最新年挑战中考数学压轴题(全套)

第一部分函数图象中点的存在性问题

§1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题

第二部分图形运动中的函数关系问题

§2．1 由比例线段产生的函数关系问题

第三部分图形运动中的计算说理问题

§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题

第四部分图形的平移、翻折与旋转

§4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题

课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两

边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE

AC DF

=和

AB DF

AC DE

=两种情况列方程．

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．

如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？

我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．

图1 图1 图2

例 1 湖南省衡阳市中考第28题

二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；

（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；

（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

动感体验 请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P

运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物

线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．

思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．

2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．

3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形

是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．

图文解析

（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．

代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．

所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．

（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．

由于S △AOP ＝1()2P OA y ?-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2

P OC x ?-＝－3x ，S △AOC ＝9，所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24

x -++． 所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274

．

图3 图4 图5 图6

（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．

由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．

如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．

①如图4，当∠ACD ＝90°时，

OA OC EC ED =．所以331

m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ．

②如图5，当∠ADC ＝90°时，

FA FD ED EC =．所以421m m =．解得m =

此时2DA FD DC EC m

===32OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．

考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．

由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－

6x ．因为△P AH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以

S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x 2－6x )＝23273()24

x -++．

例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题

如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P

沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y （1）求AD 的长；

（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角

形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不

存在，请说明理由；图1

（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S ＝S 1＋

S 2，求S 的最小值. 动感体验

请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的

运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S

有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已． 思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．

2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分

线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为

自变量，求S 的函数关系式．图文解析

（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．

在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝AD ＝

（2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角

三角形．①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8．

所以AP

AD PC PB APD 与△PCB 不相似．

图2 图3 图4

②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．

所以AP

AD APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ． 综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，

那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平

分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那

么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，

FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3

m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π?

?++-+-????＝2(73285)3m m π

-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137

π．

图5 图6

考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．

问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．

这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．

问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？

如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．

此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3

m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式． 例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题

如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c

经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运

动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 个单位的速度匀速运动，连

结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；

（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点

F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；

（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以

B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请

求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验

请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有

两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与

△BOP 有一次机会相似．思路点拨

1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直

角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据

PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两

种情况讨论．图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．

将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=??

=? 解得2,3.b c =??=?

所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．

（2）在△APQ 中，∠P AQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：

①当∠PQA ＝90°时，AP AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．

②当∠QP A ＝90°时，AQ AP (3－t )，得t ＝1.5（如图3）．

图2 图3图4 图5

（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．

所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－

(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ．因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，

或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．

（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．

由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝．

由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM

所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能：

①当

BM OB

BQ OP =3t =．解得94t =（如图5）．

②当BM OP BQ OB =3

t =．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →

E 方向，将点Q 向上平移，得

F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或

t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题

课前导学 我们先回顾两个画图问题：

1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什

么？2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨

迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C ．

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得

解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表

示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2

AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那

么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

图1 图2 图3 图1

例 9 2014年长沙市中考第26题

如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)

和1)16

两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)． （1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P

与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．

动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验

到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．

思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．

2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN

和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．

图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．

将1)16

代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为21y x =，设点P 的坐标为21(,)4

x x ．

已知A (0, 2)，所以PA =214

x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214

x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．

（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．

在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416

PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：如图3，当AM ＝AN

时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．

图2 图3图4 图5

②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝

此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444

x ===+

如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为4+

③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝

此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444

x ===-

如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为4-

图6 图7

考点伸展如果点P 在抛物线214

y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：

设点P 的坐标为21(,)4

x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x =+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114

x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切． 例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题

如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物

线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标

分别为(10, 0)和1824(,)55

-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）

求抛物线解析式及顶点坐标；

（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M

作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段

ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结

论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B

作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时

恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图1

动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，

△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，

△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．

思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作

铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM

是直角三角形EAF 斜边上的高． 4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条

边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．

图文解析（1）直线BC 的解析式为31542

y x =-．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=??-．解得524

a =．

所以2255255125(10)(5)

