浙江省八年级数学下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第2课时练习新版浙教版

浙江省八年级数学下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第2课时练习新版浙教版
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2.2 一元二次方程的解法(第2课时)

课堂笔记

1. 一般地,对于形如x 2=a (a ≥0)的方程,根据平方根的定义,可得x 1=a ,x 2

=-a . 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.

2. 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

分层训练

A 组 基础训练

1. 方程(x-3)2=16的解是( )

A. x 1=x 2=3

B. x 1=-1,x 2=7

C. x 1=1,x 2=-7

D. x 1=-1,x 2=-7 2. 若x=2是方程3x 2-7=a 2的一个根,则a 的值为( )

A . 5 B. ±5 C. 5 D. ±5

3. (滨州中考)用配方法解一元二次方程x 2-6x-10=0时,下列变形中,正确的是( )

A .(x+3)2=1 B.(x-3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x-3)2

=19 4. 下列解方程的结果正确的是( )

A. x 2=-11,解得x=±11

B.(x-1)2=4,解得x-1=2,所以x=3

C. x 2=7,解得x=±7

D. 25x 2=1,解得25x=±1,所以x=±

251 5. 已知关于x 的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m 的取值范围是( )

A . m ≥-4

3 B . m ≥0 C . m ≥1 D . m ≥2 6. 将下列各式配方: (1)x 2-4x+( )=(x- )2; (2)x 2+12x+( )=(x+ )2;

(3)x 2-2

3x+( )=(x- )2;

(4)x 2+22x+( )=(x+ )2.

7. 方程3(x-1)2=6的解为 .

8. 王涛利用电脑设计了一个程序:当输入实数对(x ,y )时,会得到一个新的实数x 2+y-1,例如输入(2,5)时,就会得到实数8(即22+5-1=8). 若输入实数对(m ,2)时得到实数3,则m= .

9. 关于x 的方程(x+h )2+k=0(h ,k 均为常数)的解是x 1=-3,x 2=2,则方程(x+h-3)2+k=0的解是 .

10. 用开平方法解下列方程:

(1)9x 2-16=0;

(2)-32

(x-1)2=-3.

11. 用配方法解方程:

(1)x 2-4x-5=0;

(2)-x 2+3x-2=0;

(3)x 2=22x+4.

12. 已知y 1=2x 2+7x+3,y 2=x 2+5x+2,当x 取何值时,y 1=y 2?

B组自主提高

13.对于任意实数x,多项式x2-6x+11的值是一个()

A.负数 B.非正数 C.正数 D.无法确定

14.已知x2-4x+4+y2+6y+9=0,则x-y的值为 .

15. 已知三个连续奇数的平方和是251,那么这三个数的积是多少?

16.已知等腰三角形的底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,求这个三角形的面积.

参考答案

2.2 一元二次方程的解法(第2课时)

【分层训练】

1—5. BDDCB

6. (1)4 2 (2)36 6 (3)169 4

3 (4)2 2 7. x=1±2 8. ±2 9. x 1=0,x 2=5

10. (1)移项,得9x2=16. 方程两边同除以9,得x 2=916. 解得x 1=34,x 2=-3

4. (2)将原方程整理,得(x-1)2=29. 两边开平方,得x-1=±29=±232. 移项,得x=1±232.

即原方程的解为x 1=2232+,x 2=2

232-. 11. (1)x 1=5,x 2=-1 (2)x 1=1,x 2=2 (3)x=2±6 12. x=-1. 13. C 14. 5

15. 设中间的数为x ,则另外两个数分别为x-2和x+2. 根据题意,得(x-2)2+x2+(x+2)2

=251. 整理,得x 2=81. ∴x=±9. 当x=9时,x (x-2)(x+2)=693;当x=-9时,x (x-2)(x+2)=-693.

16. 由x 2-9x +20=0,解得x 1=4,x 2=5. ∵等腰三角形的底边长为8,且当x =4时,边长为4,4,8的三条线段不能组成三角形,∴x =5. ∴高为3. ∴三角形的面积为1

2.

