俄罗斯教材《代数引论》的启迪
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）
庄瓦金
（漳州师范学院，福建，363000）
二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。
一《引论》的特色
稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。
1 继承性
[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。记得Φ.Ρ.甘特马赫尔的《矩阵论》俄文第二版也是在著者去世后出版的。看来，这里说的继承性是莫斯科学派集体继承性，这是多么伟大的继承性，它体现了俄罗斯数学家的优良品格。
2 整体性
《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。这显然对于学生的整个数学学习大有好处。其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注意了范畴论，在[4]中注意了范畴中的“态射”，这或许影响了丘维声在[7]中前言的用词。
3 权威性
《引论》的第一版译成英文，所加的译者序就显示其权威性，译者称A.И.柯斯特处金是“一位有献身精神且有成就的”，从[3~5]的著者简介：“主要从事李代数、有限群、非结合代数、上同调群、群和代数的组合理论、表示论、整数格的研究。1968年获苏联国家奖。”可见，柯斯特利金几乎涉及整个代数深刻领域的研究，从而保证了他作为莫斯科大学代数学科带头人的权威性，也保证了《引论》的权威性。这种权威除了著者的实力外，还有著者长达三十年的实践，还有著者继承莫斯科大学250年的传统。因此，这种权威是世界的，因而《引论》已译成英文、保加利亚文、西班牙文、波兰文、法文、中文。作为大学本科教材，没有这种权威性，是不可能有如此多种译本的。
4 先进性
《引论》第一卷的前言中，对第三卷有个说明：这里的代数属初等水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统。因此可以猜想：《引论》是以培养数学家为目标的。这在以后的各卷中都有明确的表露。在第一卷的第一章“代数的起源”中，在对高斯消元法作注时，提及了1969年的施特拉辛的研究，为第二卷的待解问题：施特拉辛问题作了伏笔。第一章§7的例1是费马猜想，点出了费马数的最新成果F 1945；例2是欧拉研究的一个多项式：形如n 2-n +41
的数；§7的最后的例子是“给定圆周上任意n 个点，确定由???
? ??2n 条弦划分的圆
内的区域数R n =1+???? ??2n +???
? ??4n ，则留给读者完成。由此可见，
《引论》在阐述代数起源时就把人们带进了解决数学难题的王国，为贯彻培养数学家的宗旨打下基础。
再看《引论》各卷之末，第一卷是“关于多项式的公开问题”，第二卷是“有待解决的问题”，第三卷是“未解决的问题”，都充分体现了《引论》培养数学家的宗旨。当然，《引论》没有直接这么说，但在序言中明确写到：“教科书应当成为创造性思维的推动力”。著者就是围绕某些基本问题刻意安排大量习题，并与这些猜想相串通，以培养学生的创造性思维，为未来的数学家增进数学素质的。再加上教材内容之深刻，将之综合，充分地体现了《引论》的先进性，与欧美教材相比较，这种先进性也是世界的。
二 中国的矛盾
为了从《引论》中吸收营养，这里不得不面对我们之现实。
1 文革冲击
中国的大学本科代数课程，文化大革命以前主要是高等代数，近世代数在一般高校仅选修张禾瑞著的《近世代数基础》；五十年代高代讲的是A.Γ.库洛什《高等代数教程》的内容；五、六十年代之交以来，由于苏联第一颗人造地球卫星上天的影响[8，9]，吉林大学、北京大学、复旦大学、南京大学、武汉大学、北京师大都编著出版了高代教材，中国的高等代数教材基本上与国际接轨，尤其是王湘浩、谢邦杰两先生的《高等代数》，应该说已达到较高水平，特别是1964年的修订本[10]，与A.И.柯斯特利金的三卷本的前两卷，存在着一定相似性。[10]有阐述群、环、域概念的第七章，因而接下阐述了域上向量空间及其线性变换的一般理论。为了使书中前面阐述的矩阵、多项式内容对于域上情形也适用，
[10]还在第七章§4介绍域的特征之后用两页的篇幅回顾了“关于矩阵、行列式、线性方程组以及多项式的一般理论”，这与[3]第四章§3.6的“关于线性方程组的注记”是多么的吻合。我们设想，中国的《高等代数》教材如果能在20世纪六十年代[10]的基础上巩固、发展，或许其水平也可剂身于世界之列。但是，1966年的文化大革命，高等学校受到严重冲击，抽象的数学更是受到了严重冲击，《高等代数》几乎处于消失状态。不仅如此，文革还制造了数学家之间的隔核，大大削弱了集体攻关的力量。1977年恢复高考以来，《高等代数》才从死亡中复活，元气至今难以复原。
2 市场冲击
“学好数理化，走遍天下都不怕”，这是文化大革命以前人们的口头语，可时下，在市场经济的冲击下，已消失得无影无踪，每年大学招生，不仅高考状元无一人学习数业专业，而且连数学奥赛的优胜者也基本不念数学专业，新生质量较文革前大为下降，而且女生人数的比例在逐年增加。市场经济的冲击还远不止于此。如教材、教学参考书，我们统计了1977以来出版的46种带上高等代数帽子的各种图书，习题解答类竞多达一半，而教科书性质者，大多类同，较高水平又方便学生学习的是很少很少。因此，学生基本上停滞在单一的教材上苦学，难以提高自身的学习能力。更不少学生成了习题解答的奴隶，这样一门着力培养学生创造思维能力的课程竞有不少学生在背习题解答、应付考试，年复一年的这样高师数学毕业生到中学任教，请大家想想，这对于中国后代的数学教育有多么大的危害？！
有个名牌大学教授，在国内著名出版社出了一套高代教材，还被评为国家级名师。后来由于年龄原因，他不上高代课了，这套教材在该校也不用了，其他学校充其量是作作教学参考书，于是，他在另一个出版社出的学习指导书，上册已出版多年，可下册市面上还没看到，看来这位教授感到，这么好的教材人家都不用了，学习指导书还有什么出版的价值！市场的冲击还稳函着人为的因素。一个小学老师去教经商，开了一家学生书店，专营中小学教参，可现在挂上××出版社华南片主管，工资、福利、医保比我们在座的每个教授还优，可他还有书店的收入！中国式的市场经济已严重冲击大学教学，抽象的高等代数又如何是好？
3 体制之疑
上面例子已涉及大学体制。熊丙奇先生在《教育熊视》[11]中有个标题：“大学最深刻的危机：体制化”，“官”太让人无可奈何！：有个代数教授，他的老师好不容易争取到一个出国名额，使他有机会跟一位国际代数名家读硕、读博、做博士后，回国后不久就评上教授，学校对他也十分关照，但中国的气候毕竟与欧美有异，他深知，要在国内为先，在国内一级刊物发文是自然之事，可他投这些一级刊的文章老是被退回，因此就查起审稿人的为人来了，但得到的答复是中国代数老前辈们为人极佳。于是，随着时间的流失，他想当“院士”的雄心消失了，因而寻找机会，利用民主党派参政人才之缺，离开学校去当个副厅长，这种还算真才实学者的当官之路，钻体制的漏洞，一步步走上大学领导，利用手中的权力打扮自己，为数也不少，且党内居多，而且反转过来，欺压你
这些教授，你们又怎么样？！这种现状怎不引起人们的关注！
