1.4电势能和电势

4电势能和电势

[学习目标] 1.知道静电力做功的特点，掌握静电力做功与电势能变化的关系.2.理解电势能、电势的概念，能根据电场线判断电势高低.3.知道什么是等势面，并能理解等势面的特点.

一、静电力做功的特点

[导学探究](1)如图1所示，试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中，沿直线从A移动到B，静电力做的功为多少？若q沿折线AMB从A点移动到B点，静电力做的功为多少？

图1

(2)若q沿任意曲线从A点移动到B点，静电力做的功为多少？由此可得出什么结论？

答案(1)静电力F＝qE，静电力与位移夹角为θ，静电力对试探电荷q做的功W＝F·|AB|cosθ＝qE·|AM|.在线段AM上静电力做的功W1＝qE·|AM|，在线段MB上静电力做的功W2＝0，总功W＝W1＋W2＝qE·|AM|.

(2)W＝qE·|AM|.电荷在匀强电场中从不同路径由A点运动到B点，静电力做功相同.说明静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关.

[知识梳理]静电力做功的特点

(1)静电力做功的特点：静电力对某电荷所做的功，与该电荷的电荷量有关(填“有关”或“无关”)，与电荷经过的路径无关(填“有关”或“无关”)，该结论在任何电场中均成立. (2)静电力做功与重力做功相似，只要初、末位置确定了，移动电荷q做的功就是确定值. [即学即用]判断下列说法的正误.

(1)电荷从电场中的A点运动到B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同.(×)

(2)电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则电场力做功为零.(√)

(3)正电荷沿着电场线运动，电场力对正电荷做正功，负电荷逆着电场线运动，电场力对负电荷做正功.(√)

(4)在匀强电场中，电场力做功与路径无关，在非匀强电场中，电场力做功与路径有关.(×)

二、电势能

[导学探究] (1)物体从高处向低处运动，重力做什么功？物体的重力势能如何变化？重力做功和物体的重力势能变化有什么关系？

(2)正电荷顺着电场线移动，电场力做什么功？电荷的电势能如何变化？负电荷顺着电场线移动，电场力做什么功？电荷的电势能如何变化？电场力做功与电势能的变化有什么关系？ 答案 (1)重力做正功 重力势能减少 W G ＝E p1－E p2

(2)电场力做正功 电势能减少 电场力做负功 电势能增加 W 电＝E p1－E p2 [知识梳理]

1.电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p 表示.

2.静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量.表达式：W AB ＝E p A －E p B .

?????

静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加.

3.电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功.

4.电势能具有相对性

电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面上的电势能规定为零.

[即学即用] 判断下列说法的正误.

(1)电场力做正功，电荷的电势能减少，电场力做负功，电荷的电势能增加.(√) (2)正电荷和负电荷沿着电场线运动，电势能均减少.(×) (3)确定电荷在某点的电势能应先规定零势能点.(√) (4)因电势能有正负之分，所以电势能是矢量.(×) 三、电势

[导学探究] 如图2所示的匀强电场，场强为E ，取O 点为零势能点，A 点距O 点为l ，AO 连线与电场线的夹角为θ.把电荷量分别为q 和2q 的试探电荷由A 点移到O 点，电场力做功分别是多少？电荷q 、2q 在A 点的电势能各为多少？电势能与电荷量的比值各是多少？

图2

答案 W AO 1＝Eql cos θ，W AO 2＝2Eql cos θ，由E p A ＝W AO 知，电荷量为q 和2q 的试探电荷在A

点的电势能分别为Eql cos θ、2Eql cos θ；电势能与电荷量的比值相同，都为El cos θ. [知识梳理] 对电势的理解

(1)定义及公式：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，即φ＝E p

q ，单位为伏特，

符号为V.

(2)电势高低的判断：沿着电场线的方向电势逐渐降低.

(3)电势的标量性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低.

(4)电势的相对性：零电势点的规定原则，一般选大地或无限远处的电势为0，只有规定了电势零点才能确定某点的电势大小.