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习 一、知识结构: 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习: ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 针对练习: ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。

(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题

一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ,则 12b x x a +=-,12c x x a ?= 适用题型:(1)已知一根求另一根及未知系数; (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程; (4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根); (6)题目给出两根之间的关系,如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意:(1)222 121212()2x x x x x x +=+-? (2)22121212()()4x x x x x x -=+-?; 12x x -= (3)①方程有两正根,则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?; ②方程有两负根,则1212 000x x x x ?≥?? +? ; ③方程有一正一负两根,则12 0x x ?>?? ??? --

一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能: 一、填空题: 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 . 42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④ 5232=+x x ⑤ 412=+x x ⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。。。。⑧⑦ 2.已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程,则a 3.当=k 时,方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程. 4.解一元二次方程的一般方法有 , , , · 5.一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为: . 6.(2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 . 7.不解方程,判断一元二次方程022632 =+--x x x 的根的情况是 . 8.(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 . 9.已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根. 10.关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 . 二、选择题: 11.(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(42 2-+=++x a x x 成立,则a 的值为( ) A .5 8.4 C .3 D .2 12.把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ) 3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D 13.方程02=+x x 的解是( ) x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D

初中数学一元二次方程知识点总结与练习

知识点总结:一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程; (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a ≠0); 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是 b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法

配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式,通常用“?”来表示,即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ,,那么a b x x - =+21,a c x x =21。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (1)去分母,方程两边都乘以最简公分母 (2)解所得的整式方程 (3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题: 1、判别下列方程是不是一元二次方程,是的打“√”,不是的打“×”,并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.

专题复习:一元二次方程的五种常用解法(后附答案)【精品】

专题:一元二次方程的5种解法 方法1 形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1.用直接开平方法解下列方程: (1)9x2=25; (2)x2-√=0; (3)(2t-1)2=9; (4)(x-3)2-9=0. (5)2(x-1)2-18=0. 用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤: (1)看:看是否符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式; (2)化:对于不符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式; (3)求:应用平方根的意义,将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.

方法2 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解 2.用配方法解下列方程: (1)x 2-10x+9=0; (2)x 2+2x=2; (3)2x 2-4x+1=0. 3. 用配方法解下列方程: (1)3x 2 +6x -5=0; (2)12 x 2 -6x -7=0; (3)2x 2+7x -4=0. 用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项. (2)化1:当方程的二次项系数不为1时,在方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. (3)配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把原方程化成(x +n)2=p 的形式. (4)开方:若p ≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程;若p <0,则原方程无解. (5)求解:解所得到的一元一次方程,求出原方程的解.

方法3 易化成一般形式(二次项系数不为1)时,用公式法求解4.用公式法解方程: (1)x2+3x+1=0; (2)2x2-5x-7=0; (3)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (4)y2-2√2y+2=0; (5)(x+1)(2x-6)=1; (6)x2+5x+18=3(x+4).

八年级数学一元二次方程期末复习试题

期末复习——一元二次方程 1. 一元二次方程的概念: (1)注意一元二次方程定义中的三个条件:有一个未知数,含未知数的最高次是2,整式方程,是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 (2)强调:要先把一元二次方程化为一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),才能确定a 、b 、c 的值。 2. 一元二次方程的解法: (1)直接开平方法: () 它是以平方根的概念为基础,适合于形如,类型的 方程。 ax b c a c +=≠≥2 00() (2)配方法: () 先把二次项系数化为,再对进行配方,即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方,就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式, 变形为:的形式,再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 2 2 2 20+?? ? ?? +=≥() (3)公式法: 用配方法推导求根公式,由此产生了第三种解法公式法,它是解一元二次方程的主要方法,是解一元二次方程的通法。 关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式,确认、、的值(特别要注意正、负号),求出的值(以便决定有无必要代入求根公式),若,则代入求根公式。 a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥= -±-2 2 2 44042 (4)因式分解法: 适用于方程左边易于分解,而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时,要注意根据方程的特点,选择适当的解法,使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程,要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式 ()来判断。即根的情况可以用判别式 一元二次方程 ?-≠=++ac b a c bx ax 400 2 2 当时,方程有两个不相等的实数根。b ac 2 40-> 当时,方程有两个相等的实数根。b ac 2 40-= 当时,方程没有实数根。b ac 2 40-< 根的判别式△=b 2-4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程根与系数关系。 ()已知、是一元二次方程++=的两个根,那么,,,逆命题也成立。 x x ax bx c a x x b a x x c a 122 121200≠+= - ?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用: (1)已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值。 (2)不解方程,求某些代数式的值。 (3)已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程。 (4)已知两数和与积,求这两个数。 (5)二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系,可以大大缩减了复杂的运算量,避免进行无理数的计算。

