机械能守恒练习题

机械能守恒练习题答案 姓名王 豪 得分

1（10分）、从离水平地面高为H 的A 点以速度v 0斜向上抛出一个质量为m 的石块，已知v 0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：

(1)石块所能达到的最大高度

(2)石块落地时的速度

命题解读：本题研究抛体运动中的机械能守恒定律。斜抛运动的

水平分运动是匀速直线运动，因此石块在最高点的速度是抛出初速度

的水平分量。石块只受重力的作用，机械能守恒。

分析与解：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守恒，作出石块的运动示意图

（1）设石块在运动的最高点B 处与抛出点A 的竖直高度差为h ，水平速度为v B ， 则v B =v O x =v 0cos θ

石块从A 到B ，根据机械能守恒定律ΔE k 减=ΔE p 增

得：mgh =21mv 02-2

1mv B 2 联立得：g

v g v v h 2sin 2)cos (0

2020θθ=-= 则石块所能达到的（距地面）最大高度为：H +h =H +g

v 2sin 0θ （2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A 至落地点C 的整个运动过程应用机械能守恒定律得21mv C 2=2

1mv 02+mgH 解得石块落地时的速度大小为：v C =gH v 220+

2（10分）、 如图所示，一个质量为m 的物体自高h 处自由下落，落在

一个劲度系数为k 的轻质弹簧上。求：当物体速度达到最大值v 时，弹簧对

物体做的功为多少?

命题解读：弹簧的弹力是变力，弹力做功是变力做功，本题由于形变量

不清楚，不能运用F —l 图象求弹力做的功；只能根据机械能守恒定律先求解出弹性势能的变化，再运用功能关系求解弹力做的功。同时要注意物体在

平衡位置时动能最大，运动的速度最大。

分析与解：在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F 逐渐增大，物体的加速度a 逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v 。设物体向下的速度v 最大时，弹簧的形变量即压缩量为x ，则

平衡时：mg =kx

物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。

当物体速度达到最大v 时，弹簧的弹性势能为E p ，由机械能守恒定律有：

mg (h +x )=2

1mv 2+E p

图1 图

由上面两式可得：E p =mgh +k mg 2)(-2

1mv 2， 由功能关系可知，弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等。故弹簧对物体所做

的功为：W =-E p =2

1mv 2-mgh -k mg 2)(

3（10分）、如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的

质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开

始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂

一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面

但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m 1+ m 3）的物体D ，仍从上述

初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？

已知重力加速度为g

解析： 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为1x ，有11g kx m =

挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ， 有22kx m g =

B 不再上升，表示此时A 和

C 的速度为零，C 已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

312112=m ()()E g x x m g x x ?+-+

C 换成

D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

311311211211()()()()22

22m m υm υm m g x x m g x x E ++=++-+-?

联立解得υ=

4（10分）、如图所示，质量均为m 的小球A 、B 、C ，用两条长为l 的细线相连，置于高为h 的光滑水平桌面上，l >h ，A 球刚跨过桌边.若A 球、B 球相继下

落着地后均不再反跳，则C 球离开桌边时的速度大小是多少?

命题解读：本题考查系统机械能守恒定律。对每个小球而言，由于

绳子的拉力做功，每个小球的机械能不守恒。而且只能分段运用机械能

守恒定律求解。运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比较麻烦。

分析与解：当A 小球刚要落地时，三小球速度相等设为v 1，三个小球机械能守恒。

2132123mv mgh mgh += 解得：3

21gh v = 当B 球刚要落地时，B 、C 机械能守恒。B 、C 有共同速度，设v 2

图2 图

222122

12212mv mgh mv mgh +=+ 解得：352gh v = 可见：C 球离开桌边时的速度大小是3

52gh v =

5（4分）、如图所示，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上由图中位置释放（无初速度），则小球在下摆过程中（ ）

A ．绳对小车的拉力不做功

B ．绳对小球的拉力做正功

C ．小球的合外力不做功

D ．绳对小球的拉力做负功

解析：由于绳子的拉力对物体做功，每个物体的机械能不守恒。对系统没有

机械能的能量损失，因此系统的机械能是守恒的。小球由静止开始做变速曲线运动，动能增加，合力做正功，C 错误。小车在拉力作用下运动，绳子对小车的拉力做正功，绳子对小球的拉力做负功，D 正确，A 、B 错误。

正确答案：D

6（8分）、 如图3所示，在光滑水平桌面上，用手拉住长为

Ｌ质量为Ｍ的铁链，使其1/3垂在桌边。松手后，铁链从桌边滑下，

求铁链末端经过桌边时运动速度是过少？

命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一部分来讲都是

变力，运用动能定理难以解决过程中变力做的功。但运用机械能守

恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态，不必考虑运动过程，因

此解题就简单了。此类问题的重力势能要取每部分的中心，要选好参考平面，尽量使解题简捷。

分析与解：松手后，铁链在运动过程中，受重力和桌面的支持力，支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功，即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功。因此，从松手到铁链离开桌边，铁链的机械能守恒。以桌面为重力势能参考面 松手时，桌外部分的质量为

