第五章 运筹学 线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用
5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2≤350 车床限制条件
3x1+ x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2≤350
3x1+ x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30
变量最优解相差值
x1 50 0
x2 25 0
x3 0 .083
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 .05
2 75 0
3 0 .033
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2≤350
3x1+ x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为 : 28.5
变量最优解相差值
x1 44 0
x2 10 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 .05
2 144 0
3 0 .033
4 0 -.083
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110
x i≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 63.333
变量最优解相差值
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -.333
2 0 -.278
3 0 -.222
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 .75 1 1.071
x2 .944 1 无上限
x3 .889 1 无上限
x4 .889 1 无上限
x5 .833 1 1.083
x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医
生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 25
变量最优解相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 3 .0
2 0 -1
3 1 .0
4 0 --1
5 0 . 0
6 0 --1
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 0 .1 1
x2 1 1 无上限.
x3 0 . 1 1
x4 1 . 1 2
x5 0 1 1
x6 1 1 无上限
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 无下限 4 7
2 4 7 无上限
3 无下限 9 10
4 11 12 无上限
5 6 8 9
6 5 6 8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
x i≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 15
变量最优解相差值
x1 0 1
x2 7 0
x3 2 0
x4 10 0
x5 0 0
x6 6 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 2 0
2 0 0
3 0 -1
4 0 0
5 2 0
6 0 -1
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 0 1 无上限
x2 1 1 2
x3 0 1 1
x4 0 0 1
x5 1 1 无上限
x6 0 1 1
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 无下限 4 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下限 8 10
6 4 6 无上限
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：线性规划数学模型：
min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T. 0.1x1+0.2x2-0.05x4=0
-0.1x1 +0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
x i≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 49.31
变量最优解相差值
x1 1.5 0
x2 .1 0
x3 0 1.98
x4 3.4 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -7.4
2 .19 0
3 .645 0
4 0 -.14
5 1.9 0
6 0 -9.862
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 10.56 10.7 无上限
x2 -481.8 11.3 11.533
x3 9.82 11.8 无上限
x4 -5.053 9.45 9.8
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 -.025 0 .475
2 无下限 0 .19
3 无下限 0 .645
4 -1.
5 0 .167
5 -1.9 0 无上限
6 0 5 无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种
解：线性规划数学模型：
max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
S.T. 2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+4x3≤4200
x i≥0（i=1，2,......4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
最优生产方案：产品Ⅰ生产267件；
产品Ⅱ生产1400件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产1067件。
可获得的最高利润：66033.3元。
灵敏度分析报告：
即：目标函数最优值为 : 66033.3495
变量最优解相差值
------- -------- --------
x1 266.667 0
x2 1400 0
x3 0 30.8333
x4 1066.667 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
------- ------------- --------
1 0 5.333
2 0 10.833
3 0 5.722
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
------- -------- -------- --------
x1 13.5 21.5 45
x2 5.333 22.5 无上限
x3 无下限 8 38.333
x4 10.75 27 43
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