2.2《一元二次方程的解法》专题训练题及答案

湘教版九年级数学上册 第2章 反比例函数 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 根据平方根的意义解一元二次方程 专题训练题 1.已知x =2是一元二次方程x 2-2mx +4=0的一个解,则m 的值为( ) A .2 B .0 C .0或2 D .0或-2 2.若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有一个根为1,则下列结论正确的是( ) A .a +b +c =1 B .a +b +c =0 C .a -b +c =0 D .a -b +c =1 3.已知m 是一元二次方程x 2-x -1=0的一个根,那么代数式m 2-m 的值等于( ) A .1 B .0 C .-1 D .2 4.已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 5.已知关于x 的一元二次方程(x +1)2-m =0有实数根,则m 的取值范围是( ) A .m ≥-34 B .m ≥0 C .m ≥1 D .m ≥2 6.方程x 2-3=0的根是( ) A .x =3 B .x 1=3,x 2=-3 C .x = 3 D .x 1=3,x 2=- 3 7.一元二次方程(x +6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x +6=4,则另一个一元一次方程是( ) A .x -6=-4 B .x -6=4 C .x +6=4 D .x +6=-4 8.方程-4x 2+1=0的解是( ) A .x =12 B .x =-12 C .x =±12 D .x =±2 9.方程(x -4)2=11的根为( ) A .x 1=-4+11,x 2=-4-11 B .x 1=4+11,x 2=4-11 C .x 1=11+4,x 2=11-4 D .x 1=4+11,x 2=-4-11 10.对于形如(x +m )2=n 的方程,它的解的正确表述为( ) A .都能用直接开平方法求解得x =-m ±n B .当n ≥0时,x =m ±n C .当n ≥0时,x =-m ±n D .当n ≥0时,x =±n -m 11.下列方程中,适合用直接开平方法求解的是( ) A .x 2+5x +1=0 B .x 2-6x -4=0 C .(x +3)2=16 D .(x +2)(x -2)=4x 12.方程4x 2-81=0的解为________. 13.解下列方程: (1)16x 2=25; (2)(2x +1)2-1=0.

初中数学一元二次方程的解法

解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 (因式分解法)解:(x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 , x 2=4. (配方法)解:x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. (公式法)解:x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±( 即x 1=4 , x 2=-2. (“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法) 解:x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1

例2 用配方法解下列一元二次方程: (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数). 解:(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2

一元二次方程及一元二次方程的解法测试题(绝对经典)

