利用导数判断单调性例题精讲

利用导数判断单调性例题精讲
利用导数判断单调性例题精讲

利用导数判断函数的单调性

【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用.

【重点、难点】利用导数研究函数的单调性.

【自主学习】

1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数.

2、()/0f x <是()f x 为减函数的( A )

A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【自测】

求下列函数的单调区间:

(1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x

=+ 解:(1)函数的单调递增区间为:413413(,),(,)33

-+-∞+∞ 函数的单调递减区间为:413413(,)33

-+ (2)函数的单调递增区间为:(,2),(2,)-∞-+∞

函数的单调递减区间为:(2,2)-

课内探究案

【精讲点拨】

例1、 求下列函数的单调区间:

(1)()1x f x e x =-- (2)()ln f x x x =-

解:(1)函数的单调递增区间为:(0,)+∞

函数的单调递减区间为:(,0)-∞

(2)函数的单调递增区间为:(1,)+∞

函数的单调递减区间为:(0,1)

例2、 证明:函数16()f x x x

=+

在()0,4上是减函数 证明:222

221616()1(0,4)16

160

0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在()上是减函数

例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解:232y x x m '=++

4120

1

3

R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数

y =3x +2x+m 0在上恒成立

【当堂检测】 函数11

y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案

课后拓展案

A 组

1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。

解:函数的递增区间:

∞∞(-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。

解:函数的定义域(0,)+∞

2

()22()20,1,010

(0,1)

f x x x

f x x x x x x '=-'=-

<<-<<>∴ 令得函数的递减区间是: 3、证明:函数34

y x =-在(),4-∞上是减函数。 2

3

(4)0

x '-'<∴∞证明:y =-当x<4时,y 函数在(-,4)上是减函数

B 组

1、函数x e x x f )3()(-=的增区间是 (2,)+∞

。 2、求函数()ln f x x x =的单调区间。

解:(1)函数的单调递增区间为:1(,)e

+∞ 函数的单调递减区间为:1(0,)e

C 组 证明函数211()2f x x x

=+在()1,+∞上是增函数。 证明:322311()1,1

()0

()(1,).x f x x x x

x x f x f x -'=-=>>'∴>∴+∞当时函数在上是增函数

利用导数判断函数的单调性教学案

课后拓展案(2)

A 组

1、函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。

2、函数x y e ex =-的增区间为 。

3、函数()ln 3y x x =-的减区间为 。

4、求函数()2263x f x x -=

+的单调区间。 5、已知函数53

123-++=

ax x x y 在()+∞∞-,是单调函数,求a 的取值范围。 B 组

1、函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数( ) A .)23,2(ππ B .)2,(ππ C .)25,23(ππ D .)3,2(ππ

2、若函数x ax x f ln )(-=在()0,1上是减函数,求实数a 的取值范围。 C 组

设()21

x t f x x +=+在()2,+∞上是增函数,求t 的取值范围。

word完整版导数的单调性与极值题型归纳

导数的应用(单调性与极值) 一、求函数单调区间 3-3x的单调递减区间是________________ x1、函数y= x的单调递增区间是_______________ -3)e(x)=(x2、函数f 3、函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为() 11A.(0,) B.(,+∞) aa1B.C.(-∞,) D.(-∞,a) a 4、函数y=x-2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________. 2x x5、求函数f(x)=x(e-1)-的单调区间. 2 a6、已知函数f(x)=+x+(a-1)ln x+15a,其中a<0,且a≠-1.讨论函数f(x)的x单调性.

二、导函数图像与原函数图像关系 1 导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率 导函数大小决定原函数陡峭平缓 1、若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象可能是() 2、若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是() 2x cos x)·,则函数y=g(g在其任一点+1(x,y)处切线斜率为(x)=3、设曲线yx) (的部分图象可以为

) 的图象,如图所示,则(xx)的导函数f′()f4、函数 ( 0是极小值点B.x=x=1是最小值点 (1,2)上单增在xf D 是极小值点=.C x2 .函数()三、恒成立问题2

