高中数学必修四三角恒等变换常考题型换
三角恒等变换常考题型分析
一选择题
1.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 2.???+?+?19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）.
A ．3
B ．33
C ．0
D ．1
3. 48cos 78sin 24cos 6sin ???的值为（ ）.
A ．161
B ．161-
C ．321
D ．8
1 4.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos
2θ的值为（ ）. A ．53- B ．53± C ．22 D ．54±
5.已知不等式()2cos 0444x x x f x m =+-≤对于任意的 566
x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.
A.m ≥
B.m ≤
C.m ≤
D.m ≤≤
二、填空题
6.已知βα,3(
,)4π∈π，5
3)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 7.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的为 . 8.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -?-?-+?+的结果是 .
三、解答题
13.已知91)2cos(-=-
βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)cos(βα+的值.
14.（1）已知α为第二象限角，且4
15sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.
（2）已知0cos 2sin =+θθ，求θ
θθ2cos 12sin 2cos +-的值.
17．已知函数2()sin()sin()cos 2
f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88
x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，5
52. （1
）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角 终边相同的角的集合}{ |2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距 离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2 2 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 * 正弦 : 余弦 & 正切 》 4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ? ?±=±?? ±=?? ±?±=??
5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα? ?=?=-=-=-???= -? 余弦二倍角公式变形： 222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=- 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
必修4三角函数所有知识点归纳归纳
《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式
弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
高中数学必修4三角函数综合测试题
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简 的基本关系式公式证明恒等式 应用 任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函 图像和性质数值求角 弧度制三角函数 和角公式应用 倍角公式 应用 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为k 360 k Z x 轴上角：k 180 k Z y 轴上角：90k 180k Z 3、第一象限角：0 k 36090k 360 k Z 第二象限角：90k 360180k 360k Z 第三象限角：180k 360270k 360k Z 第四象限角：270k 360360k 360k Z 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：0 k 36090 k 360 k Z 锐角：090小于90的角：90 5、若 为第二象限角，那么 为第几象限角？ 2 2k 2k k 2 k 2 4 2 k 0, 4 , k 1, 5 3 , 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad . 7、角度与弧度的转化： 1 0.01745 1 180 57.30 57 18 180 8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 2 3 5 2 6 4 3 2 3 4 6 9、弧长与面积计算公式 弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R 2 ，注意：这里的 均为弧度制 . 2 2 二、任意角的三角函数 P (x, y) 1、正弦： sin y x y ；余弦 cos ；正切 tan x r r r 其中 x, y 为角 终边上任意点坐标， r x 2 y 2 . 2、三角函数值对应表： 度 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 无 3 1 3 0 无 3 3 3、三角函数在各象限中的符号 第三节 三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究 高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲 常用三角恒等变形公式 和角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++= - 差角公式 sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= + 倍角公式 sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα =- 降次（幂）公式 2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222 αα ααααα-+=== 半角公式 sin 2 2α α== sin 1cos tan .21cos sin a α αα α-= =+ 辅助角公式 sin cos ),tan (0),b a b ab a ααα??+=+=≠角?的终边过点(,)a b ，特殊 地，若sin cos a b αα+=，则tan .b a α= 常用的几个公式 sin cos );4π ααα±=± sin 2sin();3 π ααα=± cos 2sin();6 π ααα±=± 题型65 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示 思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例4.33 证明 (1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=- (2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβ αβαβ +++= - 解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于 12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得 2 221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-?