. 第二章一元二次方程单元测验 一、选择题:(每小题3分,共36分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是 ( ) (A )22)1(2-=-x x (B )01232=+-x x (C )042=-x x (D )02352 =-x x 2. 方程1)14(2 =-x 的根为( ) (A )4121==x x (B )2121==x x (C ),01=x 212=x (D ),2 1 1-=x 02=x 3. 解方程 7(8x + 3)=6(8x + 3)2 的最佳方法应选择( ) (A )因式分解法 (B )直接开平方法 (C )配方法 (D )公式法 4. 下列方程中, 有两个不相等的实数根的方程是( ) (A )x 2 –3x + 4=0 (B )x 2–x –3=0 (C )x 2–12x + 36=0 (D )x 2–2x + 3=0 5、已知m是方程012 =--x x 的一个根,则代数m2 -m的值等于 ( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、2 6、若方程0152 =--x x 的两根为的值为则 、212111,x x x x +( ) A 、5 B 、51 C 、5- D 、5 1- 7. 以知三角形的两边长分别是2和9, 第三边的长是一元二次方程x 2 –14x + 48=0的解, 则这个三角形 的周长是( )(A )11 (B )17 (C )17或19 (D )19 8. 下列说法中正确的是 ( )(A )方程2 80x -=有两个相等的实数根; (B )方程252x x =-没有实数根;(C )如果一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,那么0?=; (D )如果a c 、异号,那么方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根. 9. 若一元二次方程(1–2k)x 2 + 12x –10=0有实数根, 则K 的最大整数值为( ) (A )1 (B )2 (C )–1 (D )0 10.把方程2x 2 -3x+1=0化为(x+a)2 =b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ??- = ???; B.2312416x ??-= ???; C. 2 31416x ? ?-= ? ?? ; D.以上都不对 11、 若方程02 =++q px x 的两个实根中只有一个根为0,那么 ( ) (A )0==q p ; (B )0,0≠=q p ; (C )0,0=≠q p ; (D )0,0≠≠q p . 12、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题,其中答对的是 ( ) A . 若x 2=4,则x =2 B .方程x (2x -1)=2x -1的解为x =1 C .若x 2 +2x +k =0有一根为2,则8=-k D .若分式1 2 32-+-x x x 值为零,则x =1,2 二、填空题:(每小题3分,共30分) 1、方程()()-267-x 5x =+,化为一般形式为 ,其中二次项系数和一次项系数的和为 。 2. 当x =________时,分式1 4 32+--x x x 的值为零。 3. 若关于x 的方程02)1(2 =+--m mx x m 有实数根,则m 的取值范围是______ 4.若方程042 2 =++m x x ,则m= . 5.已知0822 =--x x , 那么=--7632 x x _______________. 6. 若关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax (a ≠0)的两根分别为1,—2,则b a -的值为______. 7. 若2 2 2 (3)25a b +-=,则22 a b +=____ 8.若一元二次方程02 =++c bx ax 中,024=+-c b a ,则此方程必有一根为________. 9、若两个连续整数的积是20,则他们的和是________。 10.某企业前年的销售额为500万元,今年上升到720万元,如果这两年平均每年增长率相同,则去年销售额为 11. 如果x x 12、是方程x x 2 720-+=的两个根,那么x x 12+=____________。 13. 已知一元二次方程x x 2 350--=的两根分别为x x 12、,那么x x 12 22 +的值是____。 14. 若方程x x k 2 20-+=的两根的倒数和是 8 3 ,则k =____________。 15.已知关于x 的方程(2k+1)x 2 -kx+3=0,当k______时,?方程为一元二次方程,? 当k______时,方程为一元一次方程,其根为______.

小专题(一)-一元二次方程的解法

专题(一)一元二次方程的解法 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-16=0;(2)3x2-27=0; (3)(x-2)2=9;(4)(2y-3)2=16. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-4x-1=0; (2)2x2-4x-8=0; (3)3x2-6x+4=0; (4)2x2+7x+3=0.

3.用公式法解下列方程: (1)x2-23x+3=0; (2)-3x2+5x+2=0; (3)4x2+3x-2=0; (4)3x=2(x+1)(x-1). 4.用因式分解法解下列方程: (1)x2-3x=0; (2)(x-3)2-9=0;

(3)(3x-2)2+(2-3x)=0; (4)2(t-1)2+8t=0; (5)3x+15=-2x2-10x; (6)x2-3x=(2-x)(x-3). 5.用合适的方法解下列方程: (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0; (2)5(x-3)2=x2-9;

(3)t 2-22t +18=0. 参考答案 1.(1)移项,得x 2=16,根据平方根的定义,得x =±4,即x 1=4,x 2=-4. (2)移项,得3x 2=27,两边同除以3,得x 2=9,根据平方根的定义,得x =±3,即x 1=3,x 2=-3. (3)根据平方根的定义,得x -2=±3,即x 1=5,x 2=-1. (4)根据平方根的定义,得2y -3=±4,即y 1=72,y 2=-12. 2.(1)移项,得x 2-4x =1.配方,得x 2-4x +22=1+4,即(x -2)2=5.直接开平方,得x -2=±5,∴x 1=2+5,x 2=2- 5. (2)移项,得2x 2-4x =8.两边都除以2,得x 2-2x =4.配方,得x 2-2x +1=4+1.∴(x -1)2=5.∴x -1=± 5.∴x 1=1+5,x 2=1- 5. (3)移项,得3x 2-6x =-4.二次项系数化为1,得x 2-2x =-43.配方,得x 2-2x +12=-43+12,即(x -1)2=-13.∵ 实数的平方不可能是负数,∴原方程无实数根. (4)移项,得2x 2+7x =-3.方程两边同除以2,得x 2+72x =-32.配方,得x 2+72x +(74)2=-32+(74)2,即(x +74)2=2516. 直接开平方,得x +74=±54.∴x 1=-12,x 2=-3. 3.(1)∵a =1,b =-23,c =3,b 2-4ac =(-23)2-4×1×3=0,∴x =-(-23)±02×1 = 3.∴x 1=x 2= 3. (2)方程的两边同乘-1,得3x 2-5x -2=0.∵a =3,b =-5,c =-2,b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x =-(-5)±492×3=5±76,∴x 1=2,x 2=-13. (3)a =4,b =3,c =--4ac =32-4×4×(-2)=41>=-3±412×4=-3±418.∴x 1=-3+418,x 2=-3-418 . (4)将原方程化为一般形式,得2x 2-3x -2=0.∵a =2,b =-3,c =-2,b 2-4ac =(-3)2-4×2×(- 2)=11>0,∴x =3±1122 =6±224.∴x 1=6+224,x 2=6-224.