2424122424

y x x x x x =

-=-=--．抛物线的顶点为125(5,)24-．（3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．

所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．

所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得

MA ME MF MA

=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．

图2

（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45

，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．

②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013

t =． ① 如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．

图3 图4 图5 图6

考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．

如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位

线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．

例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题

在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2

－(m ＋n )x ＋mn （m ＞n ）与x 轴相交于A 、B 两点（点

A 位于点

B 的右侧），与y 轴相交于点

C ．（1）若m ＝2，n ＝1，求A 、B 两点的坐标；

（2）若A 、B 两点分别位于y 轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB 的大小；

（3）若m ＝2，△ABC 是等腰三角形，求n 的值．动感体验

请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A 在x 轴正

半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），

拖动点B 在x 轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，

等腰三角形ABC 有4种情况．思路点拨

1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m ，n 表示点A 、B 、C 的坐标．

2．第（2）题判定直角三角形ABC ，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．

3．第（3）题讨论等腰三角形ABC ，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程． 图文解析（1）由y ＝x 2－(m ＋n )x ＋mn ＝(x －m )(x －n )，且m ＞n ，点A 位于点B 的右侧，

可知A (m , 0)，B (n , 0)．若m ＝2，n ＝1，那么A (2, 0)，B (1, 0)．．

（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分

别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB OA OC

=．

所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．

讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，

BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得

4

3

n=-（如图2）．

②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．

当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得n=（如图4），或n=（如图5）．

图1 图2 图3图4 图5

考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．

由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．

由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，

BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．

例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题

如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

图1 图2 图3 图4 动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以

体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．

思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．

2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．

图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45

． 作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ?＝13(5)25

t t -?＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158

． （2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5

t -． 如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ． 解方程4424(5)5t t ??-=?--????，得2013t =．（3）等腰三角形APQ 存在三种情况： ①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52

t =

．②如图6，当P A ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013

t =．如图7，当QA ＝QP

时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=得2513t =．

图5 图6 图7图8

考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△

PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ．解方程2444(5)35t t ??-=?--????，得6023t =．

例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题

如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从

A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →

B →

C 方向运动，它们到C 点后都停止

运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；

（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；

（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出

此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）

动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ

与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．

思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．

2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．

3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．

图文解析

（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．

如图2，当点Q在AB上时，作BD//PQ交AC于点D，那么

2

2 AB AQ t

AD AP t

===．

所以AD＝5．所以CD＝3．

如图3，当点Q在BC上时，

162

2

8

CQ t

CP t

-

==

-

．

又因为

6

2

3

CB

CD

==，所以

CQ CB

CP CD

=．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．

在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD

＝．所以PQ

的最大值是．

图1图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15．

由△AQP∽△ABD，得2

()

AQP

ABD

S AP

S AD

=

△

△

．所以S＝S△AQP＝2

15()

5

t

?＝2

3

5

t．

②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24．

因为S△CQP＝

1

2

CQ CP

?＝

1

(162)(8)

2

t t

--＝2

(8)

t-，

所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．

（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成为等腰三角形．当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t．如图2，由QP//BD，得

QP AP

BD AD

=

5

t

=

．所以

5

QP=．如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝

6

5

t，AH＝

8

5

t．在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ

分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）①当PC＝PQ

时，解方程8t-=

，得10

t=≈3.4（如图5所示）．②当QC＝QP

=．整理，得2

111283200

t t

-+=．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得

40

11

t=≈3.6（如图6所示），或t＝8（舍去）．③当CP＝CQ

时，8t-=2

5160

t t

-=．解得

16

5

t=＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）．

综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC是等腰三角形．

图5 图6 图7图8 图9

考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：

①如图8，当点Q在AB上时，PQ．

当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．②如图9，当点Q在BC上时，PQ

)t-．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ

的最大值为．综上所述，PQ的最大值为．

§1．3 因动点产生的直角三角形问题

课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．

图1 图2 图3图4 如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．

如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么34

1

m

m

-=．

这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．

例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题

如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数

的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△P AA ′与△P ′BB ′的面积之比．

图1 图2图3 图4 动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P 在抛物线E 1上运动，可以体验到，点P 始终是线段OP ′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB ′有两个．

