曲线簇包络线

曲线簇的包络线

设曲线簇为0),,(=c y x V ，若存在一条曲线使得该曲线处处与曲线簇中的一曲线相切则这条曲线称为曲线簇为0),,(=c y x V 的包络线。

曲线簇的求法：

显然包络线上的每一点都在曲线簇的一曲线上，仅仅是不同点对应的参数c 不同的。 设包络线为0)),(,,(=y x c y x V

则在点),(00y x 处曲线簇中对应曲线的切线斜率和包络线在此处的切线斜率相等即：

)

,()),(,,()),(,,()),(,,()),(,,(),(),,()

,,(),(000000y x y c c y x c y x V y y x c y x V x c c y x c y x V x y x c y x V y x y c y x V x c y x V y x dx dy

????+

??????+??-=????-=①

由于在同一点),(y x 中c 为同一值，因此在包络线上任意一点有： ?????????=

????=??y y x c y x V y c y x V x y x c y x V x c y x V

)),(,,(),,()),(,,(),,( 有上述条件化简①：

y c

c y x c y x V x c y x V x c

c y x c y x V y c y x V ??????=??????)),(,,(),,()),(,,(),,( 即：0),,(-),,()),(,,(=?????

???????????y c x c y x V x c y c y x V c y x c y x V 方括号中不可能保证常为0 所以保证切线斜率相等的条件表示为：0))

,(,,(=??c y x c y x V 所以包络线的方程为??

???=??=0)),(,,(0)),(,,(c y x c y x V y x c y x V 简写为??

???=??=0),,(0),,(c c y x V c y x V 注：这属于大致说明忽略了一些细节条件，上式仅仅是成为包络线的必要条件，必须要检验