中考数学一元二次方程知识点总结

中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±?=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方 程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式:

中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.解方程: 2212x x 6x 9-=-+() 【答案】124x x 23 ==-, 【解析】试题分析:先对方程的右边因式分解,直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析:因式分解,得 2212x x 3-=-()() 开平方,得 12x x 3-=-,或12x x 3-=--() 解得124x x 23 ==-, 2.已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. (1)当m 取什么值时,方程有两个不相等的实数根; (2)当4m =时,求方程的解. 【答案】(1)当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根;(2)134 x +=, 234 x = . 【解析】 【分析】 (1)方程有两个不相等的实数根,>0?,代入求m 取值范围即可,注意二次项系数≠0; (2)将4m =代入原方程,求解即可. 【详解】 (1)由题意得:24b ac ?=- =()2 2404m m m +->,解得1m >-. 因为0m ≠,即当1m >-且0m ≠时,方程有两个不相等的实数根. (2)把4m =带入得24610x x -+=,解得1x = ,2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解,熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3.某社区决定把一块长50m ,宽30m 的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴

影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ,空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,当绿化区较长边x 为何值时,活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积=矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程,可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ,则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍),213x =. ∴当13x m =时,活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题,确定等量关系是关键,本题计算量大,要细心. 4.某水果店销售某品牌苹果,该苹果每箱的进价是40元,若每箱售价60元,每星期可卖180箱.为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:若售价每降价1元,每星期可多卖10箱.设该苹果每箱售价x 元(40≤x ≤60),每星期的销售量为y 箱. (1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润达到3570元? (3)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780;(2) 57;(3)当售价为59元时,利润最大,为3610元 【解析】 【分析】 (1)根据售价每降价1元,每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, (2)解一元二次方程即可求解, (3)表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解:(1)∵售价每降价1元,每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元(40≤x≤60),则y=180+10(60-x )=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得:

最新八年级下数学一元二次方程练习题

艾迪教育《一元二次方程》练习题 一元二次方程的概念 1、下列各方程中,不是一元二次方程的是( ) A 、01232=++y y B 、 m m 31212-= C 、032611012=+-p p D 、0312=+-x x 2、若0132 2=-+-p x px 是关于x 的一元二次方程则( ) A 、p=1 B 、p>0 C 、p ≠0 D 、p 为任意实数 3、把一元二次方程)(5))((22x a a x a x a ax -=--+化成关于x 的一般形式是 。 4、一元二次方程6275)3(2-=+--mx m mx x m 中,二次项系数为 ;一次项为 ;常数项为 ; 5、把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式,则a 、b 、c 的值分别是( ) A 10,3,1- B 10,7,1- C 12,5,1- D 2,3,1 6、若(b - 1)2+a 2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有( ) (A ) ax 2+5x – b=0(B ) (b 2 – 1)x 2+(a+4)x+ab=0 (C )(a+1)x – b=0 (D )(a+1)x 2 – bx+a=0 7、下列方程中,不含一次项的是( ) (A )3x 2 – 5=2x (B ) 16x=9x 2(C )x(x –7)=0 (D )(x+5)(x-5)=0 8、一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为: ,二次项系 数为: ,一次项系数为: ,常数项为: 。