中国实施经济改革，可教育不然。教育是在教育部的主导下进行的改革，体制问题左右一切，例如教材，鼓励老师积极性，可本科评估，教材认定的是姓“高”，像北大代数小组的《高等代数》，编著者都不好意思，第三版时加了“王萼芳、石生明修订”，可人们只认是高等教育出版社出版，不管北京大学的现实情况如何，不少学校仍然把它认定为首选教材，考研用书！在这样的体制下，丘维声退位，蓝以中日子也有担忧。前几天，蓝先生通过北大出版社理学部主任给我寄来了他的新著《高等代数学习指南》[12]，这是一本编著目的正确、阐述简洁、方便学习阅读并达到一定深广度的学习指导书，加上国家首批精品课程、北京大学的牌子，可在当今体制下，对市场、消路还是有担心。
4 环境混沌
上述表明，在当今体制下，环境受污染，已处于混沌。这类混沌的深广度如何？我们不仿来看看教育部抓的质量工程吧！此下，四年一次的“教学成果奖”评选，每年评定的“教学名师”、“精品课程”、“教学团队”，花样不少，名堂也应有尽有！我还当省政协委员时，针对其中的“名堂”曾写了个提案，教育厅可热情啊，连处长都来电话，以示重视。其中，关键的建议是各种评优应有“答辩”环节，厅里也同意了，可至今未见实施。原因何在？五颜六色，色彩交混。就说“教学成果奖”，既无发表正式论文，又无实际成果推广应用，单凭几个人七措八拼，整理出一篇“综述”，竟然可以评上省教学成果一等奖。最近试行“成果鉴定”，用一个鉴定专家的话说：问题不少(指所谓成果)，可在纸上这些都不会写，因而结论是很漂亮的。有了教学成果一等奖，随之带来的好处有“教学名师”、所“主持”的课程是省精品课程(从来不上这门课)。而且还上了政府特殊津贴，有一个获奖者，政府特殊津贴十几年前就报，可以说是纷了十几年，是评上了教学成果一等奖(其实他搞的是倒退教学)后才拿到津贴。如果能把所有获省教学成果奖的申报书及附件都在网上公开供人们浏览评议，我看有意思的东西一定不少！
至于“教学名师”，不上课、少上课的领导更容易上，只要他想评。而“精品课程”，网评为主，学校的网页慢点，你再好也没用；且单看网页，只要有钱、有权，我可以抄袭，可以找人做得漂漂亮亮的，还拍上不了？！因此，网评的材料必须是独立自主的，否则是在鼓励抄袭，其害无穷！
环境混沌，说到底是体制问题，教师在学校的地位。有个学校本科质量评审刚过不日，请来了一位名校校长报告，参加者是全校行政人员和副教授以上
老师，人们不尽要问题：我们广大的青年教师(其中大多至少是硕士毕业生)，还不如临时工性质的行政人员吗？！政治上的歧视，还何以调动广大教师的教学积极性？高校是政客们主持的，危险！
三《引论》的启示
在困难面前，中国人是有骨气的。陈省身先生生前曾倡导中国数学科学在21世纪率先赶上世界先进水平，为此，大学本科数学主干基础课教学任重而道远。下面结合《引论》的启示，说四点想法。
1 解放思想提升水平
可能有人会说，高代难学，还要什么解放思想，提升水平？现在应该是实事求是！不错，实事求是本身就是解放思想。前面已说到王湘浩、谢邦杰两先生1964年的修订本[10]，这就是实事求是，水平比现在高。再看许以超先生文革前在北京大学、中国科技大学授课基础上的《代数学引论》[13]，其背景类似于A.И.柯斯特利金的[3~5]，但许先生的书只实践5年，而柯斯特利金的书至少实践22年，如果从他当教研室主任算起有30年(请注意，从他博士毕业到任教研室主任中间又有13年)。因此，只要不发生文化大革命，许先生的[13]将更为人爱，未必在[3~5]之下。万哲先院士的新著值得国人关注[14]。从[14]的序言可以看出，万先生的工作条件是一般的，特别是教学实践条件是缺乏的，如果有几所名牌大学能向万先生提供实践合作条件，[14]在独具特色的同时必将有更佳的深广度。[10，13，14]表明，中国有非常好代数名家与教材，关键是我们的体制如何去创造条件，让其顺利发展，提升水平。因此，解放思想十分必要，特别是解放广大教授的思想，让他们在教学第一线有真正发言权，有教育创新的和谐环境(包括教授离退休的年龄限制)。
中国地方大、发展不平衡。因此，解放思想，应该是国家一流大学先行，向《引论》学习把培养目标锁定为培养高水平数学家，探索《引论》的内容、处理方法有哪些适合中国国情，编著有别于大众化的较高水平的高代教材(北大[15]、清华[16]似乎已有所行动)。此外，一流大学的主干基础课应有院士级的带头人，其培养在自然状态下也是一件难事；一流大学的硕士研究生招生命题也应跟上，考出技巧、考出难度、考出特色。
至于一般大学的本科数学教学，大部分学生毕业后将要到中学任教，当然无法跟一流大学走。但也应该解放思想，在面向全体学生的同时注意提升自己的水平，注意有逐年增加的考上硕士研究生的学生，而高代教材，吸纳[10]，酌情吸纳[3~5]，适用的优秀教材，也应该摆上教改规划，争取早日面市。
2 整体谋划协力实践
美国有个《美国国家线性代数课程研究小组》，隶属于国际线性代数学会。中国数学会下面有教育工作委员会，是否也应承担高校数学主干基础课改革的指导、组织工作？！教育部还有教材评审组这样的构建，这是否能与数学会合力起来？因此，我建议构建全国性的高等代数教学研讨会，在此会议形式下形成组织领导学术班子(这当然是民间性质的)。这样，除了会上有高水平的研究报告、研究成果外，各个高校，首先是名牌大学有自己或合作的教材改革计划与实践成果；一般高校在全国大形势下也有结合自己实际的计划与实践。
因此，体制也应相应跟上。高校质量工程有不少钱，教育部、各省应当增设优秀教材、教学参考书出版基金，高等教育出版社应划出一些书号，用于高校主干基础课的专列出版，如“精品课程教材系列”。
3 突出主线加宽认知
前面说的两点是宏观上的认识，下面说两点具体的认知。主线问题在[15，18]中已有阐述，说了就是当然不是科学的态度，还得有争论。最近一本“降低知识起点，加大教材使用弹性”的厚书[24]认为“矩阵……是线性代数的一条主线”。如果是工科高代，我看是可以商量的，但作为理科数学各专业的高等代数，鉴于学生在本科学习中必须认知20世纪抽象代数的概念、结构和方法，高代中应重视代数运算、代数结构的教学，以向量空间及其线性算子作为线性代数教学主线应该是顺理成章之事，至于各章教材的编排当然可以有异，提倡百家共存。
讲授要突出重点、重视难点分析，但认知量不宜减，酌情加宽基础理论的知识面，如相抵标准形的应用，矩阵广义逆例讲、多项式根的分布，商空间，对偶空间，共轭变换，正交空间，辛空间，张量的概念。当然还可点讲一些，让学生多知道些背景与知识，特别是向优生介绍高水平的教材、教学参考书以及后继课程的教材、专著，乃至国外名著，我在大学年代就看了不少国外代数名著，其基础就得益于这些名著。
4 夯实基础，提高优生
一门主干基础课的教学，面上的控制很重要，但是极其不容易，高代教了三十余年，自己感到这个控制真正做得好的才是过去的一年。这个控制有两点，一是夯实全体学生的基础，让学生兴趣学习高代，看学生考试成绩如何？我上学年教两个教学班，有差异，但总的优生数较多，没有一定数量的优生数，夯实基础是一句空话。补考学生数也是夯实基础的重要指标，上学年两个教学班第一学期共二人补考，第二学期只一人补考，为历史上最少，试卷已挂在网上，大家可以查查看。要做到此，平时教学要抓实，比如计算，反复向学生强调作
业要独立完成，计算须自己一步一步去演算，否则考试是无处可抄的(不会出数据在书上的试题)。抓实教学，要了解差生，引导差生在平时学习中转变。二是提高优生的质量和数量，我院数学专业学生报考外校硕士研究生，高代成绩一般都考得较满意，有些学生就是靠高代高分才上总分线的，这也说明我院的高代教学是保证质量的。但也有人说：报漳州师院数学，高代成绩过关的不多，说明高代教学有问题，我看恰恰说明我们是重视质量，没有问题。
