公式,称为可满足式。

判定命题公式类型的方法:

(1) 真值表法:任给命题公式,列出其真值表,若真值表的最后一列全为1,则该公式为永真式;若真值表的最后一列全为0,则该公式是永假式;若真值表的最后一列既非全1,又非全0,则该公式是可满足式。

(2) 等值演算法:利用常用的等价公式,对给定公式进行等值推导,若该公式的真值为1,则该公式为永真式;若该公式的真值为0,则该公式为永假式。既非永真,也非永假,则为非永真的可满足式。

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]判断说明题(判断下列各题正误,并说明理由)

为永真

式.(2008年7月试卷第14题)[答案]正确.

[分析]

因为联结词运算的优先次序为:,再利用等价公式中的蕴含等价式,吸收律和否定律,对给定公式进行等值推导如下:

因此该公式是永真式。

以上是利用等值演算法判断公式的类型,也可利用如下真值表法。

由真值表可见该公式在任意真值指派下的真值都是1,因此该公式是永真式。

[例2]下列公式()为重言式.

[答案] C

[分析]

选A.错误. 因为利用蕴含等价式,可将化为即,依据等价联结

词的定义可知为矛盾式。

选B.错误.

因为利用蕴含等价式、分配律和结合律,可将化为

而用分配律和否定律得

依据等价联结词的定义可知为可满足式。

选C.正确.

因为利用蕴含等价式可将化为,再利用结合律得

。再依据等价联结词的定义可知该式为重言式。

选D.错误.

因为利用分配律可将化为

依据等价联结词的定义可知为可满足式。

等价公式:给定两个命题公式A与B,设P1,P2,…,Pn为所有出现于A与B中的原子变元,若给P1,P2,…,Pn任一组真值指派,A与B的真值均相同,则称公式A与B是等价的

或逻辑相等,记作,此公式可称为等价公式。

真值表法(验证公式等价):将两个命题公式的真值表列出,在所有的真值指派下,两个公式的真值都对应相同,则说明两个公式等价,否则,就不等价。

等值演算法(证明公式等价):利用教材182页的14个基本等价式对给定公式进行等值演算,可以证明命题公式等价。

那么在考试中是怎样考的呢?我们来看2道历年真题:

[例1]下列等价公式成立的为( ).

[答案] B

[分析]

选A.错误.

因为依据德·摩根律,,所以不等价。

选B.正确.

因为依次利用蕴含等价式、分配律和蕴含等价式可得,

选C.错误.

因为依次利用蕴含等价式、结合律、否定律和零律可得,而

其真值不等于1。

选D.错误.

因为依次利用分配律、否定律和同一律可得,

显然与Q不等价。

[例2]下列公式成立的为( )。

(2010年1月试卷第5题)[答案]D

[分析]

选A.错误.

因为依据德·摩根律,

选B.错误.

因为利用蕴含等价式可得,

选C.错误.

因为是一个蕴含式,依据蕴含的定义,该蕴含式成立只需证明为重言式即可。依次利用蕴含等价式、分配律、否定律和同一律,

显然结果不是重言式,因此不成立。

选D.正确.

也可以利用直接证法来证明该蕴含式,思路是:证明为真时,Q一定为真。

求范式和主范式,它们之间有什么区别呢,又应该怎么去求呢?我们一起来看一看:

求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点:其一是准确掌握范式定义;其二是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和摩根律,结果的前一步适当使用幂等律.

范式的相关定义有:

合取范式:一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有形式:

A1∧A2∧…∧An ,(n1)

其中A1,A2,…,An均是由命题变元或其否定所组成的析取式.

析取范式:一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有形式:

A1∨A2∨…∨An ,(n1)

其中A1,A2,…,An均是有命题变元或其否定所组成的合取式.

布尔合取、小项:n个命题变元的合取式,称为布尔合取或小项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.

一般n个命题变元共有个小项.

布尔析取、大项:n个命题变元的析取式,称为布尔析取或大项,其中每个变元与它的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.

一般n个命题变元共有个大项.

主析取范式:对于给定的命题公式,若有一个等价公式,它仅仅由小项的析取组成,则该等价式称为原式的主析取范式.