(5)电势描述电场能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关(填“有关”或“无关”). [即学即用] 判断下列说法的正误. (1)电势有正负之分，因而是矢量.(×) (2)电荷在电势高处具有的电势能大.(×) (3)场强为零处，电势一定为零.(×)

(4)沿电场线方向电势降低，与试探电荷的电性无关.(√) 四、等势面

[导学探究] (1)类比地图上的等高线，简述什么是等势面？

(2)当电荷从同一等势面上的A 点移到B 点时，电荷的电势能是否变化？电场力做功情况如何？

答案 (1)电场中电势相等的各点构成的面 (2)不发生变化 电场力不做功 [知识梳理] 1.等势面的特点

(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功.

(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面. (3)等势面密的地方，电场强度较强；等势面疏的地方，电场强度较弱. (4)任意两个等势面都不相交. 2.几种常见电场的等势面

(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面.

(2)等量异号点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，中垂线是一条等势线.

(3)等量同号点电荷的等势面：等量正点电荷连线的中点电势最低，中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低.等量负点电荷连线的中点电势最高，中垂线上该点的电势最低.从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高.

(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面.

一、静电力做功与电势能变化的关系

1.静电力做功的特点

(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但是与具体路径无关，这与重力做功特点相似.

(2)静电力做功的特点不受物理条件限制，不管静电力是否变化，是否是匀强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功的特点不变.

2.静电力做功与电势能变化的关系

(1)W AB＝E p A－E p B.

静电力做正功，电势能减小；静电力做负功，电势能增加.

(2)正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小.

例1将带电荷量为6×10－6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5J的功，则

(1)电荷从A 移到B ，再从B 移到C 的过程中电势能共改变了多少？

(2)如果规定A 点的电势能为零，则该电荷在B 点和C 点的电势能分别为多少？ (3)如果规定B 点的电势能为零，则该电荷在A 点和C 点的电势能分别为多少？ 答案 见解析

解析 (1)W AC ＝W AB ＋W BC ＝(－3×10－

5＋1.2×10－

5) J ＝－1.8×10－

5J.

电势能增加了1.8×10－

5J.

(2)如果规定A 点的电势能为零，由公式得该电荷在B 点的电势能为E p B ＝E p A －W AB ＝0－W AB ＝3×10－

5J.

同理，C 点的电势能为E p C ＝E p A －W AC ＝0－W AC ＝1.8×10－

5J.

(3)如果规定B 点的电势能为零，则该电荷在A 点的电势能为：E p A ′＝E p B ′＋W AB ＝0＋W AB ＝－3×10－

5J.

C 点的电势能为E p C ′＝E p B ′－W BC ＝0－W BC ＝－1.2×10－

5J.

针对训练1 在电场中，把电荷量为4×10－

9C 的正点电荷从A 点移到B 点，克服静电力做功

6×10－

8J ，以下说法中正确的是( )

A.电荷在B 点具有的电势能是6×10－

8J

B.B 点电势是15V

C.电荷的电势能增加了6×10－

8J

D.电荷的电势能减少了6×10－

8J

答案 C

解析 电荷在电场中某点的电势能具有相对性，只有确定了零势能点，B 点的电势、电荷在B 点的电势能才有确定的数值，故选项A 、B 错误；由于电荷从A 点移到B 点的过程中克服静电力做功6×10－

8J ，故电荷电势能应该是增加了6×10－

8J ，选项C 正确，选项D 错误.

二、对电势的理解及电势高低的判断

1.电势是反映电场性质的物理量，与放入的试探电荷无关.

2.电势具有相对性，其大小与零电势的选取有关，常取无限远处或大地的电势为零.

3.电势的定义式为φ＝E p

q

，公式中的E p 、q 在运算时均需代入正、负号.

例2 如果把电荷量为q ＝1.0×10－

8C 的电荷从无限远处移到电场中的A 点，需要克服静电

力做功W ＝1.2×10－

4J ，那么：

(1)q 在A 点的电势能和A 点的电势各是多少？

(2)q 未移入电场前，A 点的电势是多少？ 答案 (1)1.2×10－

4J 1.2×104V

(2)1.2×104V

解析 (1)静电力做负功，电势能增加，无限远处的电势为零，电荷在无限远处的电势能也为零，即φ∞＝0，E p ∞＝0.