综上所述，《引论》给我们的启迪是质量、水平，作为一门主干基础课，要高质量、上水平，就必须有更多人的长期合作与努力。上述的发言或许是不合时宜的，请大家指正。
参考文献
[1]A.И.柯斯特利金．代数学引论(上册)[M]．北京：高等教育出版社，1988．
[2]A.И.柯斯特利金．代数学引论(下册)[M]．北京：高等教育出版社，1988．
[3]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第一卷)，基础代数[M]．北京：高等教育出版社，2006．
[4]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第二卷)，线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2008．
[5]A.И.柯斯特利金．代数学引论(第三卷)，基本结构[M]．北京：高等教育出版社，2008．
[6]N.贾柯勃逊．抽象代数学，卷1，基本概念[M]，北京：科学出版社，1960；卷2，线性
代数[M]，北京：科学出版社，1960；卷3，域论及伽罗瓦理论[M]，北京：科学出版社，1987．
[7]丘维声．高等代数学习指导书(上册)[M]，北京：清华大学出版社，2005．
[8]N.贾柯勃逊。基础代数(第一卷第一分册)[M]．北京：高等教育出版社，1987．
[9]美国国家研究委员会．人人关心数学教育的未来[M]．北京：世界图书出版公司，1993．
[10]王湘浩、谢邦杰．高等代数(1964年修订本)[M]，北京：人民教育出版社，1964．
[11]熊丙奇．教育熊视——中国教育民间观察[M]．上海：东方出版中心，2008．
[12]蓝以中．高等代数学习指南[M]．北京：北京大学出版社，2008．
[13]许以超．代数学引论[M]．上海：上海科学技术出版社，1966．
[14]万哲先．代数导引[M]．北京：科学出版社，2004．
[15]蓝以中．高等代数简明教程(上册，下册)(第二版)[M]．北京：北京大学出版社，2007．
[16]张贤科，许甫华．高等代数学(第二版)[M]．北京：清华大学出版社，2004．
[17]庄瓦金．跨世纪高等代数教材改革的思考与实践[J]．数学教育学报，10(2) (2001)，80
－83．
[18]庄瓦金．三十年来中国《高等代数》教材(教学)之管见[J]．数学教育学报(将发表)．
[19]庄瓦金．重视教书育人加强学法指导—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之
一[J]．福建高教研究，1997.4，46－48．
[20]庄瓦金．面向全体学生优化课程教学—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之
二[J]．福建高教研究，1997.5，68－70．
[21]庄瓦金．突出主体地位实践教育创新—高师《高等代数》素质教育的认识与实践之
三[J]．漳州师院学报(自然科学版)，16(3)(2003)，88—92．
[22]庄瓦金．明确价值，潜心攻难—关于《高等代数》整体数学的研究[J]．漳州师院学报
(自)(将发表)．
[23]庄瓦金．突出代数体性，加强内在联系—从相似标准形谈起[J](将发表) ．
[24]邱森．高等代数[M]．武汉：武汉大学出版社，2008．
俄罗斯教材《代数引论》的启迪
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿） 庄瓦金 （漳州师范学院，福建，363000） 二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有 A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。 一《引论》的特色 稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。 1 继承性 [1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。 在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。 值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。记得Φ.Ρ.甘特马赫尔的《矩阵论》俄文第二版也是在著者去世后出版的。看来，这里说的继承性是莫斯科学派集体继承性，这是多么伟大的继承性，它体现了俄罗斯数学家的优良品格。 2 整体性 《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。这显然对于学生的整个数学学习大有好处。其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注
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混合以及带有小括号的两步式题。 6. 使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义，认识余数。掌握除数是一位数，商也是一位数的有余数除法的计算方法，知道余数要比除数小。 7. 结合生活实际，体会生活中有大数，感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 8. 初步建立克、千克的概念，渗透数学模型思想。 9. 通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。 10.体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 11.养成认真作业、书写整洁的良好习惯。 12.通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。 四、教学重点、难点 重点：1、除法。2、万以内数的认识。3、用数学解决问题。 难点：培养生学会独立审题的能力；学会解决各种应用题。 五、教学措施 1．科学安排解决问题的教学，重视培养学生解决问题的能力，形成应用意识。2．万以内数的认识和加、减法教学重视发展学生的数感。 3．改进表内除法教学的编排，体现知识的形成过程，加强教学过程的探索性。4．提供关于空间与图形的丰富素材，促进学生空间观念的发展。 5．提供丰富的、现实的、具有探索性的学习活动，激发学生对数学的兴趣，逐步发展学生的数学思维能力和创新意识。
俄罗斯数学教材选译