123+bx+cxf(x)=x-b-∞,+∞)上是增函数,求.若f(x)1、已知函数在(2; 的取值范围

用导数判断函数的单调性

用导数判断函数的单调性 2003年高考(新课程卷·理)第19题对函数的单调性进行了考察,题目如下: 【题目】设0>a ,求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。 解:a x x x f +- = '1 21)((0>x ) 当0>a ,0>x 时, 0)(>'x f ?0)42(22>+-+a x a x , 0)(<'x f ?0)42(22<+-+a x a x , (i )当1>a 时,对所有0>x ,恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ,即0)(>'x f ,此时)(x f 在),0(+∞单调递增; (ii )当1=a 时,对1≠x ,恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ,即0)(>'x f ,此时)(x f 在)1,0(单调递增,在),1(+∞单调递增, 又知函数)(x f 在1=x 处连续,因此)(x f 在),0(+∞单调递增; (iii )当10<'x f ,即0)42(2 2>+-+a x a x , 解得a a x ---<122或a a x -+->122,因此,函数)(x f 在)122,0(a a ---单调递增,在),122(+∞-+-a a 单调递增, 令0)(<'x f ,即0)42(2 2<+-+a x a x , 解得a a x a a -+-<<---122122, 因此,函数)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间,只有用导数才行,这是教材新增的内容。其理论依据如下(人教版试验本第三册P148):

导数与单调性极值最基础值习题

导数与单调性极值最基础值习题 评卷人得分 一.选择题(共14小题) 1.可导函数y=f(x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的() A.充分条件B.必要条件 C.充要条件?D.必要非充分条件 2.函数y=1+3x﹣x3有( ) A.极小值﹣1,极大值3?B.极小值﹣2,极大值3 C.极小值﹣1,极大值1 D.极小值﹣2,极大值2 3.函数f(x)=x3+ax2﹣3x﹣9,已知f(x)的两个极值点为x1,x2,则x1?x2=() A.9 B.﹣9C.1 D.﹣1 4.函数的最大值为() A.?B.e2C.e D.e﹣1 5.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=() A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 6.已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=() A.﹣2或2? B.﹣9或3 C.﹣1或1 D.﹣3或1 7.设函数f(x)=xex,则() A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=﹣1为f(x)的极大值点?D.x=﹣1为f(x)的极小值点 8.函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是() A.(0,3)?B.(0,)?C.(0,+∞)?D.(﹣∞,3) 9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于() A.11或18?B.11 C.18?D.17或18 10.设三次函数f(x)的导函数为f′(x),函数y=x?f′(x)的图象的一部分如图所

示,则正确的是() A.f(x)的极大值为,极小值为 B.f(x)的极大值为,极小值为 C.f(x)的极大值为f(﹣3),极小值为f(3) D.f(x)的极大值为f(3),极小值为f(﹣3) 11.若f(x)=x3+2ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )A.﹣a2或a<﹣1C.a≥2或a≤﹣1?D.a>1或a<﹣2 12.函数y=xe﹣x,x∈[0,4]的最小值为() A.0 B.?C.?D. 13.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是()A.5,﹣15 B.5,﹣4C.﹣4,﹣15?D.5,﹣16 14.已知f(x)=2x3﹣6x2+m(m为常数)在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在[﹣2,2]上的最小值是( ) A.﹣37 B.﹣29 C.﹣5 D.以上都不对 评卷人得分 二.填空题(共10小题) 15.函数f(x)=x3﹣3x2+1的极小值点为. 16.已知f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,当x=1时,有极值10,则a+b=. 17.已知函数f(x)=x(x﹣c)2在x=2处有极大值,则c= . 18.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是. 19.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的

用导数求函数的单调性

用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师:范永德 一、第一段:点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 (1)理解)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性; (2)掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题:用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页,进行自主学习。(约10分钟) 二、第二段:合作探究、启发点拨 1、探究1:怎样从导数的几何意义,判断)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性?点拨:以直代曲 探究2:用导数求函数单调性的步骤 点拨:(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性,写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x

解:f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)>0,解得:2 1712171+->--',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 作业:课本第98页 习题3.3A 组1、(3) (4) 2、(3) (4)

(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)

利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点: 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 (1)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递增; (2)若 ,则()f x 在(),a b 上单调递减; (3)若 ,则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. (1)()ln f x x e x =+ (2)2 1()ln 2 f x x x =- (3)()()3x f x x e =- (4)()2x f x e x =- (5)()3ln f x x x =+ (6)ln ()x f x x = (7)2()(0)1 ax f x a x =>+ (8)32333()x x x x f x e +--=

2、讨论下列函数的单调性. (1)()ln (1),f x x a x a R =+-∈ (2)3(),f x x ax b a R =--∈ (3)2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ (4)32(),,f x x ax b a b R =++∈ (5)2()(22),0x f x e ax x a =-+> (6)2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ (7)2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> (8)221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈

3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. (1)确定a 的值; (2)若()()x g x f x e =,讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈,曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. (1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间. 5、(2016全国卷2节选)讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性, 并证明当0x >时,(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.

