小学奥数第5讲 整数的拆分(含解题思路)

5、整数的拆分

【不连续加数拆分】

例1 将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有

______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？

（1992年“我爱数学”邀请赛试题）

讲析：做成的长方形，长与宽的和是

144÷2=72（厘米）。

因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，

所以，一共有36种不同的做法。

比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。

例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。

所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。

但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而

3×3=9。

所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。

而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。

例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。

（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。

因为a×2=b÷2，则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。

那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。

又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。

则c、d可取的数组有：

（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。

由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，

得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。

同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。

所以，最多有4种分法。

【连续加数拆分】

例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？

（第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题）

讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。

所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数之和。

例2 几个连续自然数相加，和能等于1991吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能，说明理由。

（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

讲析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（个）奇约数。

所以，1991可以分成几个连续自然数相加，并且有3种答案。

由1991=1×1991得：

1991=995＋996。

由1991=11×181得：

…+（80+101）

=80＋81＋……＋100＋101。