+ 22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ?--+--=-+ 22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ?--=-+ :cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+?+=- 证法二：利用两点间的距离公式. 如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++ 3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ???得，213.AP PP =故 高一必修4三角函数练习题 一、选择题（每题4分，计48分） 1.sin(1560)-的值为（ ） A 12 - B 1 2 C -D 2.如果1 cos()2 A π+=-，那么sin( )2 A π +=（ ） A 12 - B 1 2 C D 3.函数2 cos( )35 y x π =-的最小正周期是 （ ） A 5π B 5 2 π C 2π D 5π 4.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是 （ ） A 3π B 23π C π D 43 π 5.已知tan100k =，则sin80的值等于 （ ） A B C D 6.若sin cos αα+= tan cot αα+的值为 （ ） A 1- B 2 C 1 D 2- 7.下列四个函数中，既是(0,)2 π 上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ） A sin y x = B |sin |y x = C cos y x = D |cos |y x = 8.已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则 （ ） A a b c << B c b a << C b c a << D b a c << 9.已知1sin( )63 π α+=，则cos()3π α-的值为（ ） A 12 B 12 - C 13 D 13- 10.θ是第二象限角，且满足cos sin 2 2 θ θ -=2 θ 是 （ ）象限角 A 第一 B 第二 C 第三 D 可能是第一，也可能是第三 11.已知()f x 是以π为周期的偶函数，且[0,]2x π∈时，()1sin f x x =-，则当5 [,3]2 x ππ∈时， ()f x 等于 （ ） A 1sin x + B 1sin x - C 1sin x -- D 1sin x -+ 12.函数)0)(sin()(>+=ω?ωx M x f 在区间],[b a 上是增函数，且M b f M a f =-=)(,)(， 则)cos()(?ω+=x M x g 在],[b a 上 （ ） A 是增函数 B 是减函数 C 可以取得最大值M D 可以取得最小值M - 二、填空题（每题4分，计16分） 13.函数tan()3y x π =+的定义域为___________。 14.函数12 cos()([0,2])23 y x x ππ=+∈的递增区间__________ 15.关于3sin(2)4 y x π =+ 有如下命题，1）若12()()0f x f x ==，则12x x -是π的整数倍， ②函数解析式可改为cos3(2)4 y x π =-，③函数图象关于8 x π =- 对称，④函数图象关于 点( ,0)8 π 对称。其中正确的命题是___________ 16.若函数()f x 具有性质：①()f x 为偶函数，②对任意x R ∈都有( )()44 f x f x π π -=+ 则函数()f x 的解析式可以是：___________（只需写出满足条件的一个解析式即可） 三、解答题 17（6分）将函数1 cos( )32 y x π =+的图象作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图象 三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 三角恒等变换中的综合问题 新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简 解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。 例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一 解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。 练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值 求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。 必修四《三角函数》所有知识点、公式（必须会背） 1．终边相同的角： 与角α有相同终边的角的集合为：_______________________________． 2．象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 3．轴线角的集合 （1）终边在x 轴上的角的集合：__________________________ （2）终边在y 轴上的角的集合：__________________________ （3）终边在坐标轴上的角的集合：________________________ 4．角度制与弧度制相互换算 360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________° 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长，r 为半径） 弧长公式：l =_______ 扇形面积公式：S =________=________．扇形的周长：c = 6．任意角三角函数的的定义：1．定义：以角α顶点为原点O ， 始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系．在角α的终边上任取不同于原点O 的一点(),P x y ，设P 点与原点O 的距 离为r ()0r >，则||PO r ==则角α的三个三角函 数依次为： sin α=________，cos α=________，tan α=________ 8．三角函数值符号的判断： 当α为第________象限角时，sin 0α>；当α为第_________象限角时，sin 0α<； 当α为第________象限角时，cos 0α>；当α为第_________象限角时，cos 0α<； 当α为第________象限角时，tan 0α>；当α为第_________象限角时，tan 0α<． 