导数的单调性及极值问题

二轮复习导数 (一) 2015. 02. 07 一、 运用导数研究函数的单调性 单调区间: (1) 求单调区间 (2)已知单调区间 (3)在某区间上不单调 运用导数求函数单调区间的思维流程图: 答题步骤: 第一步:求定义域; 第二步:求)(x 'f ; 第三步:令)(x 'f =0,求相应的导函数零点值;(是一次型还是二次型?是否有解?有几个解) 第四步:列表分析函数的单调性, (列表实际上就是画数轴,也可以认为是穿根解不等式,首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小) 第五步:由表格写结论。 例1:(2012西城一模)已知函数()e (1)ax a f x a x =?++,其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间. 解:2 (1)[(1)1] ()e ax x a x f x a x ++-'=,0x ≠.……………6分 ①当1-=a 时,令()0f x '=,解得1x =-. )(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-;单调递增区间为(1,0)-,(0,)+∞.……8分 当1a ≠-时,令()0f x '=,解得1x =-,或1 1 x a = +. ②当01<<-a 时,)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-,1 ( ,)1 a +∞+; 单调递增区间为(1,0)-,1 (0, )1 a +.………10分 ③当0=a 时,()f x 为常值函数,不存在单调区间.…………11分 ④当0a >时,)(x f 的单调递减区间为(1,0)-,1 (0, )1 a +; 单调递增区间为(,1)-∞-,1 ( ,)1 a +∞+.…………13分

1)分类讨论的特点:二次项系数不确定 ,一元二次方程根的大小确定 。 例2:(2012-2013朝阳第一学期期末)已知函数1 ()()2ln ()f x a x x a x =--∈R .求函数()f x 的单调区间. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞.222 122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-= (1)当0a ≤时,2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立, 则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立,此时()f x 在(0,)+∞上单调递减.……………4分 (2)当0a >时,244a ?=-, (ⅰ)若01a <<, 由()0f x '>,即()0h x >,得1x a <或1x a +>;………………5分 由()0f x '<,即()0h x -, .......................................2分 令()0f x '=,得到121 2,0x x a = -= , 由12a ≥可知120a -≤ ,即10x ≤....................5分 ① 即12a =时,121 20x x a =-==.所以,2 '2 ()0,(1,)2(1) x f x x x =-≤∈-+∞+,............6分 故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当 112a <<时,1 120a -<-<,即1210x x -<<=, 所以,在区间1 (1,2)a --和(0,)+∞上,'()0f x <;........8分在区间1(2,0)a -上,'()0f x >..........9分 故 ()f x 的单调递减区间是1 (1,2)a --和(0,)+∞,单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分 ③当1a ≥时,11 21x a = -≤-,

利用导数判断函数的单调性练习题

5、利用导数判断函数的单调性 一、选择题 1.函数y =x 3 的递减区间是( ) A .(-∞,+∞) B .(0,+∞) C .(-∞,0) D .不存在 2.函数f (x )=x -e x 的单调增区间是( ) A .(1,+∞) B .(0,+∞ ) C .(-∞,0) D .(-∞,1) 3.函数y =f (x )的图象如图所示,则导函数y =f ′(x )的图象可能是( ) 4.三次函数y =f (x )=ax 3 +x 在x ∈(-∞,+∞)内是增函数,则( ) A .a >0 B .a <0 C .a <1 D .a <13 5.若在区间(a ,b )内有f ′(x )>0,且f (a ) ≥0,则在(a ,b )内有( ) A .f (x )>0 B .f (x )<0 C .f (x )=0 D .不能确定 6.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.? ????-π,-π2和? ????0,π2 B.? ????-π2,0和? ????0,π2 C.? ????-π,-π2和? ????π2,π D.? ????-π2,0和? ?? ??π2,π 7.设f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0),则f (x )为增函数的充要条件是( ) A .b 2-4ac ≥0 B .b 2-4ac ≤0 C .b 2-3ac ≤0 D .b 2-3ac ≥0 8.函数f (x )=2x 2-ln2x 的单调递增区间是( ) A.? ????0,12 B.? ????0,24 C.? ????12,+∞ D.? ????-12,0及? ????0,12