思路点拨1．判断点P 是线段OP ′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P 、P ′的坐标．2．分别求线段AA ′∶BB ′，点P 到AA ′的距离∶点P ′到BB ′的距离，就可以比较△P AA ′与△P ′BB ′的面积之比．

图文解析（1）当x ＝1时，y ＝x 2＝1，所以A (1, 1)，m ＝1．

设抛物线E 2的表达式为y ＝ax 2，代入点B (2,2)，可得a ＝12．所以y ＝12

x 2． （2）点Q 在第一象限内的抛物线E 1上，直角三角形QBB ′存在两种情况：

①如图3，过点B 作BB ′的垂线交抛物线E 1于Q ，那么Q (2, 4)．

②如图4，以BB ′为直径的圆D 与抛物线E 1交于点Q ，那么QD ＝12

BB '＝2．

设Q (x , x 2)，因为D (0, 2)，根据QD 2＝4列方程x 2＋(x 2－2)2＝4．解得x ＝此时Q ． （3）如图5，因为点P 、P ′分别在抛物线E 1、E 2上，设P (b , b 2)，P ′(c ,

212c )． 因为O 、P 、P ′三点在同一条直线上，所以P PM N OM ON ='，即2212c b b c

=． 所以c ＝2b ．所以P ′(2b , 2b 2)．如图6，由A (1, 1)、B (2,2)，可得AA ′＝2，BB ′＝4．

由A (1, 1)、P (b , b 2)，可得点P 到直线AA ′的距离PM ′＝b 2－1．

由B (2,2)、P ′(2b , 2b 2)，可得点P ′到直线BB ′的距离P ′N ′＝2b 2－2．

所以△P AA ′与△P ′BB ′的面积比＝2(b 2－1)∶4(2b 2－2)＝1∶4．

考点延伸第（2）中当∠BQB ′＝90°时，求点Q (x , x 2)的坐标有三种常用的方法：

方法二，由勾股定理，得BQ 2＋B ′Q 2＝B ′B 2．所以(x －2)2＋(x 2－2)2＋(x ＋2)2＋(x 2－2)2＝42． 方法三，作QH ⊥B ′B 于H ，那么QH 2＝B ′H ·BH ．所以(x 2－2)2＝(x ＋2) (2－x )．

图5 图6图1 图2

例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题

如图1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于

点C ，连结BC ．动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动，动点Q 个单位长度的速度从点B 向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，连结PQ ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ 为直角三角形时，求t 的值；

（3）如图2，当t ＜2时，延长QP 交y 轴于点M ，在抛物线上是否存在一点N ，使得PQ 的中点恰为MN 的中点，若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由． 动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，△BPQ 有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N 有一次机会可以落在抛物线上． 思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ ．

2．如果PQ 的中点恰为MN 的中点，那么MQ ＝NP ，以MQ 、NP 为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．．

图文解析（1）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，所以

y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3．（2）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，可得AB ＝4，∠ABC

＝45°．在△BPQ 中，∠B ＝45°，BP ＝4－t ，BQ t ．直角三角形BPQ 存在两种情况：

①当∠BPQ ＝90°时，BQ t (4－t )，得t ＝2（如图3）．

②当∠BQP ＝90°时，BP ．解方程4－t ＝2t ，得t ＝43

（如图4）．

图3 图4 图5

（3）如图5，设PQ 的中点为G ，当点G 恰为MN 的中点时，MQ ＝NP ．

作QE ⊥y 轴于E ，作NF ⊥x 轴于F ，作QH ⊥x 轴于H ，那么△MQE ≌△NPF ．

由已知条件，可得P (t －1, 0)，Q (3－t ,－t )．由QE ＝PF ，可得x Q ＝x N －x P ，即3－t ＝x N －(t －1)．解得x N ＝2．将x ＝2代入y ＝(x ＋1)(x －3)，得y ＝－3．所以N (2,－3)．