主合取范式:对于给定的命题变元,如果有一个等价公式,它仅仅由大项的合取组成,则该等价式称为原式的主合取范式.

求析取(合取)范式的步骤:

①将公式中的联结词都化成

②将否定联结词消去或移到各命题变元之前;

③利用分配律、结合律等,将公式化为析取(合取)范式.

求主析取范式(主合取范式)的方法:

真值表法:在命题公式的真值表中,真值为1的指派所对应的小项的析取,为此命题公式的主析取范式;在命题公式的真值表中,真值为0的指派所对应的大项的合取,为此命题公式的主合取范式.

等值演算法:利用等价公式,求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤:

①将公式A化为析取(合取)范式;

②除去析取(合取)范式中永假(永真)的析取(合取) 项,并将析取(合取)式中重复出现的合取项(析取项)和相同变元合并.

③对于不是小项(大项)的合取(析取)式,补入没有出现的命题变元,即通过合取(析取)添

加式,然后利用分配律展开公式.

一般地,若命题公式A的主析取范式为

则A的主合取范式为

由此可见,命题公式A的主析取范式的小项个数与主合取范式的大项个数之和等于.

[例1]求的析取范式、合取范式、主析取范式、主合取范式.

(2008年7月试卷第17题)

[解题过程]

依据求析取(合取)范式的步骤可得,

(析取范式、合取范式、主合取范式)

因此该公式的主析取范式对应的小项为:

故该公式的主析取范式为:

P Q R

主合取范式,从真值表中可以看出所得结果与用上述等值演算法所得结果相同.

[例2]命题公式(P∨Q)→R的析取范式是()

(2008年9月试卷第3题)

[答案]D

[分析]

依据求析取范式的步骤可得,这就是命题公式(P∨Q)→R的析取范式,虽然命题公式的析取范式不唯一,但这个结论与选项D相同,故选择D。

记者个人工作总结

XX年,在区委、区纪委的正确领导下,****坚持以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导,紧紧围绕区委、区政府的中心工作,为经济和社会发展这个主题服务,坚持“谁主管、谁负责”、“纠建并举,标本兼治,综合治理”的方针和“管行业必须管行风”的要求,推进了纠风工作的开展,现将我局纠风工作开展情况简要汇报如下: 一、工作开展情况 (一)抓思想认识,责任落实到位 按照区纪委的工作部署,结合我局的实际情况,我们制定了《XX年纠风工作意见》,明确了今年我局纠风工作的目标和任务,建立了责任制,实行一把手负责制,把纠风工作纳入到本部门的日常管理和业务工作之中,把责任分解到科室,落实到人头,实行一岗双责,层层负责的责任制。 (二)抓典型教育,素质提高到位 一是认真学习省、市、区关于纠风工作的文件精神文章来源于新灵山,更多免费文章请访问,组织机关全体人员、各科室进行深入地学习、讨论;二是结合保持党员先进性教育活动,以党员学习会、民主生活会、组织生活会为载体,开展“树立行业新风”、“我为党旗添光彩”讨论活动;三是结合每周一次的机关政治学习和科室业务学习,利用政治学习、上党课、看录相、参观学习等形式,开展三个教育即理想信念教育、职业道德教育、组织纪律教育活动。(三)抓规章制度,依法行政到位 一是严格执行政府采购制度和局机关财务管理制度,对重要经费和大额经费支出都由班子集中研究、集体决定,在局机关大力开展“增收节支”活动,严格控制各种费用的支出。二是重点完善行政执法责任追究和监督制度,对行政过失、违反执法人员行为规范、行风不正等一律予以追究;三是认真执行了建设环保系统工作人员“六项禁令”、“六不准”、“禁酒令”等规定,有力促进了执法队伍的政治素质、业务素质及执法水平的不断提高。 (四)抓工作重点,服务企业到位 1、积极配合进一步规范建筑市场秩序。根据国家、省、市、区有关整顿和规范建筑市场秩序的规定,把解决建设领域拖欠工程款和拖欠农民工工资问题作为工作的重点,组织人员对全区建筑业企业、在建工地进行了排查摸底。经调

离散数学必备知识点总结

离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;

2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;