利用导数判断函数的单调性

高二(下)数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 (一)求函数)(x f 单调区间的方法: 1.如果在),(b a 内,0)(/ >x f ,则)(x f 在此区间是增函数,),(b a 为)(x f 的单调增区间; 2.如果在),(b a 内,0)(/x f ,则)(x f 在此区间是增函数,),(b a 为)(x f 的单调增区间; (2).如果在),(b a 内,0)(/

【典型例题】 例题1(1)确定函数422+-=x x y 的单调区间; (2)找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间; (3)求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x )的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 (1)x e x f x -=)(;(2)x e x x f ln 2)(2-=; (3)x e x x x f -++=)1()(2 例题3 (1)求方程0=7+6x -2x 23在区间(0,2)上的根的个数. (2)证明方程x -12 sinx =0有惟一解.

用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤

用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 (833200)新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞 极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ,且在0x 的两侧)(x f 的导数异号,则0x 是)(x f 的极值点,)(0x f 是极值,并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”,则0x 是)(x f 的极大值点,)(0x f 是极大值;如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”,则0x 是)(x f 的极小值点,)(0x f 是极小值 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f (x )在这个根处无极值在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值;在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值;⑵将)(x f 的各极值与 )(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 例1 求列函数的极值:(1)22)2()1(--=x x y ;(2)21 22 -+= x x y 解:(1)2 / 2 2 )2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f 令0)(/ =x f ,得驻点2,5 7 ,1321== =x x x

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型

利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题(题型注释) 1.已知函数ax x xe x f x --=ln )(2. (1)当0=a 时,求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值; (2)若0>?x ,不等式1)(≥x f 恒成立,求a 的取值范围; (3)若0>?x ,不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立,求a 的取值范围. 1.(1) ln 22 e +; (2)2a ≤;(3)11(1)e e a e e ≤---. 【解析】 试题分析:(1)由0=a 时,得出x xe x f x ln )(2-=,则21 ()(21)x f x x e x '=+- ,再求导()f x '',可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数,从而得到函数()f x 的单调性,即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值; (2)由(1)知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数,且00>?x ,使得0()0f x '=,得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ,即022000(2)1x ax x x e =+-,设022000()1ln 2x f x x x e =--,利用函数0()f x 的单调性, 即可求解求a 的取值范围;(3)根据题意,转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立,令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=,所以()g x ',可得出()g x 的单调性,求解出()g x 的最小值,即可a 的取值范围. 试题解析:(1)0=a 时,x xe x f x ln )(2-=,x e x x f x 1)12()(2/-+=∴, 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ,所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数,

利用导数判断单调性例题精讲

利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的( A ) A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解:(1)函数的单调递增区间为:413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为:413413(,)33 -+ (2)函数的单调递增区间为:(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为:(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: (1)()1x f x e x =-- (2)()ln f x x x =- 解:(1)函数的单调递增区间为:(0,)+∞ 函数的单调递减区间为:(,0)-∞ (2)函数的单调递增区间为:(1,)+∞

函数的单调递减区间为:(0,1) 例2、 证明:函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明:222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在()上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解:232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解:函数的递增区间: ∞∞(-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解:函数的定义域(0,)+∞

利用导数研究函数的单调性和极值(答案)

小题快练 1.(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .1 2 - D .2- 2.(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=,则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是(C ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1) 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线,求此切线方程. (1)解:323)(2-+='bx ax x f ,依题意,0)1()1(=-'='f f ,即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ,得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ,则0)(>'x f ,故 f (x )在)1,(--∞上是增函数, f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ,则0)(<'x f ,故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以,2)1(=-f 是极大值;2)1(-=f 是极小值. (2)解:曲线方程为x x y 33 -=,点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ,则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ,故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A (0,16)在切线上,有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ,解得20-=x . 所以,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .

导数用于单调性和极值问题

专题十四、导数用于单调性和极值问题 题型一 利用导数判断函数的单调性 1.证明:函数f (x )=sin x x 在区间??? ?π2,π上单调递减. 题型二 利用导数求函数的单调区间 2.求下列函数的单调区间. (1)f (x )=x 3-x ;(2)y =e x -x +1. ! 3.求函数y =x 2-ln x 2的单调区间. 题型三 已知函数单调性求参数的取值范围 4.已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0,常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上是单调递增的,求a 的取值范围. 5.(1)已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的单调减区间为[-1,2],求b ,c 的值. (2)设f (x )=ax 3+x 恰好有三个单调区间,求实数a 的取值范围. … 题型四 用单调性与导数关系证不等式 6.当x >0时,证明不等式ln(x +1)>x -1 2x 2. 7.当0<x <π2时,求证:x -sin x <1 6x 3. ; 题型五、函数的极值问题 8.下列函数存在极值的是( ) A .y =2x B .y =1x C .y =3x -1 D .y =x 2 9.设函数f (x )=2 x +ln x ,则( ) A .x =1 2为f (x )的极大值点 B .x =1 2为f (x )的极小值点

C .x =2为f (x )的极大值点 D .x =2为f (x )的极小值点 … 10.若函数y =f (x )是定义在R 上的可导函数,则f ′(x 0)=0是x 0为函数y =f (x )的极值点的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 11.函数y =x ·e x 的最小值为________. 12.若函数f (x )=x x 2+a (a >0)在[1,+∞]上的最大值为33,则a 的值为________. 题型六、利用极值求参数范围 13.已知函数f (x )=a sin x -b cos x 在x =π4时取得极值,则函数y =f (3π 4-x )是( ) A .偶函数且图象关于点(π,0)对称 … B .偶函数且图象关于点(3π 2,0)对称 C .奇函数且图象关于点(3π 2,0)对称 D .奇函数且图象关于点(π,0)对称 14.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,f (x )在x =0处取得极值,并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性. (1)求实数b 的值; (2)求实数a 的取值范围. 题型七、导数用于解决实际问题 15.用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( ) ? A .6 B .8 C .10 D .12 16.一工厂生产某型号车床,年产量为N 台,分批进行生产,每批生产量相同,每批生产的准备费为C 2元,产品生产后暂存库房,然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为C 1元,求在不考虑生产能力的条件下,每批生产该车床________

函数单调性判断方法(五)-导数法

函数单调性判断方法(五)-导数法 函数在区间上连续,在内可导,且在内 ① 如果 ,那么函数在区间上单调增加 ② 如果 ,那么函数 在区间 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域 ② 求导数 ③ 令 解此方程,求出在区间内的全部实根,并按从小到大的顺序排列为 ④ 确定区间 内导数符号 ⑤ 在某区间内,若,那么函数在这个区间内递增,若那么函数在这 区间内递减。 例1:(2011安徽)设()1x e f x ax =+,其中a 为正实数 (Ⅰ)当a 4 3 = 时,求()f x 的极值点; (Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围。 解析:本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力. 解:对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ① (I )当34= a ,若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. x )2 1,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ),2 3 (∞ )(x f ' + 0 - 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

(II )若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合①与条件a>0,知 0122≥+-ax ax 在R 上恒成立,因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ,知.10≤时,()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增,在(,)k k -上递减; 当0k <时,()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减,在(,)k k -上递增 例3:(2011广东) 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性. 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞) 221212122(1)2(1)1'(), 1 12(1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'()23 (1)(31)(1)(31)11 0,, 22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时,方程的判别式①当0<时,有个零点 且当或时,在与内为增函数121212'()0,(),)1 10,'()0,()(0,)3 1 1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11 10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--;当时,在(内为减函数 当时,在内为增函数; 当时,在内为增函数; 当时,所以在定义域内有唯一零点 ②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时,在内为增函数;当时,在内为减函数; 综上所述,f(x)的单调区间如下表: 103a << 1 13 a ≤≤ 1a >

导数与函数的单调性、极值、最值

§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 1.函数的单调性 在某个区间(a,b),如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x); ②求程f′(x)=0的根; ③检查f′(x)在程f′(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步 骤如下: ①求f(x)在(a,b)的极值; ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小 值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. ( ×)