------- -------- -------- --------
1 2600 3000 6200
2 800 2400 3200
3 0 4200 5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加30.8333元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才能解决本问题。分析及解决过程和结果可见下表：
总的生产加储存最少费用为4910500元
外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。
本问题灵敏度详细分析太麻烦，从略。
5.7 某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工每天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日每天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所
已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。
1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？
2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明如果安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。
3、如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？
解：1、线性规划数学模型：
min f＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12
s．t．x1≥8
x1＋x2 ≥9
x1＋x2＋x3 ≥9
x1＋x2＋x3＋x4≥7
x2＋x3＋x4＋x5≥2
x3＋x4＋x5＋x6≥1
x4＋x5＋x6＋x7≥1
x5＋x6＋x7＋x8≥5
x6＋x7＋x8＋x9≥10
x7＋x8＋x9＋x10≥11
x8＋x9＋x10＋x11≥6
x9＋x10＋x11＋x12≥6
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0 最优值为332。
在满足对职工需求的条件下，
在10 时新安排临时工8个；
11 时新安排临时工1个；
12 时新安排临时工1个；
16 时新安排临时工1个；
17 时新安排临时工4个；
18 时新安排临时工5个；
19 时新安排临时工1个。
全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。
灵敏度分析报告：
2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。
根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。
3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1个班是3 小时，x2个班是4 小时；
设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时；
其他时段也类似。得线性规划数学模型：
min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23+ 16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24 S．T x1＋x2≥8
x1＋x2 ＋x3＋x4≥9
x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6≥9
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8≥7
x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≥2
x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12≥1
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14≥1
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16≥5
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18≥10
x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20≥11
x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22 ≥6
x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24 ≥6
x i≥0 i=1,2,…,24
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：在满足对职工需求的条件下，
10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的；
11 时新安排1个4小时的临时工；
13 时新安排1个3小时的临时工；
16 时新安排1个4小时的临时工；
17 时新安排4个3小时的临时工；
18 时新安排5个4小时的临时工；
19 时新安排1个3小时临时工。
全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。
这样能比第一种方案节省：332-300=32 元。
灵敏度分析报告：
5.8 某咨询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调查对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务合同规定：
（1）必须调查3000个消费对象；
（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等；
（3）至少要调查1200个上班族对象；
（4）至少要调查800个休闲族对象。
1、请建立该问题的线性规划数学模型，以确定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。
2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。
解：1、线性规划数学模型：
min 35x1+40x2+25x3+28x4
S.T. x1+x2+x3+x4≥3000
x1-x2+x3-x4=0
x1+x2≥1200
x3+x4≥800
x1，x2，x3，x4≥0
代入线性规划求解模板得结果：
按此方案的调查费用为最少：91500元。
2、灵敏度分析报告：
即：
目标函数最优值为 : 91500
变量最优解相差值
x1 1200 0
x2 0 2
x3 300 0
x4 1500 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -26.5
2 0 1.5
3 0 -10
4 1000 0
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 25 35 37
x2 38 40 无上限
