2016_2017学年高中数学第4章定积分2微积分基本定理课后演练提升
2016-2017学年高中数学 第4章 定积分 2 微积分基本定理课后演
练提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1.??01
(e x
+2x )d x 等于( )
A .1
B .e -1
C .e
D .e +1
解析: ??01
(e x +2x )d x =(e x +x 2)|10=(e 1+1)-e 0=e ,故选C.
答案: C
2.??24
1x d x 等于( )
A .-2ln 2
B .2ln 2
C .-ln 2
D .ln 2
解析: ??24
1x d x =ln x |42=ln 4-ln 2=ln 2. 答案: D
3.若??1a
? ??
??2x +1x d x =3+ln 2,则a 的值是( ) A .6 B .4 C .3
D .2
解析: ??1a
? ??
??2x +1x d x =??1
a
2x d x + ?
??
?????1a
1x d x =x 2a 1+ln x a
1 =a 2
-1+ln a =3+ln 2. ∴a =2. 答案: D
4.求由y =x 3
,x =2,y =0所围成的图形的面积( ) A .2 B .4 C .6
D .8
解析: 如图,可得:S =??02
x 3
d x =
???14x 420=14×24-1
4
×04=4.
答案: B
二、填空题
5.若a =??02
x 2d x ,b =??02
x 3d x ,c =??02
sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是_________.
解析: a =??02x 2
d x =
???13x 320=83
,b =??02
x 3d x =
?
??14x 42
0=4, c =??02
sin x d x =(-cos x )|2
0=-cos 2+1<2,
∴c <a <b . 答案: c <a <b
6.已知函数f (x )=3x 2
+2x +1.若??-11
f (x )d x =2f (a )成立,则a =________________.
解析:
????-1
1
3x 2+2x +1 d x = x 3+x 2+x 1
-1=4,
所以2(3a 2
+2a +1)=4,即3a 2
+2a -1=0, 解得a =-1或a =1
3.
答案: -1或1
3
三、解答题
7.计算下列定积分: (1)??2
1(x -1)5
d x ;
(2)??03
|2-x |d x ;
(3)??0π
cos 2 x 2d x .
解析: (1)因为??????16 x -1 6′=(x -1)5
,
所以??12
(x -1)5
d x =
?
??16 x -1 6 2
1 =16×(2-1)6-16×(1-1)6
=16. (2)??03
|2-x |d x
=??02(2-x )d x +??23
(x -2)d x
=
?
??? ????2x -12x 220
+
?
??? ????12x 2-2x 32
=2+12=5
2
.
(3)??0π
cos 2 x 2d x =??0π
1+cos x 2
d x =
?
??12x π
0+
?
??12sin x π
0=π2. 8.已知f (x )是一次函数,其图像过点(1,4),且??01
f (x )d x =1,求f (x )的解析式. 解析: 设f (x )=kx +b (k ≠0),因为函数的图像过点(1,4),所以k +b =4.①
又??01
f (x )d x =??01
(kx +b )d x =
?
??? ????k 2x 2+bx 10=k 2+b , 所以k
2
+b =1.②
由①②得k =6,b =-2,所以f (x )=6x -2.
9.求定积分??02
|x -a |d x .
解析: 当a ≥2时,??02
|x -a |d x =??0
2
(a -x )d x =? ????ax -x 2
2???
22=2a -2
当0<a <2时,
??02
|x -a |d x =??0a (a -x )d x +??a
2
(x -a )d x =? ????ax -x 2
2???
a
0+? ????x 2
2-ax ???
2a
=a 2
-2a +2
当a ≤0时,??02|x -a |d x =??02
(x -a )d x =? ????x 2
2-ax ???
20
=2-2a .
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标: 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分? b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x ) 与x=a ,x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x=b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=? ,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=? ,在图(3)中:dx )x (f b a ? 表示函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(,仅 当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3) ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a ,b ]上,? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1.函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1:其中x ?是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或 0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导(可积),则有: f x,() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格,检查/() f x在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 高中数学-定积分的概念测试 1.定积分??0 1 1d x 的值等于 ( ) A .0 B .1 C.1 2 D .2 答案 B 2.已知??1 3 f (x )d x =56,则 ( ) A.??1 2 f (x )d x =28 B.??2 3f (x )d x =28 C.??1 22f (x )d x =56 D.??12f (x )d x +??2 3 f (x )d x =56 答案 D 3.如图所示,??a b f 1(x )d x =M ,??a b f 2(x )d x =N ,则阴影部分的面积为 ( ) A .M +N B .M C .N D .M -N 答案 D 4.不用计算,根据图形,用不等号连接下列各式 ( ) (1)??01 x d x ________??0 1x 2d x (图1); (2)??01x d x ________??1 2 x d x (图2); (3)??024-x 2d x ________??0 2 2d x (图3). 答案 (1)> (2)< (3)< 1.定积分可以表示图形的面积 从几何上看,如果在区间[a ,b ]上,函数f (x )连续且恒有f (x )≥0,那么定积分??a b f (x )d x 就表示由直线x =a ,x =b (a ≠b ),y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积,这就是定积分??a b f (x )d x 的几何意义. 2.定积分表示图形面积的代数和 被积函数是正的,定积分的值也为正,如果被积函数是负的,函数曲线在x 轴之下,定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积.当被积函数在积分区间上有正有负时,定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和. 3.此外,定积分还有更多的实际意义,比如在物理学中,可以用定积分表示功、路程、压力、体积等. 4.定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即??a b f (x )d x =??a b f (u )d u =??a b f (t )d t =…(称为积分形式的不变性),另外定积分??a b f (x )d x 与积分区间[a ,b ]息息相关,不同的积分区间,所得的值也不同,例如??01(x 2+1)d x 与??0 3(x 2 +1)d x 的值就不同.高中数学~定积分和微积分基本原理
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