由QH //NF ，得QH PH NF PF

=，即(3)(1)32(1)t t t t ---=--．整理，得t 2－9t ＋12＝0．解得

t =．因为t ＜2，所以取t =． 考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122P Q

G x x t t x +-+-=

==． 所以x N ＝2x G ＝2．§1．4 因动点产生的平行四边形问题

课前导学我们先思考三个问题：1．已知A 、B 、C 三点，以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对边AB 与DC 平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD 的对角线互相平分？

图1 图2 图3图4

如图1，过△ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D ． 如图2，已知A (0, 3)，B (－2, 0)，C (3, 1)，如果四边形ABCD 是平行四边形，怎样求点D 的坐标呢？点B 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A 重合，因为BA 与CD 平行且相等，所以点C (3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D (5, 4)．

如图3，如果平行四边形ABCD 的对角线交于点G ，那么过点G 画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A 、C 到这条直线的距离相等，点B 、D 到这条直线的距离相等．

关系式x A ＋x C ＝x B ＋x D 和y A ＋y C ＝y B ＋y D 有时候用起来很方便．我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．如图4，点A 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3在x 轴上方的一个动点，AB ⊥x 轴于点B ，线段AB 交直线y ＝x －1于点C ，那么点A 的坐标可以表示为(x ,－x 2＋2x ＋3)， 点C 的坐标可以表示为(x , x －1)，线段AB 的长可以用点A 的纵坐标表示为AB ＝y A ＝－x 2＋

2x ＋3，线段AC 的长可以用A 、C 两点的纵坐标 表示为AC ＝y A －y C ＝(－x 2＋2x ＋3)－(x －1)＝－x 2＋x ＋2． 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离． 例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题

如图1，抛物线经过A (1, 0)、B (5, 0)、C 10(0,)3

三点．设点E (x , y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E (x , y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．

动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E 运动，可以体验到，当点E 运动到抛物线的顶点时，S 最大．当点E 运动到OB 的垂直平分线上时，四边形OEBF 恰

好是正方形．思路点拨1．平行四边形OEBF 的面积等于△OEB 面积的2倍．

2．第（3）题探究正方形OEBF ，先确定点E 在OB 的垂直平分线上，再验证EO ＝EB ． 图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点，设y ＝a (x －1)(x －5)．

代入点C 10(0,

)3，得1053a =．解得23

a =．所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4333

y x x x x =--=-+．（2）因为S ＝S 平行四边形OEBF ＝2S △OBE ＝OB ·(－y E ) ＝22105(4)33x x --+＝210(65)3x x --+＝21040(3)33

x --+．所以当x ＝3时，S 取得最大值，最大值为403

．此时点E 是抛物线的顶点（如图2）．（3）如果平行四边形OEBF 是正方形，那么点E 在OB 的垂直平分线上，且EO ＝EB ．当x ＝52

22355(1)(5)()33222y x x =--=??-=-．此时E 55(,)22

-．如图3，设EF 与OB 交于点D ，恰好OB ＝2DE ．所以△OEB 是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF 是正方形．

所以当平行四边形OEBF 是正方形时，E 5

5(,)22-、F 55(,)22

．

图1 图2 图3图4 图5 考点伸展既然第（3）题正方形OEBF 是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF 有几个呢？如图4，如果平行四边形OEBF 为矩形，那么∠OEB ＝90°．根据EH 2＝HO ·HB ，列方程2

2(1)(5)(5)3x x x x ??---=-????．或者由DE ＝12OB ＝52，根据DE 2＝254，列方程2

25225()(1)(5)234x x x ??-+---=????