俄罗斯数学教材选译 2007年03月16日星期五18:15 微积分学教程(共三卷)（第8版）（俄罗斯）Г.М.菲赫金哥尔茨 本书是一部卓越的数学科学与教育著作。自第一版问世50多年来，本书多次再版，至今仍被俄罗斯的综合大学以及技术和师范院校选作数学分析课程的基本教材之一，并被翻译成多种文字，在世界范围内广受欢迎。. 本书所包括的主要内容是在20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分。本书第一卷包括实变量一元与多元微分学及其基本应用；第二卷研究黎曼积分理论与级数理论；第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔吉斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。.. 本书的特点是：一、含有大量例题与应用实例；二、材料的叙述通俗、详细和准确；三、在极少使用集合论的(包括记号)同时保持了叙述的全部严格性，以便读者容易初步掌握本课程的内容。 本书可供各级各类高等学校的数学分析与高等数学课程作为教学参考书，是数学分析教师极好的案头用书。... 经典力学的数学方法（第四版）（俄罗斯）В.И.阿诺尔德 本书以最优美的现代数学形式讨论经典力学问题，它本是数学或力学专业的学生学习理论力学的教材，但实际上，它的范围已经远远超越理论力学，是现代数学的一个重要方面——辛几何。原书被译为多国文字出版，并由Springer 收入GTM丛书，以英文广泛发行。本书已修订为第4版，主要内容包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学三大部分，通过经典力学的数学工具，考察了动力学的所有基本问题。特别是16个附录，使原书的主题更为鲜明：辛几何与辛拓扑，它们反映了几十年来数学科学在一个方面的发展。这些附录都属于专题介绍性质，是作者和他的学生们在有关方面近年来研究工作的总结。.本书可供高等学校数学、物理、力学及相关专业的本科生、研究生、教师，以及相关领域的研究人员参考使用。... 常微分方程（第6版）（俄罗斯）Л.C.庞特里亚金
代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案(可编辑修改word版)
第一章代数基本概念 1.如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G 为交换群. 2.如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G 为交换群. 3.设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由 ab=ac 推出 a=c; 1
(3)由 ac=bc 推出 a=b; 证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1] 设 G={a1,a2,…,a n},k 是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 再由乘法的封闭性可知a k a i a k a j<1> a i a k a j a k<2> G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n} <3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k} <4> 由<1>和<3>知对任意 a t G, 存在 a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意 a t G, 存在 a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2] 为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,a n}. (Ⅰ) 证明 G 内存在幺元. <1> 存在 a t G，使得 a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1a t= a t a1; 因为 2
小学数学教材分析
小学数学教材分析 小学数学教材是编者根据小学数学教学大纲的要求, 结合数学学习的特点和学生的认知规律精心编写而成的。它系统地阐述了小学数学教学的内 容, 选编并配备了相应的图形和习题, 渗透了一些数学思想与方法。作为课程改革的实施者——教师，如何分析教材、处理教材、用好教材，值得我们思考和研究。 一、教材分析的意义 教学过程中的教材分析是教师的一项重要基本功，是教师备好课、上好课的前提。教材分析又是教师熟悉教材、把握教材并逐步达到驾驭教材的重要途径。同时，教材分析也成为帮助学生获取数学知识、开发智力和发展数学能力的源泉。 我们知道, 教材分析的目的是按照教学要求, 努力实现知识传授、能力培养和思想品德教育等预定的目标, 全面提高课堂教学质量。因此, 教材分析也是提高教师业务水平和教学水平的重要环节。教师深入了解课程标准，使教材分析即按教材又不局限于教材，全面深入地领会教材的编写意图，落实数学教学的各项目标。为本人所教的年纪阶段的数学教学选择一个恰当的起点。教师了解相关学科的内容和进度安排，合理地安排教学内容的次序，选择合适的习题，教师要善于发现各学科的相同性，创造性的使用教材。分析教材的准备工作。 二、分析教材的基本依据 教师深入了解课程标准，使教材分析即按教材又不局限于教材，全面深入地领会教材的编写意图，落实数学教学的各项目标。分析教材时，主要应以以下几个方面的要求为依据。 （一）数学知识体系 在分析教材时，充分认识小学教学知识体系，才能看清教材的知识结构和体系，把各部分教材内容放在物理学知识体系中来理解。同时明确它们各自的地位和作用，能从知识方面居高临下，深刻地理解知识的内容，深入浅出，为所教的年纪阶段的数学教学选择一个恰当的起点，避免教学中的绝对化和片面性。（二）学生学习的状况：接受水平、心理特点和思维规律
浅谈对小学数学教材分析的理解
浅谈对小学数学教材分析的理解 一本好的教科书要体现出它的真正价值，取决于我们的“执行者”——老师。因为教材只是一个文本，是一个载体，我们老师要解压缩文本，活用教材，这就需要我们老师在上每一节课之前认真研究、感悟、领会教材，吃透教材的各个知识点。了解教材的基本精神和编写意图，把握教材所提供的数学活动和基本线索，分析教材所渗透的数学思想，才能体会新教材中蕴含的教材理念，也才能备出高质量的课，以便更好地服务于学生，服务于教学。 1、教材结构分析。 既分析教材整体结构，把握相关知识的内在联系。又了解小学数学教材的全貌。特别是弄清本册教材与前后册教材相关部分的内在联系。分析本册教材，有哪几个单元，涉及哪几个领域，哪几个单元是本学期的教学重点。然后深入每个单元分析这一单元内容的承前启后，也就是搞清这部分内容的学习基础是什么，它又能为学习哪些后继内容提供基础或作出铺垫。教师只有熟悉教材的体系，弄清知识的来龙去脉，才有可能设计出合理、可行的教学方案。 2、教学内容分析。 （1）从科学性的角度去分析教学内容。 教师不仅理解每个知识点的内涵，还要求教师掌握如何准确而又浅显地表达这些内容的方式。很多教学内容，必须考虑其特定的阶段性和发展性，既要确切表达现阶段的含义，又要避免讲得过死，与以后的学习产生矛盾。这是数学的学科特点所决定的。 （2）从思想性、智力性的角度去分析教学内容。 教学内容的思想性包含两层意思。一是数学知识的现实意义与科学精神。现实意义，如某一具体的数学知识与社会、与自然的联系，它可以从怎样的现实背景中