离散数学题库

常熟理工学院20 ~20 学年第学期 《离散数学》考试试卷(试卷库01卷) 试题总分: 100 分考试时限:120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题(每题2分,共20分) 1.下列表达式正确的有( ) (A)(B)(C)(D) 2.设P:2×2=5,Q:雪是黑的,R:2×4=8,S:太阳从东方升起,下列( )命题的真值为 真。 (A)(B)(C)(D) 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={|x+y=10,x,y A},则R 的性质为( ) (A)自反的(B)对称的(C)传递的,对称的(D)传递的 4.设,,其中表示模3加法,*表示模2乘法,在集合上 定义如下运算: 有称为的积代数,则的积代数幺元是( ) (A)<0,0> (B)<0,1> (C)<1,0> (D)<1,1> 5.下图中既不是Eular图,也不是Hamilton图的图是( ) 6.设为无向图,,则G一定是( ) (A)完全图(B)树(C)简单图(D)多重图 7.设P:我将去镇上,Q:我有时间。命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为()。 (A) P Q (B)Q P (C)P Q (D) 8.在有n个结点的连通图中,其边数() (A)最多有n-1条(B)最多有n 条(C)至少有n-1条(D)至少有n条 9.设A-B=,则有() (A)B=(B)B(C)A B (D)A B 10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为() (A)5 (B)7 (C)3 (D)6 二、填空题(每题2分,共20分)

1.n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2.设〈L,≤〉为有界格,a为L中任意元素,如果存在元素b∈L,使,则称b是a 的补元。 3.设*,Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4.设T是一棵树,则T是一个连通且的图。 5.一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6.量词否定等价式? ("x)P(x) ?,? ($x)P(x) ?。 7.二叉树有5个度为2的结点,则它的叶子结点数为。 8.设是一个群,是阿贝尔群的充要条件是。9.集合S={α,β,γ,δ}上的二元运算*为 * αβγδ αδαβγ βαβγδ γβγγγ δαδγδ 那么,代数系统中的幺元是,α的逆元是。 10.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>},B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} = 。 = 。 三、判断题(每题1分,共10分) 1.命题公式是一个矛盾式。() 2.,若,则必有。() 3.设S为集合X上的二元关系,则S是传递的当且仅当(S S)S。() 4.任何一棵二叉树的结点可对应一个前缀码。() 5.代数系统中一个元素的左逆元一定等于该元素的右逆元。() 6.一个有限平面图,面的次数之和等于该图的边数。() 7.A′B = B′A () 8.设*定义在集合A上的一个二元运算,如果A中有关于运算*的左零元θl和右零θr,则A中 有零元。() 9.一个循环群的生成元不是唯一的。() 10.任何一个前缀码都对应一棵二叉树。() 四、解答题(5小题,共30分) 1.(5分)什么是欧拉路?如何用欧拉路判定一个图G是否可一笔画出? 2.(8分)求公式 (P∨Q)R 的主析取范式和主合取范式。

记者,个人工作总结

记者,个人工作总结 篇一:新闻记者年度考核个人总结大全 新闻记者年度考核个人总结大全 新闻记者年度考核个人总结2篇 范文一: 转眼一年又过去了,对于本人来说,又积累了一年的经验。在这短暂的一年中,由于上级、报社和部门领导,各位同行同事以及亲友的帮助,圆满地完成了自己的本职工作,让本人在稿件撰写、新闻摄影、政治敏锐力和组织协调能力等方面有了更深层次的认识与提高。总结过去,展望未来,现将20XX年工作简要总结如下: 一、学而时习之,不断提高 作为一名党报记者,在20XX年的一年工作和学习生活中,本人不断提高自己的政治素养和业务水平,在思想上、政治上和行动上与上级部门、报社保持一致,做到正确宣传党的纲领、路线、方针、政策,以及中央、省和市的各项中心工作,加强群众观点,贯彻群众路线。本人重视理论学习,利用工余时间加强业务知识的学习,温习新闻学、经济学、汉语言文学、社会学等学科知识,不断拓展知识和认知面,时刻关注世界和中国传媒界的信息,真正做到边工作边学习,边实践边提高。 二、吃得苦中苦,爱岗敬业

