概率论与数理统计浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计第一章习题参考解答

1、写出下列随机试验的样本空间。

（1）枚硬币连掷三次，记录正面出现的次数。
（2）记录某班一次考试的平均分数（百分制记分）
（3）对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如
连续查出 2个次品就停止检查，或检查 4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。
解：（1）S
={0,1,2,3}，

（2） S ={k/n: k=0,1,2,··· ,100n}，其中 n为班级人数，
（3） S
={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}，其中 0
表示次品，1表示正品。
22

（4）S
=(
), +
{xyx
y
<1}


2、设 A、B、C为三事件，用 A、B、C的运算关系表示下列各事件

（1）A、B、C中至少有一个发生
（2）A、B、C中恰好有一个发生
（3）A、B、C都不发生
（4）A、B、C中不多于一个发生
（5）A、B、C中不多于两个发生
解：（1）A
∪B
∪C


（2）ABC
∪ABC
∪ABC
（3）ABC错解 ABC
=A
UB
U
C
（4）即至少有两个不发生 AB
∪AC
∪BC（5）即至少有一个不发生 ABC
=A
U
B
U
C
2、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。

（1）成立，（ 2）不成立，（3）不成立，（4）成立
（5）成立，（6）成立（7）成立（8）成立
4、把 A
∪B
∪C
表示为互不相容事件的和。
解：(A
.AB)∪(B
.BC
∪C
.CA)∪ABC

)(
答案不唯一

5、设 A、B是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7。问（ 1）在什么条件下 P（AB）取到最大
值？最大值是多少？（2）在什么条件下 P（AB）取到最小值？最小值是多少？


（1）A
.B
时，P(AB) =
0.6 为最大值，
因为 A、B一定相容，相交

所以 A和 B重合越大时 P（AB）越大

（2）A
∪B
=
S
时，P（AB）=0.3为最小值
6、若事件 A的概率为 0.7，是否能说在 10次实验中 A将发生 7次？为什么？
答：不能。因为事件 A发生的频率具有波动性，在一次试验中得出的频率并不一定正好等

于事件 A发生的概率。
7、从一批由 1100件正品，400件次品组成的产品中任取 200件。

（1） 求恰有 90件次品的概率
（2） 求至少有两件次品的概率。
90 110
200 1 199

CC
C
+
CC


（1） 4002001100 ，（2）1.
1100
200400 1100
C
C

1500
1500

8、在房间里有 10个人，分别佩带从 1号到 10号的纪念章，任选 3人记录其纪念章的号码。

（1） 求最小号码为 5的概率。
（2） 求号码全为偶数的概率。
（1）最小号码为 5，即从 6、7、8、9、10里选两个，所求概率为
C532
=
1C10 12
（2）号码全为偶数，即从 2，4，6，8，10里选三个，所求概率为
CC
353
=
121
10

9、在 0，1，2，3，…..，9共 10个数字中，任取 4个不同数字排成一列，求这 4个数字能
组成一个偶数四位数的概率。

解：设
设设事
事事件
件件“
““组
组组成
成成一
一一个
个个偶
偶偶数
数数四
四四位
位位数
数数”
””为
为为 A
AA

任
任任取
取取 4
44个
个个不
不不同
同同数
数数字
字字排
排排成
成成一
一一列
列列共
共共有
有有：
：： A104 种
种种

解
解解法
法法一
一一组
组组成
成成一
一一个
个个偶
偶偶数
数数四
四四位
位位数
数数有
有有

首位奇: A
51 A51 A82 A51 A51 A82 +
A41 A41 A82 41.8.7 41
112 4

首位偶: A4 A4 A8
∴
P(A) =
A10
=
10.9.8.7
=
90

解
解解法
法法二
二二分
分分末
末末位
位位 0
00和
和和末
末末位
位位不
不不为
为为 0
00两
两两种
种种，
，，组
组组成
成成一
一一个
个个偶
偶偶数
数数四
四四位
位位数
数数有
有有C41C81 A82 +A93 种

112 3

CC
A
+
A
41

428 9

∴
P(A) ==


A4 90

10

错误:认为样本空间也为四位数,实际只要求是一列.
10、求 10人中至少有两人出生于同一月份的概率。
解：10人中至少有两人出生于同一月份的概率为:

10

C1210!

1.
10 =0.996

12


11、从 5双不同的鞋中任取 4只，求这 4只鞋子中至少有两只配成一双的概率。
解：从 5双鞋中取 4只，至少配成一双的概率为：

1222 44 122
C5C4 24
+C5 或 1.C5
42
或
C5C84
.
C5
C10 C10 C10


12、将 3个球随机的放入 4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3的概率。

解：杯中最多有一个球时，概率为
A
4343
=
166
;

211
杯中最多有两个球时，概率为
C3 C
434C3 =
9;

16

杯中最多有三个球时，概率为
C
433C
3
41
=
161
;

13、某货运码头近能容一船卸货，而甲乙两船在码头卸货时间分别为 1小时和小时。设甲乙
两船在 24小时内随时间可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。
解：设 X、Y
分别为甲乙两船到达的时刻