抽象出来，又可以解决哪些现实问题；科学精神，如实事求是的态度，思辨、质疑的意识等。二是数学知识的人文内涵与一般的教育意义。人文内涵，如人类认识数学的某些史料；一般的教育意义，如结合具体的教学内容，可以有机地渗透哪些思想品德教育，可以有意识地培养那些良好学习习惯等。 教学内容的智力性是指在该内容的学习过程中，哪些环节可以展开怎样的智力活动，如比较、分类、分析、综合、抽象、概括等；哪些地方可以进行怎样的引申、开拓，或展开进一步的探索、思考等。 （3）从教学重点、难点和关键的角度去分析教学内容。 所谓教学重点，是指某一范围（如一册、一个单元或一节课）内容中举足轻重的、最重要的内容，或最基本、最精华的部分。例如，在平行四边形的特征中，边的特征是学习的重点。以往，小学数学的教学重点，不是基础知识，就是基本技能。现在，随着数学教学目标呈现多样性的趋势，教学的重点也不再仅仅局限于“双基”，数学的某些基本思想方法、探究过程的某种体验、感悟，同样可能成为教与学的重点。 3、习题分析。 数学习题是数学教材的有机组成部分，解答习题是学习课本正文的延续。学数学，历来有“做数学”之说。必要的、恰当的练习，对于学生理解、掌握所学的数学基础知识、基本技能，都是不可缺少的。同时，习题解答的过程也是一个数学学习的反思过程，可以起到纠正错误理解，深化正确认识，锻炼数学思维、提高应用能力的作用，以及拓展学习空间，培养创新精神和实践能力的作用。 习题分析的基础是教师亲自解题。一个认真、负责的数学教师，应当自己验算全部习题，当然过于简单的、一眼就能看出答案的习题除外。对于新教师来说，通过解题的思考与验算，获得切身体验，了解习题的难易程度和前后联系，了解练习的分量和重点，做到心中有数，这是十分必要的。在此基础上，进一步的分析内容
物理竞赛参考书目精选
物理竞赛参考书目 1、《中学奥林匹克竞赛物理教程（力学篇）》 35元/本 《中学奥林匹克竞赛物理教程（电磁学篇）》 30元/本 《中学奥林匹克竞赛物理讲座》 程家夫编中科大 2、《更高更妙的物理冲刺全国高中物理竞赛》 35元/本 晨编著大学 3、《物理竞赛教程》（高一）、（高二）、（高三）（绿皮） 总主编华东师大学 4、《物理竞赛培优教程》 舒幼生编大学 5、《奥赛经典分级精讲与测试系列》 高一物理武建谋著高二物理黄洪才著 师大学 6、《奥赛经典高中物理解题全钥匙》 黄生训编 7、《200道物理学难题》 作者:彼特·纳德吉拉·哈涅克译者:菘等 理工大学出版 8、《物理学难题集萃》 舒幼生编高等教育 9、《金牌之路》 师大 10、《高中物理竞赛题典》 舒幼生编大学 11、《新编高中物理奥赛实用题典》 小辉编师大学 12、《全国中学生物理竞赛实验指导书》 全国中学生物理竞赛常委会编大学 1.程稼夫的2本竞赛书（力学篇，电磁学篇） 简评：作为入门教材这两本书相当经典，全书结构合理，知识容非常全面，讲解活泼，例题比较经典。本书起点不高，但吃透后拿省一不成问题。它的另一特色是带有一定的普物色彩，可为更深层次的学习打好基础。 2.金牌之路著
简评：被众多上个时代的高手强烈推荐的一本书，人气极高，本人未细读。难度和复赛难度相当，整体编排比较经典，例题和习题直接选了很多竞赛原题。但没有传说中的那么神，也不太适合当今竞赛的趋势。 3.物理学难题集萃舒幼生著 简评：现在只有卖复印的，巨厚，舒幼生先生的不朽之作，极力推荐！本书难度并不向传说中那样高不可攀，但物理境界上与其他竞赛书明显不在一个档次。若能认认真真做完本书，你的物理素质一定会有一个质的飞越！在做这本书之前建议先看完程稼夫2本，再学一些基本的微积分知识。 4.物理竞赛集训精编舒幼生著 简评：难题集萃的缩减本，难度和经典程度都大大不如，但质量仍是不错的。 5.华罗庚学校的物理竞赛教材 简评：集训精编的简化本，讲得较多，题较少。总体还行，但不是主流教材，且有些太简略了。 6.奥赛经典系列的物理竞赛教材 简评：分理论和实验两本。理论不是很有名，但实验教材（青一平著）是目前唯一的比较系统的竞赛实验书，写得也不错，必读！ 7.官方的实验指导书 简评：不能不看，但也别花太多经历在上面。 8.200道物理学难题 简评：很偏重技巧的题集，上面有不少十分精华的好题，可以开阔视野，有时间建议做一做。但对于提高能力的作用不如难题集萃。难度略高于复赛。性价比不高，不推荐。 9.俄罗斯500 简评：和国竞赛有很大不同，偏重技巧性，物理原理应用较多。难度比复赛低一点。主要是是绝版书南大的《俄罗斯中学物理竞赛试题精编》的习题解答，但加入了很多新题，有些地方由于翻译问题会显得很模糊，费解，经常错的是稀里哗啦。 10.奥赛兵法高中物理 简评：绝版书，在国图能搞到复印本。没仔细看。例题有些比较好，习题里有的非常难，而且没有解答。如果觉得自己实力足够的话可以试一试。
代数学引论第一章答案
1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,b错误！未找到引用源。G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b错误！未找到引用源。G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,b错误！未找到引用源。G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出b=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a 1,a 2 ,…,a n },k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！未找到引用源。j(I,j=1,2,…,n),有 a k a i 错误！未找到引用源。a k a j ------------<1> a i a k 错误！未找到引用源。a j a k ------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a 2 ,…,a n }={a k a 1 , a k a 2 ,…, a k a n }------------<3> G={a 1,a 2 ,…,a n }={a 1 a k , a 2 a k ,…, a n a k }------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t 错误！未找到引用源。G, 存在a m 错误！未找到引用源。G,使得 a k a m =a t . 由<2>和<4>知对任意a t 错误！未找到引用源。G, 存在a s 错误！未找到引用源。G,使得 a s a k =a t . 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
代数学引论(丁石孙)_第一章答案
代数学基础学习笔记
第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:
对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到 ba=ab,
由此可见群 G 为交换群.
2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]
对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2]
对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知 G 为交换群.