作为一名一线记者,本人主要负责跑纪委、文化、宣传、体育以及一些市领导活动等"线口",为了捕捉到信息含量大,新闻价值高的新闻信息,本人坚持深入现场、深入基层、深入生活、深入群众,做到"脑勤、耳勤、手勤、腿勤"和"不怕苦、不怕脏、不怕累"的工作作风。在过去的一年中,跑遍了全市9个县(市、区),同时延伸到乡镇一级,联络了一批通讯员,有意识地"培植"了一些线人。在20XX年XX月报道铅中毒工作中,不怕辛苦,发扬连续作战的工作作风,采写了大量有价值的新闻稿件,受到了上级部门和报社领导的肯定和表扬奖励。20XX年XX月采写的《纱布遗腹"作孽"痛不欲生十三年》、《"纱布遗腹"案是"普法"成功的个案》等,引起了各方关注,收到了良好的社会效果。此外,在协助市纪委报道"廉风和畅"教育方面,也受到了市纪委的肯定。三、励志耕耘,永不止步 作为一名新晋记者,自20XX年X月进入新闻记者队伍,如何履行记者的职责,怎样做好本职工作是本人一直以来都在思索的问题。据不完全统计,20XX年本人采写的各类报道共408篇,其中包括消息、通讯、新闻摄影、文艺作品、评论等,参与了市"两会"报道、团市委"文化信息年"报道、供电安全运行900天系列报道、市四运会报道、城乡清洁工程系列报道、市委全会报道等,并得到了报社领导的信任与厚爱,为新辟栏目《清远人在他乡》作开篇报道《湘西宋祖英,

离散数学谓词逻辑课后总结

第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。

离散数学试题与答案

试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b

二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。

(完整word版)离散数学期末练习题带答案

离散数学复习注意事项: 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做,检验一下第一遍与第二遍复习情况,要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1.下列句子中,()是命题。 A.2是常数。B.这朵花多好看呀! C.请把门关上!D.下午有会吗? 2.令p: 今天下雪了,q:路滑,r:他迟到了。则命题“下雪路滑,他迟到了” 可符号化为()。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3.令:p今天下雪了,:q路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为()。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4.设() Q x:x会飞,命题“有的鸟不会飞”可符号化为()。 P x:x是鸟,() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y:x大于等于y;命题“所有整数 f x:x的绝对值,(,) P x:x是整数,() 的绝对值大于等于0”可符号化为()。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人,() G x:x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为()。 A.(()()) ??→? x F x G x ?∧B.(()()) x F x G x C.(()()) ??∧? x F x G x ??∧D.(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是()。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8.设() R x:x为有理数;() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为()

离散数学第二章一阶逻辑知识点总结

数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词(个体): 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项:具体的事物,用a, b, c表示 个体变项:抽象的事物,用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域,如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域,如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F(a):a是人 谓词变项:F(x):x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y):x与y有关系L,L(x,y):x≥y,… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x

存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解:(a) (1) 设G(x):x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x):x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中

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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^;

3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性;

记者个人工作总结

记者个人工作总结 个人业务工作总结 我叫AAA,是BB市广播电视发展中心职工。自2000年5月参加工作以来,一直在电视台新闻部从事新闻采编工作。现就个人业务工作情况作简要总结汇报。 新闻工作是党和政府的喉舌,是联系各级政府与广大群众的纽带,同时也是丰富人民精神文化生活的重要手段。作为一名新闻记者,我既感到光荣,同时又时刻牢记自己的神圣使命。为了使自己能够胜任这一岗位,我时刻把学习摆在首要位置。通过坚持不懈地学习来提高自己的政治修养和业务素质。平时认真学习党的各项方针政策,熟练掌握市委市政府的中心工作重点。时刻保证采访工作的正确方向。利用工作之余寻找各种与业务有关的资料,如《新闻学理论》、《采访写作的方法与技巧》等专业书籍,并不断对这些材料进行分析研究,提高新闻采访理论水平。坚持每天认真观看各大电视台的新闻栏目,边学边实践,使自已学到的每一点先进技术都落到实处。 新闻采访工作任务十分繁重,领导的政务活动占据了日常工作的重要一部分。作为台里的一名骨干记者,我参与此类活动的机会也就非常多。我认为,每一次新闻报道,都是传达贯彻领导意图的最重要的途径,因此参加政务活动采访,必须要有高度的政治敏锐性,决不能有丝毫的含糊大意。