．这两个方程整理以后都是一元三次方程4x 3－28x 2＋53x －20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．事实上，这个方程可以因式分解，51(4)()()022x x x ---=．如图3，x ＝52；如图4，x ＝4；如图5，x ＝12

，但此时点E 在x 轴上方了．这个方程我们也可以用待定系数法解：设方程的三个根是52

、m 、n ，那么4x 3

－28x 2＋53x －20＝54()()()2

x x m x n ---．根据恒等式对应项的系数相等，得方程组441028,1010453,1020.m n m n mn mn ++=??++=??=?解得4,1.2m n =???=?? 例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题

如图1，直线y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y ＝a (x －2)2＋k 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．（1）求a ，k 的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求点Q 的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】图文解析（1）由y ＝－3x ＋3，得A (1, 0)，B (0, 3)．

将A (1, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝a (x －2)2＋k ，得0,4 3.

a k a k +=??+=?解得a ＝1，k ＝－1．

（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x ＝2，设点Q 的坐标为(2, m )．

已知A (1, 0)、B (0, 3)，根据QA 2＝QB 2，列方程12＋m 2＝22＋(m －3)2．

解得m ＝2．所以Q (2, 2)．（3）点A (1, 0)关于直线x ＝2的对称点为C (3, 0)，AC ＝2． 如图3，如果AC 为正方形的边，那么点M 、N 都不在抛物线或对称轴上．

如图4，当AC 为正方形的对角线时，M 、N 中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－1) ． 因为对角线AC ＝2

图1 图2 图3 图4

考点伸展如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？

①如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,－1)．

②如图5，如果AC为边，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以点M的横坐标为4或0．

此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)．第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那

么符合条件的点Q有几个？①如图2，当QA＝QB时，Q(2, 2)．②如图6，当BQ＝BA

时，以B为圆心，BA为半径的圆与直线x＝2有两个交点．根据BQ2＝10，列方程22＋(m

m=Q(2,3或(2,3．

－3)2＝10，得3

③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)．

图5 图6 图7

例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题

准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD 上的点M，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D可以改变矩形ABCD的形状，可以体验到，当EM与FN在同一条直线上时，四边形BFDE是菱形，此时矩形的直角被三等分．思路点拨1．平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形．2．如果平行四边形BFDE是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直．用这两个性质都可以解答第（2）题．图文解析（1）如图3，因为AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因为ED//BF，所以四边形BFDE是平行四边形．

图1 图2图3 图4图5 图6

（2）如图4，如果四边形BFDE 是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．

由于∠ABC ＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．所以BD ＝2AB ＝4，AE ．所以

ME ．所以S 菱形BFDE ＝2S △BDE ＝BD ·ME 考点伸展第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．还可以这样思考：证明四边形BFDE 的两组对边分别相等；

证明ED 与BF 平行且相等；证明四边形BFDE 的两组对角分别相等．

这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4． 这样其实就走了弯路，因为由∠1＝∠3，直接得到BE //FD ，根据平行四边形的定义来得快．

能不能根据BD 与EF 互相平分来证明呢？也是可以的：

如图5，设EF 与BD 交于点O ，根据“角角边”证明△EMO ≌△FNO ，得到EF 与MN 互相平分．又因为BM ＝DN ，于是得到EF 与BD 互相平分．第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30°的角．我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：如图6，如果四边形BFDE 是菱形，那么对角线EF ⊥BD ，此时垂足M 、N 重合．因此BD ＝2DC ．这样就得到了∠5＝30°．事实上，当四边形BFDE 是菱形时，矩形

ABCD 被分割为6个全等的直角三角形．由AB ＝2，得AD ＝ABCD 的面积为

23，所以菱形面积为3． §1．5 因动点产生的面积问题

课前导学面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：

第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．

第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．

图1 图2 图3图4 图5 图6 计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比． 例 32 湖南省常德市中考第25题

如图1，已知二次函数的图象过点O (0,0)、A (4，0)、B (2,)，M 是OA 的中点． （1）求此二次函数的解析式；（2）设P 是抛物线上的一点，过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q ，要使四边形PQAM 是菱形，求点P 的坐标；（3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得曲线OB ′A （B ′为B 关于x 轴的对称点），在原抛物线x 轴的上方部分取一点C ，连结CM ，CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D ，若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，这

