2017年高考数学试题分项版—数列(解析版)

2017年高考数学试题分项版—数列（解析版）

一、选择题

1．(2017·浙江，6)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

1．【答案】C

【解析】方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，

∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ，

∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .

若d ＞0，则21d ＞20d,10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，

即S 4＋S 6＞2S 5.

若S 4＋S 6＞2S 5，则10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，

即21d ＞20d ，

∴d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充分必要条件．

故选C.

方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5?S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)?a 6＞a 5?a 5＋d ＞a 5?d ＞0. ∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充分必要条件．

故选C.

2．(2017·全国Ⅰ理，4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

2．【答案】C

【解析】设{a n }的公差为d ， 由????? a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得????? (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，

解得d ＝4.故选C.

3．(2017·全国Ⅰ理，12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的

两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

3．【答案】A

【解析】设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推．则

第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2

. 由题意知，N >100，令n (1＋n )2

>100?n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后． 第n 组的各项和为1－2n

1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2

－n ＝2n ＋1－2－n . 设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2

项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n

＋3)?n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2

＋5＝440.故选A. 4．(2017·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏 4．【答案】B

【解析】设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，

则由题意知S 7＝381，q ＝2，

∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2

＝381，解得a 1＝3.故选B. 5．(2017·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )

A ．－24

B ．－3

C ．3

D ．8

5．【答案】A

【解析】由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，

由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2.

所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2

＝－24.

故选A.

二、填空题

1．(2017·江苏，9)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634

，则a 8＝________.

1．【答案】32

【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，

则????? a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得?????

a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝14

×27＝25＝32 2．(2017·全国Ⅱ理，15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则

11n k k S ==∑________. 2．【答案】2n n ＋1

【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，则

由????? a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得?????

a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2

， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2???

?1n －1n ＋1. ∴11n k k S ==∑1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1

S n ＝2???

?1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2????1－1n ＋1＝2n n ＋1.

3．(2017·全国Ⅲ理，14)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.

3．【答案】－8

【解析】设等比数列{a n }的公比为q .

∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，

∴a 1(1＋q )＝－1，①

a 1(1－q 2)＝－3.②

②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.

∴a 1＝1，

∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.

4．(2017·北京理，10)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2

＝________.

4．【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ，

得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3

＝3， 由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1

＝－8， ∴q ＝－2.

∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)

＝1. 三、解答题

1．(2017·全国Ⅰ文，17)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．

1．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得?????

a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6， 解得q ＝－2，a 1＝－2.

故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .

(2)由(1)可得

S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋

13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43

＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋

23 ＝2????－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．

2．(2017·全国Ⅱ文，17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.

(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；

(2)若T 3＝21，求S 3.

2．解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，

则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －

1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①

(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②

联立①和②解得????? d ＝3q ＝0(舍去)，?????

d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －

1. (2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.

解得q ＝－5或q ＝4.

当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.

当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.

3．(2017·全国Ⅲ文，17)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列????

??a n 2n ＋1的前n 项和． 3．解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，

故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，

两式相减，得(2n －1)a n ＝2，

所以a n ＝22n －1

(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，满足上式，

所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1

. (2)记????

??a n 2n ＋1的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1

， 则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1

. 4．(2017·北京文，15)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.

4．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .

因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，

解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.

(2)设等比数列{b n }的公比为q ，

因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，

所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －

1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12

. 5．(2017·天津文，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．

5．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .

由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.

而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝－3或q ＝2.

又因为q ＞0，所以q ＝2.所以b n ＝2n .

由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.①

由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②

联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .

(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .

由a 2n ＝6n －2，得

T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，

2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋

1. 上述两式相减，得

－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋

1 ＝12×(1－2n )1－2

－4－(6n －2)×2n ＋1 ＝－(3n －4)2n ＋

2－16， 所以T n ＝(3n －4)2n ＋

2＋16. 所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋

2＋16. 6．(2017·山东文，19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列????

??b n a n 的前n 项和T n .

6．解 (1)设{a n }的公比为q ，

由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，

又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，

所以a n ＝2n .

(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2

＝(2n ＋1)b n ＋1，

又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，

所以b n ＝2n ＋1.

令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

＝32＋522＋723＋…＋2n －12

n 1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12

n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋????12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12

n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n . 7．(2017·浙江，22)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *)．

证明：当n ∈N *时，

(1)0＜x n ＋1＜x n ；

(2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12

； (3)12n －1≤x n ≤12

n －2. 7．证明 (1)用数学归纳法证明x n ＞0.

当n ＝1时，x 1＝1＞0.

假设n ＝k 时，x k ＞0，

那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，

则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，与假设矛盾，

故x k ＋1＞0，

因此x n ＞0(n ∈N *)．

所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，

因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *)．

(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，

x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)．

记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)．

f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1

＋ln ()1＋x ＞0(x ＞0)， 函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，

因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，

故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12

(n ∈N *)． (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1，

所以x n ≥12

n －1. 由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2???

?1x n －12＞0， 所以1x n －12≥2???

?1x n －1－12≥…≥2n －1????1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤12

n －2. 综上，12n －1≤x n ≤12

n －2(n ∈N *)． 8．(2017·江苏，19)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．

(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；

(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．

8．证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，

则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，

a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d

＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，

所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，

因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．

(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，

当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①

当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .②

由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③

a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④

将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，

所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′.

在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，

所以a 2＝a 3－d ′，

在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，

所以a 1＝a 3－2d ′，

所以数列{a n }是等差数列．

9．(2017·北京理，20)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．

(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；

(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c n n

>M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．

9．(1)解：c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，

c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，

c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.

当n ≥3时，

(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0，

所以b k －na k 关于k ∈N *单调递减．

所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n .

所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1，

所以{c n }是等差数列．

(2)证明：设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，

则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．

所以c n ＝?????

b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1. ①当d 1＞0时，

取正整数m ＞d 2d 1

，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2， 因此，c n ＝b 1－a 1n ，

此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．

②当d 1＝0时，对任意n ≥1，

c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{

d 2,0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)． 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列．

③当d 1＜0时，

当n ＞d 2d 1

时，有nd 1＜d 2， 所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n

＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n

≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.

对任意正数M ，

取正整数m ＞max ?

?????M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c n n

＞M . 10．(2017·天津理，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.

(1)求{a n }和{b n }的通项公式；

(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．

10．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2， 所以q 2＋q －6＝0.

又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n .

由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8①

由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16②

联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .

(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，③

4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，④ ③－④，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1 ＝12×(1－4n )1－4

－4－(3n －1)×4n ＋1 ＝－(3n －2)×4n ＋

1－8，

得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83

. 所以，数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83

. 11．(2017·山东理，19)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.

(1)求数列{x n }的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .

11．解 (1)设数列{x n }的公比为q .

由题意得?????

x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2. 所以3q 2－5q －2＝0，

由已知得q ＞0，

所以q ＝2，x 1＝1.

因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －

1. (2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －

1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，

由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2

×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，② ①－②得

－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －

1 ＝32＋

2 1－2n －

1 1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.