也就是说要时刻做到:脑勤、腿勤、耳勤。对领导的思路要了然于心,这样才不会出错。去年以来,由于大事多、喜事多、难事多,领导政务活动的采访任务也就特别繁重。一年来, 自己参加的政务采访多达200余次,在镜头的拍摄采集和稿件的撰写上做到了万无一失,工作受到了局台领导的充分肯定。 在完成好政务活动采访报道的同时,我还注重深入实际、深入群众、深入生活,去挖掘一些鲜活的新闻素材进行报道。特别是随着党的各项强农惠农政策的不断出台,这类新闻素材可谓是遍地开花,层出不穷。但同样一个新闻题材,有的记者拍得有声有色,有的记者却拍的枯燥乏味,根本原因就在于记者是否能够坚持“贴近实际、贴近群众、贴近生活”的“三贴近”原则。xx年,我在充分调研和精心策划后,先后创作了《农业产业化致富千万家》、《商标注册为农民致富插上腾飞的翅膀》等报道,都获得了不错的好评。xx年,我又拍摄了一起《农家门前办车展》的新闻报道,反映我市栲栳镇正阳村农民外出务工经商致富的故事,在社会上引起强烈反响。 一份耕耘伴随的是一份收获。几年来,我的多篇稿件先后在省台播发。比如反映永济芦笋产业发展的稿件《永济十二万亩芦笋开始采收》、反映我市丰富群众精神文化生活

离散数学部分概念和公式总结

离散数学部分概念和公式总结 命题:称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。 命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。 (2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。 (3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。 主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A?B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。 约束变元和自由变元:在合式公式?x A和?x A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A?B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。 前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B,称A为前束范式。集合的基本运算:并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。 二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。特殊关系:(1)、空关系:Φ(2)全域关系:EA={ | x∈A ∧y∈A }= A×A (3)恒等关系:IA={ | x∈A} (4)小于等于关系:LA={| x, y∈A∧x≤y∈A },A ? R (5)整除关系:R? ={| x,y∈ψ∧x ? y} ,ψ是集合族 二元关系的运算:设R是二元关系, (1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域dom R = { x |?y(∈R)} (2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = {y |?x(∈R)} (3)R的定义域和值域的并集称为R的域fld R= dom R∪ran R 二元关系的性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。 等价关系:如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。设R是A上的等价关系,x , y是A的任意元素,记作x~y。 等价类:设R是A上的等价关系,对任意的?x∈A,令[x]R={ y| y∈A∧x R y },称[x]R 为x关于R的等价类。 偏序关系:设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称R 为A上的偏序,记作≤;称序偶< A ,R >为偏序集合。 函数的性质:设f: A→B, (1)若ran f = B,则称f 是满射(到上)的。

离散数学练习题

离散数学练习题 1、图中度为零的结点称为孤立结点。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 2、域是整环。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 3、有限格都是有界格。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 4、连通且不含圈的图称为树。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 5、“如果1+1≠3,则2+2≠4”是真命题。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 6、无向图G为欧拉图,则G是连通的。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 7、若A和B都是谓词公式,则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(A<->B)都是谓词公式。 A. 正确 B. 错误

8、设A, B, C是命题公式,则AVBV﹁C 也是命题公式。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 9、设〈L,≤〉是格,则格的交∧和并∨运算满足等幂律。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 10、“x+3>1。”是命题。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 11、半群满足交换律。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 12、在任何图中,奇数度的结点数必是偶数。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 13、在格〈L,∨,∧〉中,如果交运算对并运算是可分配的,则并运算对交运算也是可分配的。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 14、完全图Kn没有割集,它的连通性能是最好的。 A. 正确 B. 错误

15、对任意集合A,都有??A。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 17、强连通图一定是单向连通图。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 18、代数系统〈G,°〉为群的条件是存在零元素。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 19、对应日常生活中的“任意的”,“所有的”,“一切的”等词,用符号“任意”表示。 A. 正确 B. 错误 正确:【A】 20、如果a是集合A中的元素,则称a属于A,记作a?A。 A. 正确 B. 错误 正确:【B】 21、A,B是集合,P(A),P(B)为其幂集,且,则P(A)∩P(B)为() A. B. C. D. 正确:【B】 22、设M={x|f1(x)=0},N={x|f2(x)=0},则方程f1(x)?f2(x)=0的解