三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的 题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ 数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式： sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系： sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=， 1+cot2α= cosα=， sinα= 3、两角和与差的三角函数： cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ， sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ tan（α+β）=， tan（α-β）=， 4、二倍角的三角函数： sin2α=2sinαcosα， cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1， tan2α=， sin=， cos=， tan= = = 5、万能公式： sin2α=， cos2α= 6、合一变式： asinα+bcosα =sin（α+γ）（tanγ=）7、其他公式： sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]， cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]， cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]，sinαsinβ=[cos（α+β）-cos（α-β）]，sinα+sinβ=2sin cos， sinα-sinβ=2cos sin， cosα+cosβ=2cos cos， cosα-cosβ=2sin cos 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 第一章 三角函数 一、选择题 1．已知 α 为第三象限角，则 2 α 所在的象限是( )． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限 2．若sin θcos θ＞0，则θ在( )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限 3．sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4－＝( )． A ．－ 4 3 3 B ． 4 3 3 C ．－ 4 3 D ． 4 3 4．已知tan θ＋θtan 1 ＝2，则sin θ＋cos θ等于( )． A ．2 B ．2 C ．－2 D ．±2 5．已知sin x ＋cos x ＝51 (0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．－ 4 3 B ．－ 3 4 C ． 4 3 D ． 3 4 6．已知sin α ＞sin ，那么下列命题成立的是( )． A ．若α， 是第一象限角，则cos α ＞cos B ．若α， 是第二象限角，则tan α ＞tan C ．若α， 是第三象限角，则cos α ＞cos D ．若α， 是第四象限角，则tan α ＞tan 7．已知集合A ＝{α|α＝2k π±3π2，k ∈Z }，B ＝{β|β＝4k π±3 π2，k ∈Z }，C ＝ {γ|γ＝k π± 3 π 2，k ∈Z }，则这三个集合之间的关系为( )． A ．A ?B ?C B ．B ?A ?C C ．C ?A ?B D ．B ?C ?A 8．已知cos (α＋β)＝1，sin α＝3 1 ，则sin β 的值是( )． §04． 三角函数 知识要点 １. ①与α（0°≤α<360°)终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =ｘ轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:３60°=２π 18０°=π 1°=0.０１745 1=57.３０°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1r ａd=π 180°≈57.３０°=５7°18ˊ． １°＝180 π≈０.01 ７４5(ｒad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式:211 ||22 s lr r α= =?扇形 ４、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Ｐ(x,ｙ）P 与原点的距离为ｒ,则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ; y x =αcot ； x r =αsec ；. =αcsc 5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用 两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=± 倍角公式 sin2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1=1-2sin 2α α α α2tan 1tan 22tan -= 半角公式 2 cos 12 sin αα -± =，2 cos 12 cos αα +± = α αα cos 1cos 12tan +-± ==αααα cos 1sin sin cos 1+=- 升幂公式 1+cos α=2 cos 22 α 1-cos α=2 sin 22 α 1±sin α=(2 cos 2 sin α α ±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2 cos 2 sin 2α α 降幂公式 sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2 α=1 sin α·cos α=α2sin 2 1 平方关系 sin 2α+ cos 2α=1， 商数关系 α α cos sin =tan α 人教版高中数学必修四三角函数 一．选择题（共16小题） 1．（2014?商丘二模）已知α∈（﹣，0），sin（﹣α﹣π）=，则sin（﹣π﹣α）=（） ．C ．D． 3．（2014?温州二模）已知函数f（x）=，则下列结论中正确的是（） x=）的图象关于点（ 4．（2015?河南二模）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得函数的图象向左平移个单位，则最终所得函数图象对应的解析式为（） x 5．（2015?资阳模拟）将函数的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点O对称，则φ的最小值为 ．C D． 7．（2014?漳州二模）函数的最小正周期是（） ．C 8．（2014?河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π 向右平移向左平移个单位 向右平移向左平移个单位 10．（2014?浙江模拟）与角﹣终边相同的角是（） ．C D． 14．（2014?南昌模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（） 向右平移向左平移个长度单位 向右平移向左平移个长度单位 15．（2014?荆州模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）向左平移 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 向左平移 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 16．（2014?南昌模拟）若函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到y=f（x）的图象，则（） -- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< -- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.必修4--三角函数所有知识点归纳总结
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