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 b=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]
设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2>
再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3>
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小学各年级必读与推荐书籍
小学各年级必读与推荐书籍 一年级 一年级（上册）必读书目： 1.《和大人一起读》人民教育出版社（统编教材推荐） 2.《新编谜语》浙江少年儿童出版社 推荐选读书目： 1.《在一起》（统编教材课文作家作品系列） 2.《明天要远足》（统编教材课文作家作品系列） 一年级（下册）必读书目： 1.《成语故事》珍藏版浙江少年儿童出版社 2.《读读童谣和儿歌1-4册》人民教育出版社（统编教材推荐）推荐选读书目： 《树和喜鹊》金波著（统编教材推荐选读） 《文具的家》圣野著（统编教材推荐选读） 其他选读书目： 1.《逃家小兔》(绘本) [美]玛格丽特·怀兹·布朗著 2.《女生安全小百科》李美晔等著 3.《小猪唏哩呼噜》（小布头丛书）孙幼军著 4.《小老虎历险记》汤素兰著 5.《声律启蒙》车万育著
6.《看地图认世界名胜》（大开本） 7.《蝴蝶豌豆花》金波 8.《中国神话故事》聂作平 9．《三毛流浪记》张乐平著 10．《安徒生童话》[丹麦] 安徒生著 11.《三十六计》（注音版） 12.《一年级的小豆豆》（适合男生看） 《一年级的小朵朵》（适合女生看） 二年级 二年级（上册）必读书目： 1.《孤独的小螃蟹》冰波著 2.《小鲤鱼跳龙门》金近著 3.《一只想飞的猫》陈伯吹著 4.《小狗的小房子》孙幼军著 5.《“歪脑袋”木头桩》严文井著（以上五本为统编教材推荐书目）推荐选读书目： 1.《纸船和风筝》（统编教材课文作家作品系列） 2.《妈妈睡了》（统编教材课文作家作品系列）
二年级（下册）必读书目： 1.《大头儿子和小头爸爸》郑春华著人民教育出版社（统编教材推荐） 2.《愿望的实现》泰戈尔著人民教育出版社（统编教材推荐） 3.《七色花》人民教育出版社（统编教材推荐） 4.《神笔马良》人民教育出版社洪汛涛著（统编教材推荐） 5.《一起长大的玩具》人民教育出版社（统编教材推荐） 推荐选读书目 1. 《大象的耳朵》（统编教材推荐选读书目） 2.《彩色的梦》（统编教材推荐选读书目） 其他推荐书目 1.国际大奖小说：《洋葱头历险记》 2.李毓佩：数学童话系列 3.杨红樱：科学童话系列 4．桥梁书：《老鼠记者》系列 5.《弟子规》李毓秀著 6.《三字经》王应麟著 7.《泡泡儿去旅行》薛涛著 8.《神奇校车》系列 [美]乔安娜·柯尔著 9.《地心游记》[法]凡尔纳著 10.《让孩子着迷的77×2个经典科学游戏》 [日]后藤道夫著
如何进行小学数学教材分析
如何进行小学数学教材分析 一、教材分析的意义 小学数学教材是编者根据小学数学课程标准的要求，结合数学学习的特点和学生的认知规律精心编写而成的。 小学数学教材并不等于教师的讲稿。教师在授课之前，还必须深入学习小学数学课程标准，认真分析和研究教材，领会教材的编写意图，在此基础上科学地组织教学内容，选用教法，精心编写教案，实施教学，以圆满实现教学目标，完成教学任务。所以说，教材分析是教师的一项重要基本功，是教师备好课、上好课的前提。 在分析教材过程中，教师经常要仔细琢磨“教什么”“怎样教”“教材的知识结构、内在联系”“教学的目的要求”以及“教材的地位、作用、重点、难点、关键及蕴含的思想方法、德育因素”等问题。所以说，教材分析又是教师熟悉教材、把握教材并逐步达到驾驭教材的重要途径。教材分析既关系到教，也关系到学，意义重大而深远。 二、教材分析的内容 要上好课，必须先备好课。而备好课的关键之一是依据课程标准的精神，深入地分析教材，研究教材。 一般地说，分析小学数学教材应当包括以下几个方面的内容。 （一）分析教材的编排体系和知识之间的内在联系 数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科。各部分之间的内在联系十分密切。义务教育阶段的小学数学教材也不例外。小学数学教材是以数与代数为主线，与几何初步知识、统计与可能性、问题解决等内容有机地结合起来编排的。分析教材的编排体系和知识之间的内在联系，可以从整体上把握各类知识在小学数学教材中的分布，认清各类知识的来龙去脉与纵横联系，以及它们在整个小学数学教材中的地位和作用。对同一类知识来说，又可以充分认识到所要教的那部分内容。其知识基础是什么，为哪些后续知识的学习作铺垫等等。 掌握小学数学教材的编排体系和内在联系后，再着手对所教的一册教材、一单元教材或一课时教材作深入具体的分析研究，认真研究教材的重点、难点和关键，以有效地为课堂教学服务。 （二）分析研究教材的重点、难点和关键 在认真分析教材的编排体系和知识之间的内在联系的基础上，还要根据教学要求和教材特点，并结合学生实际，分析研究教材的重点、难点和关键，以便科学地组织教学内容，设计教学过程，做到在教学中抓住关键，突出重点，突破难点，带动全面，有效地提高课堂教学效率。 1、教材的重点。 确定教材的重点，要以教材本身为依据。瞻前顾后，溯源探流，深刻分析研究所教的内容，并将其放到整个知识系统当中去判定其地位和价值。 教材重点与教学重点既有联系又有区别，其联系体现在教材重点是确定教学重点的依据，区别在教学重点和教材重点在表述上略有差异。以“分数的加法和减法”为例，其教材重点是异分母分数加减法；而教学重点是使学生掌握异分母分数加减法的计算法则，并能应用法则正确计算。 2、教材的难点。 小学数学教材中，有的内容比较抽象，不易被学生理解；有的内容纵横交错，
《复式统计表》教学设计资料讲解
《复式统计表》教学设计 崇实小学南校宋菊香 【教学内容】人教版新版小学数学三年级下册36、37页及做一做第1题。 【教材分析】 《复式统计表》是新版人教版三年级下册的教学内容。之前学生已经初步体验了数据的收集、整理、描述和分析的过程；学习了用简单的方法收集和整理数据；初步认识了单式统计表，这部分内容是在学生已有的知识和经验的基础上，让学生进一步体验数据的收集、整理、描述和分析的过程，同时认识复式统计表。教材中的例题设计了分男女调查学生喜欢的活动的情境，要求把两张单式统计表合成一张统计表，使学生认识单式统计表和复式统计表的关系，了解复式统计表的结构，并在填表后提出问题，引导学生对统计表进行分析。复式统计表包括了几个单式统计表的全部内容，更加便于分析和比较各个数据，找出数据之间的关系，所以复式统计表的教学是非常重要的，为后面复式统计图的教学垫定了基础。 【学情分析】 这部分内容是在学生已经学习了用简单的方法收集和整理数据；初步认识了单式统计表的基础上进行学习的。学生已经对统计表的结构填写方法、对表内数据的分析有了一定的基础。通过本节课的学习，引导学生对多张单式统计表进行合并，认识复式统计表的结构，学会填写复式统计表，并能对统计表作简单分析。 【教学目标】 1、通过对数据的整理和对比活动，引导学生经历复式统计表的产生过程，并认识简单的复式统计表，会填写复式统计表，能根据统计表提出并回答简单的问题。 2、使学生在认识、填写、分析复式统计表的过程中，进一步理解统计方法，发展统计观念。 3、激发学生的学习兴趣，培养学生初步的统计意识和创新精神。 【教学重点】引导学生经历复式统计表的产生过程，并认识简单的复式统计表，进行简单的分析。 【教学难点】理解复式统计表，知道使用复式统计表的意义，会对复式统计表进行分析。