东北大学离散数学复习总结(满分版)

方法、知识点总结(知识重点和考题重点) 前三章重点内容(知识重点): 1、蕴含(条件)“→”的真值 P→Q的真值为假,当且仅当P为真,Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真,推出后件也为真。 <2>假设后件为假,推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用

4、重要公式 重言蕴涵式:P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式:幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法(最方便就是真值表法) 6、派遣人员、课表安排类算法: 第一步:列出所有条件,写成符号公式 第二步:用合取∧连接 第三步:求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证:其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S

R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意:任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式

量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式, 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充); 2)如果量词前有“﹁ ”,则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式,将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前; 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备); 4)用量词辖域扩充公式提取量词,使之成为前束范式形式。 简要概括:1、去-> ,<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充

记者述职报告范文

记者述职报告范文 各位领导、同志们: 大家好! 20XX年的工作顺利完成了。一年来,我本着踏踏实实做事,实实在在做人的原则,认认真真地去从事每一项工作。为尽快成长为一个成熟的新闻工作者,我力求做到虚心向同事请教,勤向领导请示,得到了领导、同事的关心和帮助,使自己能够很快地掌握新闻采访技巧和为人处事方式。工作时不敢有丝毫的懈怠和马虎,在学和做中获取了不少知识,不论是思想上,还是工作上都有很多的收获。现将20XX年的工作总结如下。 一、政治思想方面 1、在思想、学习方面有了较大提高 今年重点系统深入学习了中央1号文件、十七届六中全会精神、胡锦涛同志在建党九十周年庆祝大会上的讲话。在学习的过程中,认真进行思考,撰写读书笔记和心得体会。积极参加单位组织的各项学习活动,用先进的思想指导自己的日常工作。我深知,平时的勤勉积累对于记者工作起着至关重要的作用,抓住一切可以利用的时间,广泛涉猎各方面的知识,不断完善自己的知识结构,为做好工作打下了良好的业务基础。 2、严于律己,遵章守纪在单位,我尊重领导、团结同志、严格遵守单位的各项规章制度,坚持以诚待人、以信处事。工作兢兢业业,谦虚谨慎,注意向同事们学习,取长补短。 3、努力提高自身素质与修养 在提高自身素质的同时,我还不断加强自身修养,使自已努力做到:重事实、讲真话、主持正义、坚持真理;报道内容

健康,有益社会进步;讲究文德,反对以稿谋私;自觉抵制拜金主义、享乐主义、个人主义思想侵蚀;处理好与同事间的关系等。 4、业务能力明显增强 从踏上记者岗位的第一天起,我就深知“业精于勤荒于媳”的道理。我把每次采访、写稿都当成是学习、锻炼的机会。为了写出具有鲜活生命力的新闻,每次遇到新情况、新问题甚至是没有思想准备的突发事件,我都会在第一时间奔赴现场,立即采访、报道。我自觉树立“精品意识”,撰写普通新闻题材时注意寻找新的“视角”,注意对传统的文章结构进行创新,努力拓宽视野,写了许多关注“民生”的稿件和一些实际存在,但又极易被人忽略的新闻,取得了一定的社会效果。 5、注重积累,博采众长,才能积淀自身的能量 我深刻地认识到,新闻记者最可贵、也是最重要的素质就是敏锐。新闻拼体力、拼智力、拼反应速度。反应速度的基础有三个:一是扎实的基础,二是丰富的经验,三是正确科学的方法。作为从业时间不长的新记者,我着重从方法上下功夫:每接一个选题,我都要求自己在最短的时间内选准切入点,对较熟悉的领域,我多学多问,多向有经验的同事请教,深思慎取;对比较陌生的范围,我采用上网查询的方式,在最短的时间内了解背景资料,迅速扫清障碍。工作中的“勤”使我能及时洞悉世事变化,而善于“思”则使我源源不断地获得了写作灵感。与此同时,进步的背后也存在着许多工作上的不足,首先是学习不够,在完成日常采访报道工作后用于学习和思考的时间不多,有时对于新事物、新情况的反应还不是很灵敏,直到错失了或是文章发表了,才发现没有把很好的新闻体裁做深、做精,留下了遗憾。对于存