由W ∞A ＝E p ∞－E p A 得E p A ＝E p ∞－W ∞A ＝0－(－1.2×10－

4J)＝1.2×10－

4J

再由φA ＝E p A

q

得φA ＝1.2×104V

(2)A 点的电势是由电场本身决定的，跟A 点是否有电荷存在无关，所以q 未移入电场前，A 点的电势仍为1.2×104V.

例3 将一正电荷从无穷远处移入电场中M 点，电势能减少了8.0×10－

9J ，若将另一等量的

负电荷从无穷远处移入电场中的N 点，电势能增加了9.0×10－

9J ，则下列判断中正确的是

( ) A.φM ＜φN ＜0 B.φN ＞φM ＞0 C.φN ＜φM ＜0 D.φM ＞φN ＞0

答案 C

解析 取无穷远处电势为零，则正电荷在M 点的电势能为－8×10－

9 J ，负电荷在N 点的电势

能为9×10－

9 J.由φ＝E p q 知，M 、N 点的电势φM ＜0，φN ＜0，且|φN |＞|φM |，即φN ＜φM ＜0，故

C 正确.

电势高低的判断方法

1.电场线法：沿电场线方向，电势越来越低.

2.电势能判断法：由φ＝E p

q 知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，

电势能越小，所在位置的电势越高. 三、等势面的特点及应用

1.电荷在等势面上移动时，静电力不做功，电荷的电势能不变.

2.由等势面可以确定电场线：因为电场线总和等势面垂直，所以已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布.

3.由等差势面的疏密，可以定性地确定场强的大小，等势面密处，场强较大.

例4空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图3所示，a、b、c、d为电场中的4个点.则()

图3

A.P、Q两点处的电荷等量同号

B.a点和b点的电场强度相同

C.c点的电势低于d点的电势

D.负电荷从a到c，电势能减少

答案 D

解析根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误.根据电场的对称性，a、b 两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误.c点所在等势面离P点(正电荷)较d点所在等势面离P点近，c点的电势较高，故C错误.负电荷从a到c，电场力做正功，所以电势能减少，故D正确.

针对训练2(多选)如图4所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则()

图4

A.A点场强小于B点场强

B.A点场强方向指向x轴负方向

C.A点场强大于B点场强

D.A点电势高于B点电势

答案AD

解析由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确、C错误.电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误.由图中数据可知D正确.

1.(多选)关于电势，下列说法正确的是()

A.电场中某点的电势大小等于单位正电荷从该点移动到零电势点时，电场力所做的功

B.电场中某点的电势与零电势点的选取有关

C.由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低

D.电势是描述电场能的性质的物理量

答案ABD

解析由电势的定义可知A正确；由于电势是相对量，电势的大小与零电势点的选取有关，故B正确；虽然电势是相对的，但电势的高低是绝对的，因此C错误；电势与电势能相联系，它是描述电场能的性质的物理量，故D正确.

2.关于静电场的等势面，下列说法正确的是()

A.两个电势不同的等势面可能相交

B.电场线与等势面处处相互垂直

C.同一等势面上各点电场强度一定相等

D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功

答案 B

解析若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，A错；电场线一定与等势面垂直，B对；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，C错；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，故D错.

3.如图所示，实线表示电场线，虚线表示带电粒子运动的轨迹，带电粒子只受电场力的作用，运动过程中电势能逐渐减少，它运动到b处时的运动方向与受力方向可能是()

答案 D

解析由于带电粒子只受电场力的作用，而且运动过程中电势能逐渐减少，可判断电场力做

正功，即电场力方向与粒子速度方向夹角为锐角，且电场力方向沿着电场线指向轨迹凹侧，故D项正确.