x3 23 25 35
x4 -25 28 30
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 2400 3000 无上限
2 -600 0 3000
3 0 1200 1500
4 无下限 800 1800
5.9 西兰物业公司承担了正大食品在全市92个零售点的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务。运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，送完货时间必须在7：30前结束（不考虑空车返回时间）。这92个零售点每天需要运送货物0.5吨，其分布情况为：5公里以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10公里以内5公里以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10公里以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间运送时间5分钟；B区各点间运送时间10分钟；C区各点间运送时间20分钟；各区之间运送时间20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟。本公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。
请用线性规划方法确定每天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。
1、解：
本问题的目标是使投入的购买车辆总费用为最少，而实际上总的运输时间为最少时，也就确定了最少的车辆数量，本问题最少的运输时间为目标的得线性规划数学模型：
min z =155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12 S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
代入线性规划求解模板得结果：
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 4235
变量最优解相差值
x1 0 5
x2 0 10
x3 0 2.5
x4 0 5
x5 0 7.5
x6 15 0
x7 0 2.5
x8 0 5
x9 6 0
x10 2 0
x11 0 2.5
x12 0 5
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 0 -37.5
2 0 -47.5
3 0 -55
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 150 155 无上限
x2 160 170 无上限
x3 167.5 170 无上限
x4 170 175 无上限
x5 177.5 185 无上限
x6 75 185 190
x7 187.5 190 无上限
x8 195 200 无上限
x9 177.5 180 181.25
x10 188.333 190 191.667
x11 197.5 200 无上限
x12 205 210 无上限
常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 30 36 38.667
2 18 26 无上限
3 27.333 30 36
这里从对偶价格可见，A区每增加一个点，需要增加投入37.5分钟；B区每增加一个点，需要增加投入47.5分钟；C区每增加一个点，需要增加投入55分钟。这完全符合实际。
若直接用购车数量最少做为目标可将线性规划数学模型改为：
min z =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12
S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
但车辆台数为非整数，这是不合理的，但要去尾取整或四舍五入也都肯定不合理。所以对这类问题这种方法还是有局限性。好则线性规划有专门处理这类问题的方法------整数规划。若用整数规划得以下结果：
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
5.10 某公司生产A、B、C、D四种规格的电子产品，这四种产品可以分别在五个不同的生产车间单独制造，这五个车间单独制造一件产品所需要时间、各车间可提供的总可制造时间及每件产品的利润如下表：
该公司销售人员提供信息：
（1）产品A的销售数量不会超过1500件；
（2）产品B的销售数量在500-900件之间；
（3）产品C销售数量不会超过6000件；
（4）产品D至少能销售800件，在此基础，生产多少能销售多少。
请制定一个生产方案，使得该公司的总利润为最大。
解：线性规划数学模型：
Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x4
5x1+8x2+5x4≤20000
6x1+3x2+6x3≤18000
4x1+2x3+3x4≤16000
2x1+3x2+4x3+4x4≤14000
3x1+4x2+2x4≤15000
x1≤1500
x2≤900
x2≥500
x3≤6000
x4≥800
x1、x2、x3、x4≥0
用求解模型板求得结果：
即：安排产品A、B、C、D的产量分别为1050、900、1500、800件，使得最多的利润为97200元。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 : 97200
变量最优解相差值
x1 1050 0
x2 900 0
x3 1500 0
x4 800 0
约束松弛/剩余变量对偶价格
1 3550 0
2 0 2.667
3 6400 0
4 0 2
5 6650 0
6 450 0
7 0 4
8 400 0
9 4500 0
10 0 22
目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
x1 12 20 24
x2 14 18 无上限
x3 20 24 28
x4 8 30 无上限常数项数范围 :
约束下限当前值上限
1 16450 20000 无上限
2 14850 18000 19350
3 9600 16000 无上限
4 13100 14000 16100
5 8350 15000 无上限
6 1050 1500 无上限
7 500 900 1238.095
8 无下限 500 900
9 1500 6000 无上限
10 275 800 1025
运筹学第二章线性规划