离散数学题目大汇总

离散数学试题一(A 卷答案) 一、(10分)证明(A ∨B )(P ∨Q ),P ,(B A )∨P A 。 二、(10分)甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛,下列4 种判断都是正确的: (1)甲和乙只有一人参加; (2)丙参加,丁必参加; (3)乙或丁至多参加一人; (4)丁不参加,甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、(10分)指出下列推理中,在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1),US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3),ES (5)Q (y ) T (2)(4),I (6)xQ (x ) T (5),EG 四、(10分)设A ={a ,b ,c},试给出A 上的一个二元关系R ,使其同时不满足自反性、反自反性、 五、(15分)设函数g :A →B ,f :B →C , (1)若f o g 是满射,则f 是满射。 (2)若f o g 是单射,则g 是单射。 六、(15分)设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系,T 是A 上的关系,使得T R 且R ,证明T 是一个等价关系。 七、(15分)若是群,H 是G 的非空子集,则的子群对任意的a 、b ∈H 有 a * b -1∈H 。 八、(15分)(1)若无向图G 中只有两个奇数度结点,则这两个结点一定是连通的。 (2)若有向图G 中只有两个奇数度结点,它们一个可达另一个结点或互相可达吗 离散数学试题一(B 卷答案) 一、(15分)设计一盏电灯的开关电路,要求受3个开关A 、B 、C 的控制:当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。设F 表示灯亮。 u v w

记者年终工作总结范文6篇

记者年终工作总结范文6篇 记者年终工作总结范文1 一、一年工作回顾: (一)做好采访工作 作为一名记者,采访和撰写文章就是我的本职工作。在每次采访前,我都通过各种渠道,对采访的对象先进行一个比较详细的了解,做到胸有成竹。采访结束后,我也会尽快将稿件撰写完毕,以求详尽精辟。 在这一年的工作中,参与报道了大型的采访活动,包括:4月在*的*茶博会;9月在*市举行的*茶文化节;10月在*的*国家茶叶代表团活动;11月在*举行的*茶博会;12月在*举行的品茗会等。在这些活动中,我不仅深入的学习到了普洱茶的知识和文化底蕴,更了解了茶之外的不少知识,并建立了一定的社会关系群体。 在这一年中,我还采访到了*等业内人士。同时还有针对性 地采访过的普洱茶爱好者,了解了普洱茶在国外的状况,以及各国消费者心中的分量。另外我还接触和采访了不少对普洱茶市场有见解的茶叶爱好者和经营者,以求通过不同的渠道,对普洱茶的各个方面进行了比较深层次的接触和体验,把自己的工作尽量做到完善,取得了比较好的效果。 (二)写作方面的突破 在文章的撰写上,从过去主攻特别策划、人物、玩家私房这一类

栏目的基础上,开始接触和撰写双月综述、独家关注等,在领导的培养下,我接触了更多的写作方法,适应了不同的写作方式,在这方面有了突破。 二、经营方面的突破 为杂志社共同完成了14.8万元的广告额收入,为杂志社创收,也是我在记者工作之余的突破。 三、收获: 首先是开阔了眼界,在杂志社这个平台上,找到了自己适合的定位和角色。 借在*、普洱、*、*等地出差的机会,我真切的体会到记者工作的优点,就是能亲自体验不同地区,不同人群,不同活动带来的不同感受。在学习、了解、报道普洱茶的同时,接触到许多不同的观点和周边的行业,促使自己独立的、全方位的、站在全行业的高度去思索普洱茶的过去和未来,去思索杂志的发展前景。也感受了时代发展给我们带来的机会和挑战。 其次是锻炼了本领。在不断的采访和写作中,我锻炼并提高了自己的工作能力。在多次独立采访和独立出差的情况下,我也逐步养成严谨思考,独立判断,自我完善,自我协调的能力,对我今后的人生道路起到了至关重要的作用。 第三是体验了行业竞争。我所体验到不仅是普洱茶行业内的竞争,更能体会到杂志之间的竞争。的普洱茶的行业竞争日益严峻,杂志之间的竞争也趋于紧张。一个栏目,从策划到最终成形,都凝聚着