31ｍ，其重心在桌面下6

1L 处 此时铁链的重力势能为：－31ｍg 61L ＝－181mgL 铁链末端刚离桌面时，整条铁链都在空中，其重心在桌面下

21L 处 此时铁链的重力势能为：－mgL 2

1 设此时铁链的速度为v ，由机械能守恒定律有：

22

121181mv mgL mgL +-=- 解得：3

22gL v = 故铁链末端经过桌边时，铁链的运动速度是322gL v =

7（8分）、如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上，左端占总长的2/5，现

将铁链由静止释放，当多少？

解析：选取滑轮中心水平线为参考平面，设绳子总长为l

根据系统机械能守恒定律：

22

12515210353mv l mg l mg l mg +-=?-?- 解得铁链子刚刚离开滑轮时，链子的运动速度是：

gl v 25

3=

8（10分）、小球A 用不可伸长的细绳悬于O 点，在O 点的正下方有一固定的钉子B ，OB=d ，初始时小球A 与O 同水平面无初速度释放，绳长为L ，为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，如图15所示。试求d 的取值范围。

解析： 为使小球能绕B 点做完整的圆周运动，则小

球在D 对绳的拉力F 1应该大于或等于零，即有：

d L V m

mg D -≤2 根据机械能守恒定律可得

[])(212d L d mg mV D --= 由以上两式可求得：

L d L ≤≤5

3 9（10分）、如图所示，小车的质量为M ，后端放一质量为m 的铁

块，铁块与小车之间的动摩擦系数为μ，它们一起以速度v 沿光滑

地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失，设小车

足够长，则小车被弹回向左运动多远与铁块停止相对滑动？铁块在

小车上相对于小车滑动多远的距离？

分析与解：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒，规定小车反弹后的方向作向左为正方向，设共同速度为x v ，则：　x v m M mv Mv )(+=- 解得：　v m

M m M v x +-= 以车为对象，摩擦力始终做负功，设小车对地的位移为S 车 则：　－车222121Mv Mv mgS x -=μ 即：222)

(2m M g v M S +μ＝车 系统损耗机械能为：　相fS Q E ==?

22)(2

1)(21

x v m M v m M mgS +-+＝相μ g

m M Mv S )(22

+μ＝相；

m 图15

10（10分）、如图4-4所示，质量为M ，长为L 的木板（端点为A 、B ，

中点为O ）在光滑水平面上以v 0的水平速度向右运动，把质量为m 、长度

可忽略的小木块置于B 端（对地初速度为0），它与木板间的动摩擦因数为

μ，问v 0在什么范围内才能使小木块停在O 、A 之间？

解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒。设木块、木板相对静止时速度为 v ，

则 (M +m )v = Mv 0 能量守恒定律得：Q mv Mv Mv ++=22202

12121 滑动摩擦力做功转化为内能：mgs Q μ= 相对位移的范围是：L s L ≤≤2

解得v 0 的范围应是：

M gL m M )(+μ≤v 0≤M

gL m M )(2+μ 11（10分）、如图7所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A 端到B 端

的长度为16m ，传送带以v 0=10m/s 的速度沿逆时针方向转动。在传送带上

端A 处无初速地放置一个质量为0.5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因

数为μ=0.5，求（1）物体从A 端运动到B 端所需的时间是多少？（2）这个

过程中系统产生的内能。(sin37°=0.6，cos37°=0.8)

命题解读：该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，若μ＞0.75，第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动；若L ＜5m ，物体将一直加速运动。因此，在解答此类题目的过程中，对这些可能出现两种结果的特殊过程都要进行判断。

分析与解：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a ）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。

开始阶段由牛顿第二定律

mgsinθ＋μmgcosθ=ma 1 解得a 1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s 2

物体加速至与传送带速度相等时需要的时间t 1＝v/a 1＝1s

发生的位移为s ＝

21a 1ｔ12＝5m ＜16m 可知物体加速到10m/s 时仍未到达B 点

第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律 有mgsinθ－μmgcosθ＝ma 2 所以a 2＝2m/s 2

设第二阶段物体滑动到B 端的时间为t 2 则L AB －s ＝v ｔ2＋

2

1a 2ｔ22 解得t 2＝1s ｔ2′=-11s （舍去）

故物体经历的总时间ｔ=t 1＋t 2=2s

图7 图

8

（2）W 1=fs 1=μmgcos θ·s 1=10J W 2=-fs 2=-μmgcos θ·s 2= -22J

所以，W=W 1+W 2=10-22=-12J

故知系统发热产生的内能是12J

12（10分）、所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v 0=2m/s 的速率运行。现把一质量m=10kg 的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s ，工件被传送到h=1.5m 的高处，取g=10m/s 2。求（1）工件与皮带间的动摩擦因数。（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

解析：由题意可知皮带长s=h/sin30°=3m.

工件速度达到v 0前，做匀加速运动的位移为 2

01t

v

s = 达到v 0后做匀速运动的位移s-s 1=v 0（t-t 1）

加速运动的加速度为a=v 0/t 1=2.5m/s 2

工件受的支持力F N = mgcosθ，

对工件据牛顿第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma 解出动摩擦因数为23

=μ

在时间t 1内，皮带运动位移s 2=v 0t 1=1.6m

工件相对皮带的位移△s=s 2-s 1=0.8m

在时间t 1内，摩擦生热Q=μmgcosθ△s=60J

工件获得的动能E k =mv 02/2=20J

工件增加的势能E p =mgh=150J

电动机多消耗的电能W=Q+E k +E p =230J