正方形综合复习题

正方形综合复习题

一、典型例题：

1. 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，

过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.

（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；

（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.

2.如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A 重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由.

3. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），

①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

y O P D C x B A 4. 如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3h ＞0）．

（1）求证：1h =3h ；

（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=21221)(h h h ++.

5. 在平面直角坐标系xoy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限．

（1）当∠BAO =45°时，求点P 的坐标;

(2)求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上； （3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．

6. 探究问题：

⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=

∠2， ∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．

⑵方法迁移：

如图②，将ABC

Rt?沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上

的点，且∠EAF=

2

1

∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足

DAB

EAF∠

=

∠

2

1

,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．

请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

二、巩固练习:

1.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，

使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为( )

（A ）31

-（B ）35

-（C ）5+1（D ）51

-

2. 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，

更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，

则阴影部分的面积为( )A.22

a B. 32a C. 42a D.52a

3. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中

两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

4. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于

点E,则DE_____________.

5. 如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．

O

2

O

1

6. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 .

7. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD 于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．

8. 如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60o，求证：BE＝DF；

(2)如图2，若∠EAF＝60o，求证：△AEF是等边三角形．

9.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．

10.如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BD 于点R ． （1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 5

12（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

11. 在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．

（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；

（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；

（3）将图2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）