小学数学教材分析
小学数学教材分析 小学数学的内容，这些知识本身比较简单。但出现在课本中，无论是知识系统的安排还是内容呈现的方式，都会根据学生的认知特点和以往的教学经验，做出周密的考虑和精心的加工。因此，教师掌握课本所涉及的数学知识并不困难，但要明白教材的编写意图，游刃有余地驾驭教学内容，还必须在教材分析上面下一番功夫。一般可以遵循从整体到局部的思路，先做结构分析，搞清教材的系统性，再以知识结构为导向，进行各部分的内容分析和习题分析。 1、教材结构分析。 既分析教材整体结构，把握相关知识的内在联系。最好是通览全套教材，了解小学数学教材的全貌。特别是弄清本册教材与前后册教材相关部分的内在联系。在此基础上，分析本册教材，有哪几个单元，涉及哪几个领域，哪几个单元是本学期的教学重点。然后深入每个单元分析这一单元内容的承前启后，也就是搞清这部分内容的学习基础是什么，它又能为学习哪些后继内容提供基础或作出铺垫。教师只有通晓教材的体系，明了知识的来龙去脉，才有可能设计出合理、可行的教学方案。分析教学内容承前启后的常用方法有两种：一种以某一知识为起点，顺向往后，有如“综合法”，明确“启后”，即理清由此往后有关知识的头绪；另一种以某一知识为终点，逆向往前，有如“分析法”，找出前面有关基础知识的联系。例如：三年级下册以两位数乘两位数为基础的后继知识是：三位数乘两位数、小数乘法等等；需要具备的基础知识是：一位数乘两位数、整十数乘两位数口算、万以内加法等等。 2、教学内容分析。 （1）从科学性的角度去分析教学内容。 确保教学的科学性，是教学的基本要求。要求教师不仅理解每个知识点的内涵，还要求教师掌握如何准确而又浅显地表达这些内容的方式。很多教学内容，必须考虑其特定的阶段性和发展性，既要确切表达现阶段的含义，又要避免讲得过死，与以后的学习产生矛盾。这是数学的学科特点所决定的。例如，平行四边形的对称性，由于在小学阶段只初步介绍轴对称，不出现旋转对称及其特例中心对称，所以只能讲它不是轴对称图形。 （2）从思想性、智力性的角度去分析教学内容。 教学内容的思想性包含两层意思。一是数学知识的现实意义与科学精神。现实意义，如某一具体的数学知识与社会、与自然的联系，它可以从怎样的现实背景中抽象出来，又可以解决哪些现实问题；科学精神，如实事求是的态度，思辨、质疑的意识等。二是数学知识的人文内涵与一般的教育意义。人文内涵，如人类认识数学的某些史料；一般的教育意义，如结合具体的教学内容，可以有机地渗透哪些思想品德教育，可以有意识地培养那些良好学习习惯等。教学内容的智力性是指在该内容的学习过程中，哪些环节可以展开怎样的智力活动，如比较、分类、分析、综合、抽象、概括等；哪些地方可以进行怎样的引申、开拓，或展开进一步的探索、思考等。 （3）从教学重点、难点和关键的角度去分析教学内容。 所谓教学重点，是指某一范围（如一册、一个单元或一节课）内容中举足轻重的、最重要的内容，或最基本、最精华的部分。例如，在平行四边形的特征中，边的特征是学习的重点。以往，小学数学的教学重点，不是基础知识，就是基本技能。现在，随着数学教学目标呈现多样性的趋势，教学的重点也不再仅仅局限于“双基”，数学的某些基本思想方法、探究过程的某种体验、感悟，同样可能成为教与学的重点。所谓教学难点，是指那些学生难于理解、掌握或容易引起混淆、错误的内容。例如：在多位数减法中，退位减法学生容易出错，是学习的难点；在退位减法中连续退位的减法，如1002-755，退位的过程更
代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题答案
代数学引论(聂灵沼-丁石孙版)第一章习题答案
第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
再由乘法的封闭性可知 G={a 1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}. (Ⅰ) 证明G内存在幺元. <1> 存在a t G，使得a1a t=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明a1a t= a t a1; 因为 a1(a t a1)a t=(a1a t) (a1a t)=(a1)2 a1(a1a t)a t=(a1a1)a t=a1(a1a t)= (a1)2, 故此 a1(a t a1)a t= a1(a1a t)a t. 由条件(1),(2)可得到 a1a t= a t a1. <3> 证明a t就是G的幺元; 对任意a k G, a1(a t a k) =(a1a t)a k=a1a k 由条件(2)可知 a t a k=a k.
对小学数学教材分析的理解
对小学数学教材分析的理解 小学数学的内容，这些知识本身比较简单。但出现在课本中，无论是知识系统的安排还是内容呈现的方式，都会根据学生的认知特点和以往的教学经验，做出周密的考虑和精心的加工。因此，教师掌握课本所涉及的数学知识并不困难，但要明白教材的编写意图，游刃有余地驾驭教学内容，还必须在教材分析上面下一番功夫。一般可以遵循从整体到局部的思路，先做结构分析，搞清教材的系统性，再以知识结构为导向，进行各部分的内容分析和习题分析。 一、教材结构分析 既分析教材整体结构，把握相关知识的内在联系。最好是通览全套教材，了解小学数学教材的全貌。特别是弄清本册教材与前后册教材相关部分的内在联系。在此基础上，分析本册教材，有哪几个单元，涉及哪几个领域，哪几个单元是本学期的教学重点。然后深入每个单元分析这一单元内容的承前启后，也就是搞清这部分内容的学习基础是什么，它又能为学习哪些后继内容提供基础或作出铺垫。教师只有通晓教材的体系，明了知识的来龙去脉，才有可能设计出合理、可行的教学方案。 分析教学内容承前启后的常用方法有两种：一种以某一知识为起点，顺向往后，有如“综合法”，明确“启后”，即理清由此往后有关知识的头绪；另一种以某一知识为终点，逆向往前，有如“分析法”，找出前面有关基础知识的联系。例如：三年级下册以两位数乘两位数为基础的后继知识是：三位数乘两位数、小数乘法等等；需要
具备的基础知识是：一位数乘两位数、整十数乘两位数口算、万以内加法等等。 二、教学内容分析 1、从科学性的角度去分析教学内容。 确保教学的科学性，是教学的基本要求。要求教师不仅理解每个知识点的内涵，还要求教师掌握如何准确而又浅显地表达这些内容的方式。很多教学内容，必须考虑其特定的阶段性和发展性，既要确切表达现阶段的含义，又要避免讲得过死，与以后的学习产生矛盾。这是数学的学科特点所决定的。例如，平行四边形的对称性，由于在小学阶段只初步介绍轴对称，不出现旋转对称及其特例中心对称，所以只能讲它不是轴对称图形。 2、从思想性、智力性的角度去分析教学内容。 教学内容的思想性包含两层意思。一是数学知识的现实意义与科学精神。现实意义，如某一具体的数学知识与社会、与自然的联系，它可以从怎样的现实背景中抽象出来，又可以解决哪些现实问题；科学精神，如实事求是的态度，思辨、质疑的意识等。二是数学知识的人文内涵与一般的教育意义。人文内涵，如人类认识数学的某些史料；一般的教育意义，如结合具体的教学内容，可以有机地渗透哪些思想品德教育，可以有意识地培养那些良好学习习惯等。 教学内容的智力性是指在该内容的学习过程中，哪些环节可以展开怎样的智力活动，如比较、分类、分析、综合、抽象、概括等；哪些地方可以进行怎样的引申、开拓，或展开进一步的探索、思考等。
最新人教版小学四年级数学下册教材分析