而甲到乙未到应满足Y.
X
≥
1
而乙到甲未到应满足 X.
Y
≥
2
所以它们中任何一船都不需等待码头空出的概率为


11

24 ×
24 .×
22 ×
22 .×
23×
23

22

P
=
=0.8793

24 ×
24
14、从区间（ 0，1）内任取两数，求这两个数的积小于 1/4的概率。
解：设从区间（0，1）所取两数为 X、Y


13 π
3

1.××
×
要使 XY〈14
，P=
2 412 4 =
0.56


或者P
=
1×
14
+∫141
41
xdx
=
14
+
12
ln 2

15、随机地想半圆 0 <
2ax
.
x2(a
为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区

域的概

率与区域的面积成正比，求从原点到该点的连线与 x轴正向的夹角小于
π
的概率。

4
解：如图半圆区域为样本空间 S 对平方移项 (x-a)2+y2=a2，

事件“与原点连线与 0x轴的夹角小于
π
”为 A

4
A为如图阴影部分（蓝色）


其中m(s) =12
a2π
， m(A) =
a
42
π+
12
a2



m(A)1 1

∴P(A) =
= +


m(s)2 π


()
()

16、已知
P(A)=0.3, PB
=0.4 ，
P
AB=0.5 ，求
P(BA
∪B
)
解：Q
P(AB) =P(A) .P(AB) =0.7-0.5=0.2
P(AB) P(AB) 0.2

∴P(BA
∪B) ==
= =0.25

P(A
∪B) P(A) +P(B) .P(AB) 0.7 +0.6 .0.5
18、三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为
1,1,1
。求密码被破译

534

的概率。
解：设
AI
="第i个人能破译"，则所求为
P(A1 ∪A2 ∪A3)
423

P(A1 ∪A2 ∪A3) =1.P(A1)P(A2)P(A3) =1.××
=0.6

534

19：设有
4张卡片分别标以数字
1，2，3，4，今从中任取一张。设
A表示事件“取到标有
1或
2的卡片”，B表示事件“取到标有
1或
3的卡片”，C表示事件“取到标有
1或
4的卡
片”。验证
P(AB) =P(A)P(B)，P(AC) =P(A)P(C)，P(BC) =P(B)P(C)
P(A)P(B)P(C) ≠P(ABC)
解：显然
P(A) =P(B) =P(C) =
1
，
P(AB) =
1, P(BC) =
1
，
P(ABC) =
1,


2 444
111

∴P(AB) =P(A)P(B) =
, P(AC) =P(A)P(C) =
, P(BC) =P(B)P(C) =


444
而
P(A)P(B)P(C) =
1 ≠P(ABC)

8

20、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通
所需电话的概率。
解：设
A=“在三次内能拨通电话”，


Ai="第
i次能拨通电话“
i=1，2，3，

则
A
=A1 ∪A1 A2 ∪A1 A2 A3

P(A) =P(A1) +P(A1 A2) +P(A1 A2 A3)

=P(A1) +P(A1)P(A2 A1) +P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1 A2)
1 91981 3

=
+
×+
××=


101091098 10


21、一批零件共
100个,其中次品
10个.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回,

(1)求第三次才取到正品的概率;
(2)求第三次取到正品的概率.
解：设
Ai=“第
i次取到正品”
i=1，2，3，
A=“第三次才取到正品”， B=“第三次取到正品”


（1）所求为
P(A) =P(A1 A2 A3)
10 90

解法一
P(A1 A2 A3) =
A2 ×
3
A1
=
81 =
0.0083

A100 99 .98

1 11
解法二
P(A1 A2 A3) =
CC
110
CC91
CC
901
100 99 98

解法三用乘法公式
P(A1 A2 A3) =
P(A3| A1 A2)P(A1 A2)

=
P(A
| AA
)P(A
| A
)P(A
)

312 211

909 10

=××
=
0.00834

98 99 100
解法一直接计算法样本空间的取法:

1 11

CCC
B
=
AAA
U
AAA
U
AAA
U
AAA

1009998 123 123 123 123

∴P(B) =
P(AAA
U
AAA
U
AAA
U
AAA
)

123 123 123 123

然后利用加法公式和乘法公式


111 111 111 111

CCC
CCC
CCC
CCC

90

8988 901089 109089 10990

P(B) =
+ + + =0.892

111 111 111 111

CCC
CCC
CCC
CCC

1009998 1009998 1009998 1009998

解法二用全概率公式：一、二两次取球情况有


A1 A2, A1 A2, A1 A2, A1 A2 ，构成了样本空间的一个划分

令
B1 =
A1 A2, B2 =
A1 A2, B3 =
A1 A2, B4 =
A1 A2

∴
P(B) =
P(B1)P(AB1) +
P(B2)P(AB2) +
P(B3)P(AB3) +
P(B4)P(AB4)