第二章线性规划 教学目的和要求： 目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。 要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了 解图解法。 重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。 难点：线性规划基本定理，单纯形法。 教学方法：讲授法，习题法。 学时分配：12学时 作业安排：见教材P 38. 线性规划是运筹学的一个重要分支。1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。 第一节线性规划问题 一、问题的提出 在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。 例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A 、B 、C 三种产品，具体数据如下表所示。 A 、B 、C 单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？ 解：设产品A 、B 、C 产量分别为X 1,X 2,X 3件,Z 表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 的最大值，故记作极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X 1+2X 2+4X 3≦800， X 1+2X 2+3X 3≦650，4X 1+2X 2+3X 3≦850，2X 1+4X 2+2X 3≦700；同时产量应非负，故X j ≧0 (j=1,2,3)； 以上问题可用数学模型表示为： 极大化Z=4.5X 1+5X 2+7X 3 满足 2X 1+2X 2+4X 3≦800 X 1+2X 2+3X 3≦650 4X 1+2X 2+3X 3≦850 2X 1+4X 2+2X 3≦700 X j ≧0 (j=1,2,3) 例2.运输问题 设某种物资有m 个产地；A 1,A 2, …,A m ,它们的产量分别为a 1,a 2, …,a m ,有n 个销地B 1,B 2, …,B n 需要这种物资，它们的销量分别为b 1,b 2, …,b n 。已知A i 到B j 的单位运价是C ij (i=1,2, …,m; j=1,2, …,n)。 设供销满足平衡条件，即 。 问怎样组织运输，才能满足要求，且使总运费最少？ ---- 7 5 4.5 单位利润 700 2 4 2 丁 850 3 2 4 丙 650 3 2 1 乙 800 4 2 2 甲 设备可供工时(h) C B A 产品 设备 ∑=∑==n 1j j b m 1i i a
管理运筹学课后答案——谢家平
管理运筹学 ——管理科学方法谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待 定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制， 保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式， 有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1． 什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2． 线性规划问题的一般形式有何特征？ 3． 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4． 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5． 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6． 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7． 试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8． 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9． 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？ 11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1． 线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2． 线性规划的可行解集是凸集。 3． 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4． 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 5． 线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6． 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7． 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 >j σ对应的变量都可以被选作换入变量。 8． 单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。 9． 单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10． 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1． 某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
最新管理运筹学(第二版)课后习题参考答案
最新管理运筹学(第二版)课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
运筹学中线性规划实例汇总
实验报告 课程名称：运筹学导论 实验名称：线性规划问题实例分析专业名称：信息管理与信息系统 指导教师：刘珊 团队成员：邓欣(20112111 蒋青青(20114298 吴婷婷(20112124 邱子群(20112102 熊游(20112110 余文媛(20112125 日期：2013-10-25 成绩：___________
1．案例描述 南部联盟农场是由以色列三个农场组成的联合组织。该组织做出了一个关于农场农作物的种植计划，如下： 每一个农场的农业产出受限于两个量，即可使用的灌溉土地量和用于灌溉的水量。数据见下表： 适合本地区种植的农作物包括糖用甜菜、棉花和高粱。这三种作物的差异在于它们每亩的期望净收益和水的消耗量不同。另外农业部门已经制定了南部联盟农场作物总亩数的最大配额，见下表： 作物的任何组合可以在任何农场种植，技术部门的任务是找出一个种植方案使南部联盟农场的净收益最大化。 2.建立模型 决策变量为Xi(i=1,2,……,9,表示每个农场每种作物的种植量。 MAX Z=1000(X1+X2+X3+750(X4+X5+X6+250(X7+X8+X9 约束条件： （1）每一个农场使用的土地 X1+X4+X7≤400
X2+X5+X8≤600 X3+X6+X9≤300 (2每一个农场的水量分布 3X1+2X4+X7≤600 3X2+2X5+X8≤800 3X3+2X6+X9≤375 (3每一种作物的总种植量 X1+X2+X3≤600 X4+X5+X6≤500 X7+X8+X9≤325 非负约束Xi≥0 , i=1,2, (9) 3.计算机求解过程 步骤1.生成表格 步骤2.输入数据
(完整word版)第二章运筹学 线性规划