9、关于x 的方程023)1()1(2 =++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程;当 m 时为一元二次方程。 10、当m 时,方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程,当m 时,上 述方程是一元二次方程。 11、若方程mx 2+3x -4=3x 2是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 . 12、关于x 的一元二次方程4)7(3)3(2-+=-y y y 的一般形式是 ;二 次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 ; 13、下列方程中,属于一元二次方程的是( ) 14、方程()()223210x x x --++=的一般形式是( ) 2222 x -5x+5=0 x +5x-5=0 x +5x+5=0 x +5=0 A B C D 、、、、 一元二次方程的解法 1、已知x=2是一元二次方程022 32=-a x 的一个解,则12-a 的值( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2、一元二次方程)1(5)1(-=-x x x 的解是( ) A 、1 B 、5 C 、1或5 D 、无解 222 21 320 B 2x +y-1=0 C x 00 D x x A x -+==、、、、

专题:一元二次方程的八种解法(后附答案)【精品】

专题:一元二次方程的八种解法 方法1 形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)时,用直接开平方法求解用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤: (1)看:看是否符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式; (2)化:对于不符合x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式; (3)求:应用平方根的意义,将一元二次方程化为两个一元一次方程求解. 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-25=0; (2)4x2=1; (3)81x2-25=0; (4)(2y-3)2-64=0; (5)3(x+1)2=1 3 ; (6)(3x+2)2=25; (7)(x+1)2-4=0; (8)(2-x)2-9=0.

方法2 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解用配方法解一元二次方程的“五步法” (1)移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项. (2)化1:当方程的二次项系数不为1时,在方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. (3)配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把原方程化成(x+n)2=p的形式. (4)开方:若p≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程;若p<0,则原方程无解. (5)求解:解所得到的一元一次方程,求出原方程的解. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-2x-2=0; (2)x2-10x+29=0; (3)x2+2x=2; (4)x2-6x+1=2x-15;

3.用配方法解下列方程: (1)3x 2 +6x -5=0; (2)12 x 2-6x -7=0. (3)x 2 +16x -13=0; (4)2x 2-3x -6=0; 方法3 能化成形如(x+a )(x+b )=0时,用因式分解法求解 用因式分解法解一元二次方程的“四步法” (“右化零,左分解,两因式,各求解”) 4.用因式分解法解下列方程: (1)x 2-8x =0; (2)5x 2+20x +20=0;

最新中考数学一元二次方程试题及答案

中考数学一元二次方程试题 一、选择题 1、一元二次方程2 210x x --=的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根 2、若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根,则实数m 的取值范围是( ) A .m-1 C .m>l D .m<-1 3、一元二次方程x 2+x +2=0的根的情况是( ) A .有两个不相等的正根 B .有两个不相等的负根 C .没有实数根 D .有两个相等的实数根 4、用配方法解方程2 420x x -+=,下列配方正确的是( ) A .2 (2) 2x -= B .2 (2) 2x += C .2 (2) 2x -=- D .2 (2)6x -= 5、已知函数 2y ax bx c =++的图象如图(7)所示,那么关于 x 的方程 220ax bx c +++=的根的情况是( ) A .无实数根 B .有两个相等实数根 C .有两个异号实数根 D .有两个同号不等实数根 6、(2007广州)关于x 的方程2 0x px q ++=的两根同为负数,则( ) A . 0p >且q >0 B .0p >且q <0 C .0p <且q >0 D .0p <且q <0 7、若关于x 的一元二次方程2 2 430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为( )(A )-1或 34 (B )-1 (C )3 4 (D )不存在 8、下列关于x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) (A )x 2+4=0 (B )4x 2-4x +1=0 (C )x 2+x +3=0 (D )x 2+2x -1=0 9、某商品原价200元,连续两次降价a %后售价为148元,下列所列方程正确的是( ) A :200(1+a%)2=148 B :200(1-a%)2=148 C :200(1-2a%)=148 D :200(1-a 2%)=148 10、(2007湖北荆门)下列方程中有实数根的是( ) (A )x 2+2x +3=0 (B )x 2+1=0 (C )x 2+3x +1=0 (D )1 11 x x x = -- 11、已知关于x 的一元二次方程2 2x m x -= 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ) A . m >-1 B . m <-2 C .m ≥0 D .m <0 12、(2007湖北武汉)如果2是一元二次方程x 2=c 的一个根,那么常数c 是( )。 A 、2 B 、-2 C 、4 D 、-4 二、填空题 1、已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ,则=+21x x 2、方程 ()412 =-x 的解为 。 图(7) x y 0 3 -