样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于O (0,0)、A (4，0)两点，设y ＝ax (x －4)．

代入点B (2,，得4a =-．解得a =(4)y x -． （2）如图2，由A (4，0)，M 是OA 的中点，可知OA ＝4，MA ＝2，M (2, 0)． 如果四边形PQAM 是菱形，已知PQ //OA ，首先要满足PQ ＝2，再必须MP ＝2．

因为抛物线的对称轴是直线x ＝2，P 、Q 关于x ＝2对称，所以点P 的横坐标为1，故点

P 的坐标为(1,．由M (2, 0)、P (1,，可得MP ＝2．所以当点P 的坐标为(1,时，四边形PQAM 是菱形．（3）如图3，作CE ⊥x 轴于E ，作DF ⊥x 轴于F ．

我们把面积进行两次转换：如果△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，那么△MCA 的面积是△MDA 面积的3倍．而△MCA 与△MDA 是同底三角形，所以高的比CE ∶DF ＝3∶1，即y C ∶y D ＝3∶1．因此ME ∶MF ＝3∶1．设MF ＝m ，那么ME ＝3m ．

原抛物线的解析式为(4)y x =

-，所以翻折后的抛物线的解析式为(4)y x x =-．

所以D (2,)(24))m m m +++-，C (233)(234))m m m +++-．

根据y C ∶y D ＝3∶13)(234)3)(24)m m m m ??++-=++-????．

整理，得3m 2＝4．解得m =232m +=±

所以点C 的坐标为(2+（如图3），或(2-（如图4）．

图1 图2 图3 图4

考点伸展第（1）题可以设抛物线的顶点式：由点O (0,0), A (4，0)，B (2,)的坐标，可

知点B 是抛物线的顶点．可设2(2)y a x =-O (0,0)，得a = 例 33 2014年湖南省永州市中考第25题

如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标． 图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －4)．

代入点C (0, 2)，得2＝－4a ．解得1

2a =-．所以

221131325(1)(4)2()222228y x x x x x =-+-=-++=--+．顶点坐标为325()28

，． （2）如图2，已知M (m , n )，作MN ⊥x 轴于N ．由=F Q M N M Q B N

，得=4F Q n m m -．所以=4mn FQ m -． 因为抛物线的对称轴是直线32x =，所以ME ＝32()322m m -=-．由于S △MFQ ＝12

FQ MQ ?＝124mn m m ??-＝2124m n m ?-，S △MEB ＝12ME MN ?＝1(32)2

m n -， 所以当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，24m n m

-∶(32)m n -＝1∶3． 整理，得m 2＋11m －12＝0．解得m ＝1，或m ＝－12．所以点M 的坐标为(1, 3)或(－12,－88)．

图1图2 图3 图4 考点伸展第（2）题S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3，何需点M 一定要在抛物线上？

从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比

=4FQ m MN m

-与n 无关，两条底边的比=32MQ m ME m -也与n 无关．如图3，因此只要点E 与点M 关于直线x ＝32对称，点M 在直线的左侧，且点M 不在坐标轴上，就存在S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3，点M 的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．§1．6 因动点产生的相切问题

课前导学一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R 、r 、d ，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R 、r 、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．

二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．

解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和d ，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R 和d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d ＝R 列方程．

如图1，直线443

y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，圆O 的半径为1，点C 在y 轴的正半轴上，如果圆C 既与直线AB 相切，又与圆O 相切，求点C 的坐标．

“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．

假设圆C 与直线AB 相切于点D ，设CD ＝3m ，BD ＝4m ，BC ＝5m ，那么点C 的坐标为(0,4－5m )．罗列三要素：对于圆O ，r ＝1；对于圆C ，R ＝3m ；圆心距OC ＝4－5m ．

分类列方程：两圆外切时，4－5m ＝3m ＋1；两圆内切时，4－5m ＝3m －1．

把这个问题再拓展一下，如果点C 在y 轴上，那么还要考虑点C 在y 轴负半轴．