第二章 线性规划 主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质 3、图解法 4、单纯形法 5、大M 法和两阶段法 重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求解步骤。 要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概念、基本性质，熟练掌握 其求解技巧；培养解决实际问题的能力。 §1 线性规划的数学模型及解的性质 一、数学模型（一般形式） 例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的住宅面积总数达到最大？ 解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米， 则目标函数为 321max x x x z ++= 约束条件为 ?? ?? ???????=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,10 4005.335.41470021015000 180190110200025301211000 122137105 3211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知：
问：如何安排两种产品的生产数量，才能使总产值最高？ 解：设 21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量： 则目标函数为 21127m ax x x z += 约束条件为??? ??? ?=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征： ①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这 些变量的取值是非负的。 ②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。 ③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为： 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m ax (m in) 约束条件 ()()()????? ????=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,22112222212111212111 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。 二、标准型 （一）问题的标准形式： n n x c x c x c z +++= 2211ma x ????? ?? ??=≥=+++=+++=+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,022112222212111212111
运筹学_第1章_线性规划习题
第一章线性规划 习题1.1（生产计划问题）某企业利用A、B、C三种资源，在计划期内生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品资源的消耗、单位产品利润等数据如下表，问如何安排生产计划使企业利润最大？ 解：设x1、x2分别代表甲、乙两种产品的生产数量（件），z表示公司总利润。依题意，问题可转换成求变量x1、x2的值，使总利润最大，即 ma x z=50x1+100x2 且称z=50x1+100x2为目标函数。 同时满足甲、乙两种产品所消耗的A、B、C三种资源的数量不能超过它们的限量，即可分别表示为 x1 + x2≤300 2x1 + x2≤400 x2≤250 且称上述三式为约束条件。此外，一般实际问题都要满足非负条件，即x1≥0、x2≥0。 这样有 ma x z=50x1+100x2 x1 + x2≤300 2x1 + x2≤400 x2≤250 x1、x2≥0
习题1.2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。 解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。则问题的目标可描述为 min z =1000x 1+800x 2 约束条件有 第一段河流（工厂1——工厂2之间）环保要求 (2－x 1)/500 ≤0.2% 第二段河流（工厂2以下河段）环保要求 [0.8(2－x 1) +(1.4－x 2)]/700≤0.2% 此外有 x 1≤2； x 2≤1.4 化简得到 min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥0 习题1.3 ma x z =50x 1+100x 2 x 1 + x 2≤300 2x 1 + x 2≤400 x 2≤250 图1—1 x 2
管理运筹学目标规划
管理运筹学课程 实验报告 实验名称：造纸厂目标规划问题 实验者：普丁玲 实验日期：2012年5月21日 专业年级：10级工程管理 指导教师：许娟
目的与要求实验目的： 通过实验掌握以及实际问题建立线性规划模型的方法，并熟练运用运筹学软件求解线性规划问题，以及根据求解结果进行灵敏度分析。 实验要求： （1）根据所给出的实际问题，建立其相应的数学模型，并利用软件进行求解。 （2）通过对求解结果的分析研究，回答相应的问题。 背景资料某造纸厂成产一般类型纸张的利润为300元/吨，每吨纸产生的工业废水的处理费用为30元；生产某种特种纸张的利润为500元/吨，每吨特种纸产生的工业废水的处理费用为40元。该纸张造纸厂近期目标如下： 目标1：纸张利润不少于15万元； 目标2：工业废水的处理费用不超过1万元。 （1）设目标1的优先权为p1,目标2的优先权为p2，建立目标规划模型并用图解法求解。 （2）若目标2的优先权为p1,建立目标规划模型并求解，所得的解是否与（1）中的相同？ （3）若目标2的罚数权重为5，目标1的罚数权重为2，建立目标规划模型求解
数学模型 求解结果step 1 目标函数值为: 0 变量解相差值 ------- -------- -------- x1 0 0 x2 300 0 d1- 0 1 d1+ 0 0 d2- 0 0 d2+ 12000 0
step 2 目标函数值为: 12000 变量解相差值 ------- -------- -------- x1 0 6 x2 300 0 d1- 0 0 d1+ 0 .08 d2- 0 1 d2+ 12000 0 step 1 目标函数值为: 0 变量解相差值 ------- -------- -------- x1 0 0 x2 0 0 d1- 150000 0 d1+ 0 0 d2- 0 0 d2+ 0 1 step 2 目标函数值为: 150000 变量解相差值 ------- -------- -------- x1 0 75 x2 0 100 d1- 150000 0 d1+ 0 1 d2- 0 12.5 d2+ 0 0
7.运筹学之目标规划(胡运权版)
第七章目标规划 §1 目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。 例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A、B产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才能使其利润值最大？ 解设该厂能生产A、B产品的数量分别为 ,x x件，则有 12
12 1212max 30050010..4670 0, 1,2.j z x x x x s t x x x j =+?+≤?+≥??≥=? 图解法求解如下： 由上图可得，满足约束条件的可行解集为?，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。 例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设12,x x 分别为购买两种 原材料的公斤数，()112,f x x 为花掉的资金，()212,f x x 为购买的总量。建 立该问题的数学模型形式如下：
运筹学--第一章 线性规划