4.电场中等势面如图5所示，下列关于该电场描述正确的是()

图5

A.A点的电场强度比C点的小

B.负电荷在A点的电势能比在C点的电势能大

C.电荷沿等势面AB移动的过程中，电场力始终不做功

D.正电荷由A移动到C，电场力做负功

答案 C

解析由等势面与电场线密集程度的关系可知，等势面越密集的地方电场强度越大，故A点的电场强度比C点的大，A错误；负电荷在电势越高的位置电势能越小，B错误；沿等势面移动电荷，电场力不做功，C正确；正电荷由A移动到C，电场力做正功，D错误.故选C.

一、选择题(1～5题为单选题，6～10题为多选题)

1.下列关于电势高低的判断，正确的是()

A.负电荷从A移到B时，静电力做正功，A点的电势一定较高

B.负电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低

C.正电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较高

D.正电荷只在电场力作用下从静止开始，由A移到B，A点的电势一定较高

答案 D

解析根据静电力做功和电势能变化的关系，不管是正电荷还是负电荷，只要静电力做正功，电势能就减少；只要静电力做负功，电势能就增加.正、负电荷在电势高低不同的位置具有的电势能不同，正电荷在电势高处具有的电势能大；负电荷在电势低处具有的电势能大.可以确定选项A、B、C错，D正确.

2.下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度也相等的是()

答案 D

解析匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇等间距的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，而且场强的方向相同、大小相等，故本题选D.

3.如图1，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面.A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是()

图1

A.A点场强等于B点场强

B.C点电势高于B点电势

C.将电子从A点移到B点，电场力不做功

D.将质子从A点移到C点，其电势能增加

答案 C

解析A、B两点场强大小相等，方向不同，A错；A、B两点电势相等，均高于C点电势，B错；A、B在同一等势面上，将电子从A点移到B点，电势能不变，电场力不做功，C对；由于φA＞φC，质子带正电，故由A点到C点，质子的电势能减少，D错.

4.如图2所示，一带电粒子在电场中沿曲线AB运动，从B点穿出电场，a、b、c、d为该电

场中的等势面，这些等势面都是互相平行的竖直平面，不计粒子所受重力，则()

图2

A.该粒子一定带负电

B.此电场不一定是匀强电场

C.该电场的电场线方向一定水平向左

D.粒子在电场运动过程中动能不断减少

答案 D

解析由于不能确定电场线方向，故不能确定粒子所带电性，A、C错误；等势面互相平行，故一定是匀强电场，B错误；粒子所受电场力一定沿电场线指向轨迹凹侧，而电场线和等势面垂直，由此可确定电场力一定做负功，故动能不断减少，D正确.

5.将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图3所示，金属球表面的电势处处相等，a、b为电场中的两点，则()

图3

A.a点的电势比b点的低

B.a点的电场强度比b点的小

C.带负电的电荷q在a点的电势能比在b点的小

D.带正电的电荷q从a点移到b点的过程中，电场力做负功

答案 C

解析a点所在的电场线从Q出发到不带电的金属球终止，所以a点的电势高于金属球的电势，而b点所在处的电场线从金属球发出到无穷远，所以金属球的电势高于b点的电势.故A 错误；电场线的疏密表示场强的大小，故B错误；电势越高的地方，负电荷具有的电势能越小，即负电荷在a点的电势能较b点小，故C正确；正电荷在a点的电势能较b点大，则把带正电的电荷q从电势能大的a点移动到电势能小的b点，电场力做正功.故D错误.

6.如图4是某一点电荷形成的电场中的一条电场线，A、B是电场线上的两点，一负电荷q仅

在静电力作用下以初速度v0从A向B运动并经过B点，一段时间后q以速度v又一次经过A 点，且v与v0的方向相反，则以下说法中正确的是()

图4

A.A、B两点的电场强度是E A＜E B

B.A、B两点的电势是φA＞φB

C.负电荷q在A、B两点的电势能E p A＜E p B

D.负电荷q先后经过A点的速度大小v0＝v

答案BCD

解析由于负电荷从A至B做减速运动，则静电力的方向由B→A，电场E的方向应由A→B，所以φA＞φB，E p A＜E p B，选项B、C正确.由于只有这一条电场线，不知道电场的具体分布，所以无法判断电场强度的大小，选项A错误.负电荷再回到A点时，其电势能不变，动能也不变，所以v与v0大小相等，选项D正确.