111 111 111 111

CCC
CCC
CCC
CCC

908988 109089 901089 10990

=
+ + + =0.892

111 111 111 111

CCC
CCC
CCC
CCC

1009998 1009998 1009998 1009998

22、设有甲、乙两袋，甲袋中装有
n只白球、m只红球；乙袋中装有
N只白球、M只红球。
今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。求从乙袋中取到白球的概


率。
解：设
A=“从甲袋中取出白球一只”， B=“从乙袋中取到白球”
用全概率公式：


P(B）=P(AB) +
P(AB)

=
P(A)P(BA) +
P(A)P(BA)

11 11

CCCC
n(N
+1) +
mN

nN
+1 mN

=.+.
=


11 11

CC
CC
(m
+
n)(N
+
M
+1)

n+mN
+M
+1 n+mN
+M
+1

23、如图,1,2,3,4,5表示继电器接点
.假设每一继电器接点闭合的概率为
p,且设各继电器接点
闭合与否相互独立,求
L至
R是通路的概率
.

解法一: 设事件
“L至
R是通路”为
A
Bi为事件
“i接点闭合”,i=1,2,…5
P(A) =P(A
| B3)P(B3) +
P(A
| B3)P(B3) 其中
P(A
=
P(B
∪
B
)P(B
∪
B
)

14 25


222 2

=
[1.
P(B
)P(B
)][1.
P(B
)P(B
)] =
[1.
(1.
p)] =
p
(2 .
p)

14 25

22 24

P(A
| B
) =
P((BB
) ∪
(BB
)) =
1.
P(BB
)P(BB
)= =
1.
(1.
p
) =
2 p
.
p

3 12 45 1245

3 4 24 5432

∴P(A) =
p
(2 .
p) +
(2 p
.
p
)(1.
p) =
2 p
.
5 p
+
2 p
+
2 p


解法二：
A, Bi同解法一

A
=
((B
∪
B
)(B
∪
B
)) .
BB
B
B
B
.
BBBBB

1 4 2 5 15423 24153

∴
P(A) =
P((B
∪
B
)(B
∪
B
)) .
P(BBBB
B
) .
P(BBBBB
)

1 4 2 5 15423 24153

=
P(B
∪
B
)P(B
∪
B
) .
2 p2(1.
p)3

14 25

222 3 5432

=
[1.
(1.
p)] .
2 p
(1.
p) =
2 p
.
5 p
+
2 p
+
2 p


24、甲、乙、丙同时向飞机射击，三人中命中率分别为
0.4,0.5,0.7。飞机被一人击中而被击
落的概率为
0.2,被两人击中而击落的概率为
0.6,若被三人击中
,飞机必定被击落
.求飞机被击
落的概率.
解：设
Ai=“飞机被
i人击中”，i=1，2，3

B=“飞机被击落”
用全概率公式


P(B）=P(A1B
∪
A2 B
∪
A3B) =
P(A1B) +
P(A2 B) +
P(A3B)

=P(A1)P(BA1) +
P(A2)P(BA2) +
P(A3)P(BA3) （1）


设 D甲=“飞机被甲击中”，D乙“飞机被乙击中”，D丙“飞机被丙击中”
则P(A1) =
P(D甲D乙D丙∪D甲D乙D丙∪

D甲D乙D丙）

=P(D甲D乙D丙）+
P（ D
甲D
乙D
丙)+P(D甲D乙D丙）

由于甲乙丙的射击是相互独立的，

∴
P(A1) =
P(D甲)P(D乙)P(D丙）+P（ D
甲)P
( D
乙) P
( D
丙)

+P(D甲)P(D乙)P(D丙）
= 0.4 ×0.5×
0.3 +
0.6 ×
0.5×
0.3 +
0.6 ×
0.5×
0.7 =
0.36
同理求得P(A2) =
0.41 P(A3) =
0.14

代入（1）式∴
P(B) =
0.36 ×
0.2 +
0.41×
0.6 +
0.14×1 =
0.458

25、已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25%是色盲患者 .今从男女人数相等的人群中
随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率.
解:设 A=”抽出的是男性 ”, B=”抽出的是色盲 ”

所求为P(AB) 用贝叶斯公式

15
P(AB) P(A)P(BA) ×


2 100

P(AB) ==


=


P(B) P(AB
∪
AB) P(AB) +
P(AB)
15

×


2 100

==
0.95

1 5 1 0.25

×
+×


2 100 2 100
26、甲乙丙三人向靶子各射击一次 ,结果有 2发子弹击中靶子 .已知甲乙丙击中靶子的概率分
别为 4/5,3/4,2/3,求丙脱靶的概率 .
解: 设甲，乙，丙击中靶子的事件分别为 A,B,C

事件“2发子弹击中靶子 ”为 D ，则所求为： P(CD)


P(CD) P(D
| C)P(C) 433

P(C
| D) ==
P(D
| C) =×=
P(D) P(D
| C)P(C) +
P(D
| C)P(C) 545

P(D
| C) =
P(AB
∪
BA
| C) =
P(AB
∪
BA) =
P(AB) +
P(BA)
1341 7

=×+×=


5454 20
31


×


6

53

∴
P(C
| D) ==


31 7213

×+
×


53 203