全册教材分析 主要内容 （一）数与计算 ●四则运算（第一单元） ●运算定律与简便计算（第三单元） ●小数的意义和性质（第四单元） ●小数的加法和减法（第六单元） 包含两部分内容： ●整数知识的一些整理 到四上整数的教学（认识、运算）已经结束，有必要对整数的运算顺序、运算定律等知识进行总结概括，使所学的知识系统化。 四则运算：主要对混合运算的顺序进行总结。 原来混合运算的顺序有自己的线索：从连加、连减、乘加、乘减→连乘、连除→两头是乘除中间是加减的。应用题也有独立的线索，两者紧密相连，到高年级一般前一单元是混合运算，后一单元是应用题，这样安排有一定的道理，先独立成章说明运算顺序，再在解决问题中，再按规定的运算顺序列综合算式，互不干扰。 现按照《课标》精神，结合具体情景理解不独立成章，与数的认识和解决问题结合。 运算定律与简便计算：主要对加法和乘法运算定律进行总结，同时教学应用这些定律进行简便计算。 ●小数的意义和性质。 小数认识在本套教材中分两个阶段： （1）三下，初步认识小数。结合学生熟悉的十进复名数，如借助元、角、分来认识小数并进行简单地加减计算。是感性认识阶段，虽涉及到小数的意义，但没有涉及小数的数位、计数单位。 （2）本单元系统认识小数，从小数的产生、意义、性质、大小比较等角度来认识。 ●小数的加法和减法 在第一阶段“小数的初步认识”初步掌握小数加减法的计算法则基础上进一步学习，概括其法则。 ●三角形
●边的特征：两边之和大于第三边 在一上初步认识了三角形，这里将认识三角形的特征，研究边角的关系。 内角和等于180° （四）数学思想方法 数学广角：教学植树问题。 使学生从更宽泛的角度来认识数学，领悟数学，产生对数学的兴趣。 （五）实践活动 营养午餐、小管家：属第二层次解决实际问题。 各单元分析 第一单元四则运算 一、教学内容 混合运算义务教材是单独编排，实验教材是与计算和解决问题相结合。 混合运算前面学生已经学会按从左往左的顺序计算两步式题，并且知道小括号的作用，这里主要教学含有两级运算的运算顺序，并对所学的混合运算的顺序进行整理。 二、教学目标 1．进一步掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。 2．学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题。 3．使学生在解决实际问题的过程中，养成认真审题、独立思考等学习习惯。 三、编排特点
(完整版)代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案
第一章代数基本概念 1.如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群. 证明: 对任意a,bG,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群G为交换群. 2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,bG, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此G为交换群. [方法2] 对任意a,bG, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知G为交换群. 3.设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2)由ab=ac推出a=c; (3)由ac=bc推出a=b; 证明G在该乘法下成一群. 证明:[方法1] 设G={a1,a2,…,a n},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有 a k a i a k a j------------<1> a i a k a j a k------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,a n}={a k a1, a k a2,…, a k a n}------------<3> G={a1,a2,…,a n}={a1a k, a2a k,…, a n a k}------------<4> 由<1>和<3>知对任意a t G, 存在a m G,使得 a k a m=a t. 由<2>和<4>知对任意a t G, 存在a s G,使得 a s a k=a t. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2] 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G={a1,a2,…,a n}.
人教版三年级数学下册教材分析
人教版三年级数学下册教材分析 教材是教与学的主要依据，是教师与学生相互作用的中介，更是学生获取知识、开发智力和发展能力的源泉。作为一名小学数学教师，备课时必须充分解读教材，只有准确地理解编者的设计意图，深入地挖掘教材的学习价值，才能科学地组织教学内容，圆满地实现教学目标。 一、教材分析 本册教材包括下面一些内容：除数是一位数的除法，两位数乘两位数，小数的初步认识，位置与方向，面积，年、月、日，简单的数据分析和平均数，用数学解决问题，数学广角和数学实践活动等。 除数是一位数的除法、两位数乘两位数、面积以及简单的数据分析和平均数是本册教材的重点教学内容。 在数与计算方面，这一册教材安排了除数是一位数的除法、两位数乘两位数分数以及小数的初步认识。这部分乘、除法仍然是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能，是进一步学习计算的重要基础。例如，用两位数除多位数，每求一位商的步骤与一位数除的步骤基本相同；又如，两位数乘两位数是学习小数乘法的必要基础。 从本册引入小数的初步认识的初步认识，内容比较简单。此时学生在日常生活中经常遇到或用到有关小数的认识和问题，这部分知识的学习，可以扩大用数学解决问题的范围，提高学生解决问题的能力；同时也可以使学生初步学会用简单的小数进行表达和交流，进一步发
展数感，并为进一步系统学习小数四则运算做好铺垫。 在空间与图形方面，这一册教材安排了位置与方向和面积两个单元，这是这册教材的另两个重点教学内容，为发展学生的空间观念提供了丰富的素材。通过这些内容的学习，让学生初步形成辨认方向、表达与交流物体所在的方向的能力等。通过现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，探索并体会引进统一的面积单位的必要性，认识面积单位，掌握长方形、正方形的面积公式，进一步促进空间的观念。 在量的计量方面，这一册进一步扩大计量知识的范围，除了面积单位的认识外，还安排了认识较大的时间单位年、月、日及24时计时法。这些内容的教学可以进一步发展学生的空间观念和时间观念，并通过实际操作与具体体验，培养学生估计面积大小和时间长短的意识和能力。 在统计知识方面，本册教材让学生初步学习简单的数据分析和平均数。教材向学生介绍不同形式的条形统计图，让学生利用已有的知识，学习看这两种统计图，初步学会简单的数据分析；通过学习平均数的含义和简单的求平均数的方法，初步理解平均数的意义和实际应用，进一步体会统计在现实生活中的作用。 在用数学解决实际问题方面，教材一方面安排了一个单元，专门教学用所学的乘除法计算知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动学习简单的集合思想和等量代换思想，并能应用集合和等量