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、 无穷多最优解、无界解或无可行解。 (1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤10 3x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤1 4x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥4 2x2≥4 x1, x2≥0 x1, x2≥0 (5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8 －x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12 x2≤6 2x1＋x2≤16 2x1－5x2≤0 x1, x2≥0 x1, x2≥0 1.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。 (1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3 st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝3 2x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5) x j≥0 （j＝1, (5) 1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。 (1) max z ＝10x1＋5x2 st. 3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 x1, x2≥0 (2) max z ＝100x1＋200x2 st. x1＋x2≤500 x1≤200 2x1＋6x2≤1200 x1, x2≥0 1.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类： ９
128502-管理运筹学-习题-04-目标规划
习题 4-1对每题结论进行判断，如果结论错误请改正。 （1）正偏差变量大于等于零，负偏差变量小于等于零。 （2）系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。 （3）目标约束一定是等式约束。 （4）一对正负偏差变量至少一个大于零。 （5）一对正负偏差变量至少一个等于零。 （6）要求至少到达目标值的目标函数是maxZ=d +。 （7）要求不超过目标值的目标函数是minZ= d +。 （8）超出目标的差值称为正偏差。 （9）未到达目标的差值称为负偏差。 4-2 现有一船舶的舱容为3万立方米、载重量为2万吨，准备装运每件均为1立方米的三种货物A 、B 、C ，三种货物的每件重量和单位运费收入见下表：考虑以下几个方面： 1、总运费收入不低于350万元；2、总货物重量不低于1.25万吨；3、A 货物运量恰好为0.5万吨；4、B 货物运量不少于0.2万吨；5、C 货物运量不少于0.2万吨。请建立目标规划模型。 4-3用图解法求解以下目标规划模型 ???????=≥=-++-=-++=-++++=+-+-+-+-- -+3,2,1;0,,,6 226210min 21332122211121332211i d d x x d d x x d d x x d d x x d p d p d p z i i 4-4已知目标规划问题 ???????=≥=-+-=-+-≤++=+-+-+---+2,1;0,,,632226)(min 212221112112 2111i d d x x d d x x d d x x x d p d d p z i i 试用单纯形法求其满意解，若有多个满意解求出其中两个。
《运筹学》之线性规划 (2)
运筹学 线性规划基本性质
线形规划基本性质目录 线性规划（概论） 线性规划问题:生产计划问题 例1.1 生产计划问题（资源利用问题）例1.1生产计划问题分析 例1.1生产计划问题模型 例1.1生产计划问题表格描述 例1 .2 营养配餐问题 各种食物的营养成分表 各种食物的营养成分表（转置） 例1 .2 营养配餐问题求解 用于成功决策的实例 线形规划的一般模型:特点 线形规划的一般模型:数学模型线性规划问题隐含的假定 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定 线形规划的图解法 线形规划解的可能结果 线形规划的标准形式1 线形规划的标准形式2 非标准型LP的标准化:目标函数 非标准型LP的标准化:约束函数1 非标准型LP的标准化:约束函数2 非标准型LP的标准化:决策变量 线形规划解的概念：可行解 线形规划解的概念：最优解 线形规划解的概念：基本解 线形规划解的概念：最优基本解 线形规划的应用模型 生产计划问题 生产计划问题：表格分析 生产计划问题：模型 产品配套问题 产品配套问题：工时分析 产品配套问题：配套分析 产品配套问题：模型 结束放映
线性规划（概论） 线形规划是研究解决有限资源最佳分配的运筹学方法，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的利用，以便最充分地发挥资源的效能去获得最佳经济效益。
线性规划问题:生产计划问题 1、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，实现最好的经济效益。 2、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，以达到最经济的方式，完成生产 计划的要求。
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/张，椅子销售价格30元/把，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
7.运筹学之目标规划(胡运权版)
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 第七章目标规划 §1 目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes）和库柏（W.W.Coopor）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。 例1某厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A、B产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A、B产品，才能使其利润值最大？ 解设该厂能生产A、B产品的数量分别为 ,x x件，则有 12
12 12 12 max300500 10 ..4670 0,1,2. j z x x x x s t x x x j =+ ?+≤ ? +≥ ? ?≥= ? 图解法求解如下： 由上图可得，满足约束条件的可行解集为?，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A、B两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。 例2某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？ 解这是一个含有两个目标的数学规划问题。设 12 ,x x分别为购买两种 原材料的公斤数，() 112 , f x x为花掉的资金，() 212 , f x x为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如下：