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离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定:当某个命题为真时,其否定为假,当某个命题为假时,其否定为真定义 1. 1.4条件联结词,表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词,表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式,称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式,则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式,则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式

将一个普通公式转换为范式的基本步骤

1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式, 若 A → C 为永真式、 重言式,则称 C 是 A 的有 效结论,或称 A 可以逻辑推出 C ,记为 A => C 。(用等值演算或真值表) 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?:全称量词 ?:存在量词 一般情况下, 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时, 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x)),即量词的后面为条件式,带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x)),即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子,T(x)表示对象 x 是乌龟, H(x,y)表示 x 比 y 跑得快,L(x,y)表示x 与 y 一样快,则兔子比乌龟跑得快表示为: ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为:?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号: 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号:个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义:个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式:设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词,n t t ...1是项,则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元,可以换成个体变元的表达式(项),但不能出现任何联结词与量词,只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式:(1)原子公式是合式公式;(2)若 A 是合式公式,则(﹁A)也是合式公式;(3)若 A,B 合式,则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式,则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域:?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围,A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元:在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ,称为约束变元,这是与量词相关的变元,约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元:谓词公式中与任何量词都无关的量词,称为自由变元,它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元,就是自由变元。 注意:为了避免约束变元和自由变元同名出现,一般要对“约束变元”改名,而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式

新闻记者个人工作总结分析(精选多篇)

新闻记者个人工作总结(精选多篇) 第一篇:新闻记者的个人工作总结 光阴荏苒,日月如梭,转眼一年的时间就匆匆过去了。在这短暂的一年中,由于各位领导和同事的帮助,我圆满完成了自已的本职工作。为了在新的一年里更好地完成任务,我将本年度工作情况作工作总结如下: 一、努力提高自身素质与修养。 作为一名记者,要有宏观意识,要胸怀大局,了解党和政府工作中的新精神和新要求,善于透过事物现象预见其本质和未来,从而挖掘出有社会价值的新闻题材。而要做到这些,就必须不断提高自已的各项素养。 为了提高政治素质,我要求自已做到:在思想上和政治上与党中央保持一致,(本文来自)坚持社会主义方向,我认为,记者讲政治最重要最根本的是坚持社会主义方向,还要做到正确宣传党的纲领、路线、方针、政策,加强群众观点,贯彻群众路线,重视政治理论学习。 记者心理素质包括:好奇心理、竞争意识、冒险精神和坚强的意志。这些心理素质是成为一名记者的必备条件。所以,我始终不忘提高自已的心理素质。

作为一名摄像记者,光有较强的政治和心理素质还远远不够,更要有过硬的业务素质。于是,我常常利用工作之余寻找各种与业务有关的资料,如《新闻学理论》、《采访写作的方法与技巧》等专业书籍,并不断对这些材料进行分析研究,取其精华、去其糟粕。还坚持每天认真观看各大电视台的新闻栏目,边学边实践,使自已学到的每一点先进技术都落到实处。 在提高自身素质的同时,我还不断加强自身修养,使自已努力做到:重事实,讲真话,主持正义,坚持真理;报道内容健康,有益社会进步;讲究文德,反对以稿谋私;自觉抵制拜金主义、享乐主义、个人主义思想侵蚀;处理好与同事间的关系等。 二、敢于吃苦,勇于实践。 新闻工作是一项实践性很强的工作,缺乏对社会的基本了解的人是没有资格做一名优秀的新闻人的,记者必须深入实际、、深入群众、深入生活。同样一个新闻题材,有的记者拍得有声有色,有的记者却拍的枯燥乏味,根本原因就在于是否真正深入实际、深入生活、深入群众。“实践出真知”、“涉浅水者得鱼虾,涉深水者得蛟龙”,就是这个道理,一些影响面大、具有深远历史意义的新闻作品,都是作者投身于火热的社会生活实践中,积累了丰富的新闻素材,进行了艰苦的调查研究和思考分析才完成的。因此,我要求自已做到“三勤”、“两不怕”,即“脑勤、腿勤、耳勤”和“不怕苦,

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