一元二次方程的四种解法

龙文教育个性化辅导教案提纲教师:陈燕玲学生:年级九日期: 星期: 时段: 课题一元二次方程的概念及解法 学情分析 教学目标与考点分析1.掌握一元二次方程的概念及其一般形式,能指出一元二次方程的各项及其系数。2 能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 教学重点难点教学重点: 掌握常用四种一元二次方程的解法。教学难点: 灵活选用适当方法解一元二次方程 教学方法讲解法合作探究法 教学过程 一、一元二次方程的概念: 问题(1)有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形,那么这个正方形的边长是多少? 如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是________,宽是_____,根据题意,得:_______.整理,得:________. 归纳: (1)只含一个未知数x;(2)最高次数是2次的;(3)?整式方程. 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项. 例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2.将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.

初二数学一元二次方程的解法练习题

一元二次方程解法训练 1.用直接开平方法解下列方程: (1)25(21)180y -=; (2) 21(31)644 x +=; (3)26(2)1x +=; 2.用配方法解下列方程 (1)210x x --=; (2)23920x x -+=. (3)2310y y ++=. 3. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式,所得的方程是 . 4. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ,2x = . 5. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 6. 用适当的方法解方程 (1)23(1)12x +=; (2)2 410y y ++=; (3)2884x x -=; 7. 用配方法证明: (1)21a a -+的值恒为正; (2)2982x x -+-的值恒小于0. 8. 已知正方形边长为a ,面积为S ,则( ) A.S = B.a = C.S 的平方根是a D.a 是S 的算术平方根 9. 解方程23270x +=,得该方程的根是( ) A.3x =± B.3x = C.3x =- D.无实数根 10. x 取何值时,2x -的值为2-? 因式分解法

2.下列方程4x 2-3x -1=0,5x 2-7x +2=0,13x 2 -15x +2=0中,有一个公共解是( ) A ..x =21 B .x =2 C .x =1 D .x =-1 3.方程5x(x +3)=3(x +3)解为( ) A .x 1=53,x 2=3 B .x =53 C .x 1=-53,x 2=-3 D .x 1=5 3,x 2=-3 4.方程(y -5)(y +2)=1的根为( ) A .y 1=5,y 2=-2 B .y =5 C .y =-2 D .以上答案都不对 5.方程(x -1)2-4(x +2)2=0的根为( ) A .x 1=1,x 2=-5 B .x 1=-1,x 2=-5 C .x 1=1,x 2=5 D .x 1=-1,x 2=5 6.一元二次方程x 2+5x =0的较大的一个根设为m ,x 2-3x +2=0较小的根设为n ,则m +n 的值为( ) A .1 B .2 C .-4 D .4 7.已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程x 2-16x +55=0的一个根,则第三边长是( ) A .5 B .5或11 C .6 D .11 8.方程x 2-3|x -1|=1的不同解的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 9.方程t(t +3)=28的解为_______. 10.方程(2x +1)2+3(2x +1)=0的解为__________. 11.方程(2y +1)2+3(2y +1)+2=0的解为______. 12.关于x 的方程x 2+(m +n)x +mn =0的解为______. 13.方程x(x -5)=5 -x 的解为__________. 16.已知x 2+3xy -4y 2=0(y ≠0),试求 y x y x +-的值. 17.已知(x 2+y 2)(x 2-1+y 2)-12=0.求x 2+y 2的值. 18.已知x 2+3x +5的值为9,试求3x 2 +9x -2的值. 公式法 1.用公式法解方程4x 2-12x=3,得到( ). A . x= B . x= C . x= D . x= 2.(m 2-n2)(m 2-n 2-2)-8=0,则m 2-n 2 的值是( ). A .4 B .-2 C .4或-2 D .-4或2 3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是________,条件是________. 4.当x=______时,代数式x 2-8x+12的值是-4.

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