运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用
线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决
运筹学线性规划习题.doc
一、需要掌握的主要内容 1、单纯形法的计算过程 （1）确定初始基本可行解 （2）最优性检验； （3）基变换。 2、单纯形法的灵敏度分析 （1）最终单纯形表中，变量系数的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （2）约束条件常数项b的灵敏度分析针对最优解不变时，判断其变化范围； （3）增加一个变量的灵敏度分析 首先，确定增加变量在初始单纯形表中的系数列P j ；然后，求出其对应在最终单纯形表 中的系数列P j ；最后求出σ j =C j -C B B-1P j 。 若σ j ≤0，则最优解不变；σ j ≥0，则继续进行基变换，直到求出最优解。 二、需要基本掌握的内容 1、解、基本解、可行解、基本可行解等基本概念； 2、利用单纯形法求解如何判断无可行解、无界解和无穷最优解等基本理论； 3、如何写出一个线性规划的对偶问题； 4、对偶单纯形法的基本思路和过程。 一、填空题 （1）线性规划模型中，松弛变量的经济意义是，它在目标函数中的系数是。 （2）设有线性规划问题：max z=CX AX≤b X≥0 有一可行基B，记相应基变量为X B ,非基变量为X N ，则可行解的定义为，基本可行 解的定义为，B为最优基的条件是。 （3）线性规划模型具有可行域，若其有最优解，必能在上获得。 二、选择题 1．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 2．满足线性规划问题全部约束条件的解称为（） A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 3．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（） A．多重解 B．无解 C．无界解 D．退化解 4．原问题与对偶问题的（）相同。 A．最优解 B．最优目标值 C.解结构 D．解的分量个数 5.记线性规划原问题（p）max z=CX，对偶问题（D） min w=Yb AX≤b YA≥C
运筹学线性规划
1 人力资源分配的问题 例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排 司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? 分析：不同上班班次时段的司机和乘务人员数 （图见书） 解：设 xi 表示第i 班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 ?? ? ??? ???? ? =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=6,,2,1030205060 7060.6554433221616 54321 j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x minZ j 且为整数 例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？
解：设xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 （图见书） ?? ? ??? ? ? ???? ?=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=7,6,,2,1028311925241528.432173217621765176547654365432543217654321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x minZ j 且为整数 约束条件：目标函数： 2 生产计划的问题 例3.某企业生产甲、乙、丙三种产品，每一产品均须经过A 、B 两道工序。A 工序有两种设备可完成，B 工序有三种设备可完成，除甲产品和乙产品的A 工序可随意安排外，其余只能在要求的设备上完成。加工单位产品所需工序时间及其他各项数据的费用有关资料见下表。试制订利润最大的产品加工方案。 （图见书） 解：用8个单下标变量分别表示3种产品在相应工序中的生产量，如表所示。 在约束条件中需考虑 x1+x2=x3+x4+x5 线性规划模型的目标函数为： max z=[(1.25-0.25)(x1+x2)+(2-0.35)(x6+x7)+(2.8-0.5)x8] - [0.05(5x1+10x6)+0.0321(7x2+9x7+12x8)+0.0625(6x3+8x6+8x7)+0.111857(4x4+11x8)+0.05×7x5] 即:max z=0.75x1+0.7753x2+0.65x6+0.8611x7+0.6844x8-0.375x3-0.4474x4-0.35x5 该问题线性规划模型为： max z= 0.75x1+0.7753x2+0.65x6+0.8611x7+0.6844x8-0.375x3-0.4474x4-0.35x5 ? ????? ??? ??=≥=---+≤≤+≤++≤++≤+8 ,,2,1004000770001144000886100012976000105..543215 8476387261 j x x x x x x x x x x x x x x x x x t s j 3 套裁下料问题 例4.现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m 和1.5m 的圆钢各一根。已知原料长7.4m ，问应如何下料使所用料最省？ 若用套裁，下面有几种套裁方案，都可以考虑采用
运筹学 线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： + + 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1 + x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= + + 3、本问题的线性规划数学模型 max z= + + S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 150 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润元/件，提高到元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格，0，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在元/件以上，新产品Ⅱ的利润在到之间，新产品Ⅲ的利润在以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= + + S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1 + x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为 : 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0 约束松弛/剩余变量对偶价格