(2)函数在某区间上或定义域极大值是唯一的. ( × ) (3)函数的极大值不一定比极小值大. ( √ ) (4)对可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是x 0点为极值点的充要条件. ( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( √ ) (6)函数f (x )=x sin x 有无数个极值点. ( √ ) 2. 函数f (x )=x 2 -2ln x 的单调减区间是 ( ) A .(0,1) B .(1,+∞) C .(-∞,1) D .(-1,1) 答案 A 解析 ∵f ′(x )=2x -2x =2(x +1)(x -1) x (x >0). ∴当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数. 3. (2013·)已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )=(e x -1)(x -1)k (k =1,2),则 ( ) A .当k =1时,f (x )在x =1处取到极小值 B .当k =1时,f (x )在x =1处取到极大值 C .当k =2时,f (x )在x =1处取到极小值 D .当k =2时,f (x )在x =1处取到极大值 答案 C 解析 当k =1时,f ′(x )=e x ·x -1,f ′(1)≠0. ∴x =1不是f (x )的极值点. 当k =2时,f ′(x )=(x -1)(x e x +e x -2) 显然f ′(1)=0,且x 在1的左边附近f ′(x )<0, x 在1的右边附近f ′(x )>0, ∴f (x )在x =1处取到极小值.故选C. 4. 函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为( ) A .(-1,1) B .(-1,+∞)

利用导数判断函数的单调性含答案

3.3.1利用导数判断函数的单调性 一、学习目标:学会利用导数判断函数的单调性. 二、复习巩固: 1.函数的平均变化率如何求? 2.导数与平均变化率的关系是怎样的? 3.如何用定义证明函数单调性? 三、自主学习:自学课本,思考下面问题: 1. 设函数y=f(x) 在区间(a,b )内可导,那么在这个区间内f (x)'满足什么条件时,函数y=f(x) 为这个区间内的增函数;在这个区间内f (x)'满足什么条件时,函数y=f(x) 为这个区间 内的减函数 ? 2. 求函数单调区间可以分几步完成? 注:(1)若函数在区间的端点有意义,写区间时往往把端点写进去。 (2)若有多个单调区间,不可以用“∪”并起来!但可以用“和”“及”连起来 3. (重要结论)设函数y=f(x) 在区间(a,b )内可导, 若函数y=f(x) 为这个区间内的增函数,则在这个区间内f (x)0'≥恒成立; 若函数y=f(x) 为这个区间内的减函数,则在这个区间内f (x)0'≤恒成立。 四、尝试练习: 1.(A )y=2x-x 2的单调增区间为 ( ) A .(0,2) B .(-∞,1) C .(-1,1) D .(1,+∞) 2.(A ) 函数1 y x x =- 的单调区间为( ) A. ),0()0,(+∞-∞ B. (,0)(0,)-∞+∞和 C. (,1),-∞ D. (1,)+∞ 3.(B )函数x e f(x)=x 的单调增区间是( ) A. (,0)-∞ B. (,1)-∞ C. (1,1),- D. (1,)+∞ 4.(A )函数y=x x ln 21 -的单调减区间为 . 5.(A )函数f (x )=1 3 x 3-x 2-3x+1的单调增区间为 减区间为 . 6.(B )求证:当x<2时32 x 6x 12x 17-+-<. 7.(C )确定函数f (x )=a x (a 0)x + >在(0,+∞)上的单调区间. 五、小结: 六、:巩固提升: 1.(A )关于函数762)(2 3+-=x x x f ,下列说法不正确的是( ) A.在区间)0,(-∞内,f(x)为增函数 B.在区间(0,2)内,f(x)为减函数 C.在区间),2(+∞内,f(x)为增函数 D.在区间),2()0,(∞+-∞ 内,f(x)为增函数 2.(A )函数y=xlnx 的单调减区间是( ) A.?? ? ??∞+,1e B.?? ? ??∞-e 1, C.?? ? ? ?e 1, D.()∞+,e 3.(B )设)('x f 是函数f(x)的导数,y f '(x)=的图象 如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( ) 4.(B )函数f(x)的导函数)('x f y =的图象如下图, 则函数f(x)的单调递增区间为 5.(B )函数f (x )=4 x x + 的增区间为 ; 减区间为 . 6.(C )证明不等式:x e x 1≥+

专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值(解析版)

第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一.函数的单调性 在某个区间(a ,b )内,如果f ′(x )>0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增;如果f ′(x )<0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减. 二.函数的极值 (1)一般地,求函数y =f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )=0,当f ′(x 0)=0时: ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0,那么f (x 0)是极大值; ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0,那么f (x 0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x ); ②求方程f ′(x )=0的根; ③考查f ′(x )在方程f ′(x )=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值. 三.函数的最值 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. (2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间: (1)3 ()23f x x x =-; (2)2 ()ln f x x x =-. (3))f (x )=2x -x 2. 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->,解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时,函数为增函数;当)2 x ∈+∞时,函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<,解得22x - <<.当(22 x ∈-时,函数为减函数.

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