7.如图5所示，虚线a、b和c是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，且φa＞φb＞φc.一带正电的粒子射入该电场中，其运动轨迹如图中KLMN所示，可知()

图5

A.粒子从K到L的过程中，电场力做负功

B.粒子从L到M的过程中，电场力做负功

C.粒子从K到L的过程中，电势能增加

D.粒子从L到M的过程中，动能减少

答案AC

8.如图6所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ＜NQ.下列叙述正确的是()

图6

A.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少

B.若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加

C.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少

D.若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服静电力做的功等于静电力对该电荷所做的功，电势能不变

答案AD

解析由正点电荷产生的电场的特点可知，M点的电势高，N点的电势低，所以将正的点电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能减小，故A对，B错；将负的点电荷由M点移到N点，克服静电力做功，电势能增加，故C错；静电力做功与路径无关，负点电荷又回到M点，则整个过程中静电力不做功，电势能不变，故D对.

9.两个带等量正电的点电荷，固定在图7中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点.一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则()

图7

A.q由A向O的运动是匀加速直线运动

B.q由A向O运动的过程电势能逐渐减小

C.q运动到O点时的动能最大

D.q运动到O点时电势能为零

答案BC

解析q由A向O运动的过程中，电场力的方向始终由A指向O，但力的大小变化，所以电荷q做变加速直线运动，电场力做正功，q通过O点后在电场力的作用下做变减速运动，所以q到O点时速度最大，动能最大，电势能最小，因无限远处的电势为零，则O点的电势φ≠0，所以q在O点的电势能不为零，故选项B、C正确，选项A、D错误.

10.如图8所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平.a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零.则小球a()

图8

A.从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小

B.从N到P的过程中，速率先增大后减小

C.从N到Q的过程中，电势能一直增加

D.从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量

答案BC

解析小球a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个

运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与小球a速度方向

夹角一直大于90°，所以库仑力在整个过程中做负功.小球a从N

到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角减小，所以它

们的合力一直增大，故A错误；小球a受力如图所示，在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C 正确；根据能量守恒可知，从P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误.

二、非选择题

11.如图9所示的匀强电场中，有A、B、C三点，AB＝5cm，BC＝12cm，其中AB沿电场方向，BC和电场方向成60°角.一个电荷量为q＝4×10－8C的正电荷从A移到B，电场力做功为W1＝1.2×10－7J.求：

图9

(1)匀强电场的电场强度E的大小.

(2)电荷从B到C，电荷的电势能改变多少？

答案(1)60N/C

(2)减少1.44×10－7J

解析 (1)由W 1＝qE ·AB 得，该电场的电场强度大小为：E ＝W 1

q ·AB ＝ 1.2×10－

74×10－8×5×10－2

N /C ＝60

N/C

(2)电荷从B 到C ，电场力做功为： W 2＝F 电·BC ·cos60°＝qE ·BC ·cos60°

＝4×10－

8×60×12×10－

2×0.5J ＝1.44×10－

7J

所以，该过程电势能减少1.44×10－

7J.

12.电荷量为q ＝1×10－

4C 的带正电小物块置于粗糙的绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方

向的匀强电场，场强E 与时间t 的关系及物块速度v 与时间t 的关系分别如图10甲、乙所示，若重力加速度g 取10m/s 2，求：

图10

(1)物块的质量m ；

(2)物块与水平面之间的动摩擦因数； (3)物块运动2s 过程中，其电势能的改变量. 答案 (1)0.5kg (2)0.4 (3)电势能减少7J 解析 由题图可知：

E 1＝3×104 N /C ，E 2＝2×104 N/C ，a 1＝2 m/s 2. E 1q －μmg ＝ma 1

① E 2q －μmg ＝0

②

由①②代入数据得：m ＝0.5 kg ，μ＝0.4. ΔE p ＝－E 1ql 1－E 2ql 2

＝－(3×104×1×10－4×12×2×12＋2×104×1×10－

4×2×1) J ＝－7 J.

电势能减少7 J.