大学数学教案第9章word资料9页

第九章行列式与线性方程

组

教学目标：

1、掌握二阶行列式与二元线性方

程组的定义及性质

2、掌握行列式的性质及算法

3、掌握线性方程组的行列式解法教学重点：

1、行列式的性质及展开

2、线性方程组的行列式解法

教学难点：

线性方程组的行列式解法

教学过程：

第一节二阶行列式与二元线性

方程组

1、引入：

九宫之义，法以灵龟；

二四为肩，六八为足；

左七右三，戴九履一，

五居中央

四四图

1

15

14

4

12

11

10

9

8

7

6

5

13

3

2

16

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

?

?

?→

?外角对换

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

?

?

?→

?内角对换

（ 34 ）

考察两个二元线性方程所组成的方程组

?

?

?

=

+

=

+

2

2

2

1

1

1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

(1)

消去y得

()

1

2

2

1

1

2

2

1

b

c

b

c

x

b

a

b

a-

=

- (2)

同理消去x可得

（a

1

b

2

—a

2

b

1

）y=a

1

c

2

--a

2

c

1

(3)

如果代数式（a

1

b

2

—a

2

b

1

）0

≠，就可以用它去除（2）（3）的两边得

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1,

b

a

b

a

c

a

c

a

y

b

a

b

a

b

c

b

c

x

-

-

=

-

-

= (4)

为了使（4）的结果记忆方便，我们引入二阶行列式的概念。

2、定义：

1

2

2

1

2

2

1

1b

a

b

a

b

a

b

a

-

= (5)

其中a 1,a 2,b 1,b 2称为行列式的元素，横排称为行列式的行，竖排称为行列式的列。 性质： （1）

2

2112

211b a b a b a b a =

（行列式的第i 行改为第i 列，第i 列改为第i 行，行列式的值不变。） （2）

2

2112

211b a b a a b a b -

=

（二阶行列式两列（或两行）对调，

则行列式的值要改变符号）

方程组（1）的解（4）用行列式表

示为

方程组（1）的

系数行列式2

211b a b a =

?

分子行列式x ?，y ? 所以方程组的解可表示为 ○

注注 （1）

若0≠?，则方程组（1）有唯一一组解。

（2）

若?=0，?x 与?y 至少有一个不为零，则方程组（1）无解。

（3）

若?=?x =?y =0，则方程组（1）有无限多组解。

3、例题：

例1 解方程组?

??=-=-11761087y x y x .

例2 解方程组??

?-=+=+1

647

96y x y x .

例3 解方程组?

??=-=-3935

155y x y x

4、作业：

5、课后小结：

第二节 三阶行列式概念及其性质

1、 三阶行列式

用二阶行列式可以解二元线性方程

组，一般地，可以用n 阶行列式解

n 元线性方程组。下面我们只对用

三阶行列式解三元线性方程组加以讨论，因此我们先给出三阶行列式的概念。 定义：

三阶行列式的计算可按图得出： 例题：

计算三阶行列式的方法称为对角线法则.

例1 计算2

2

312

123--- 2、 三阶行列式的性质

性质1：

把行列式的第i 行改为第i 列，第

i 列改为第i 行，行列式的值不变，

即

性质2：

对调行列式的两行（或两列），行列

式的值改变符号,但绝对值不变.如

3

331112223

33222111c b a c b a c b a c b a c b a c b a -=(可用对角线法证

明) 性质3:

有两行(或两列)相同的行列式的值

必为零.

证明:

性质4:

把行列式的某行(或某列)所有元素

同乘以某数k 的结果等于以数k 乘

以这个行列式,如

3

33222111c b a c b a kc kb ka = k 3

33222111c b a c b a c b a

推论1:一个行列式中某一行(或某

一列)各元素的公因子可以提到行

列式记号的外边

推论2:如果一个行列式中有一行

(或一列)的元素全为零,则这个行

列式为零

性质5:如果行列式的两行(或两列)

的对应元素成比例,则这个行列式为零.

性质6:如果行列式的一行(或一列)的元素都是两项式,那么这个行列

式等于两个行列式的和。

证明：

性质7：把行列式的某一行（或某

一列）所有元素同乘以一数后，加

于另一行（或另一列）的对应元素，

则行列式的值不变。

3、为了叙述、书写方便，我们约定：

(1)记号 “i λ”表示第i 行的公因子提出来;

(2)记号 “(i , j)”表示将第i 行与第j 互换 (3)记号 “ i+j ”表示将第j 行

的

倍加到第i 行上去.

注：由于性质2—性质7对行列式的列也成立，我们也可以用上面的记号表达对行列式的列变换。为了区别起见，当进行行变换时，将记号写在等号上方，当进行列变换时，将记号写在等号的下方。若在等号上（下）方同时出现几个记号时，则按顺序由上至下进行。 4、例题：

例2 计算6

15

21

42535

31014

----

例3 计算

6

12

13

131********

---. 例 4 用行列式性质证明

00

0=---c b c a b a .

例 5 利用行列式性质证明

b a

c b c b c a a

c

b a -+-+-+=a

b c b c a c

a

b . 5、课后小结：

第三节 行列式的按行列展开 导入：

三阶行列式我们可以用对角线法则进行计算。要想简化行列式的计算，可以先用行列式性质将行列式变形，再按行或按列展开计算。为了学习这种方法，我们先介绍子行列式与代数余子式的概念。 1、子行列式

把行列式中某一元素所在的行与列划去后，留下来的元素按原来的位置关系组成的行列式，称为这个行列式对应与该元素的子行列式。如：

3

332221

11c b a c b a c b a =?行列式

对应于元素b 3

的子行列式为2

211c a c a

2、代数余子式

设行列式中某一元素所在的行数为i ，列数为j 。将对应于该元素的子行列式乘上

（-1）i+j 所得的式子称为对应于该元素的代数余子式

某元素的代数余子式，用这个元素的大写字母并附以相同的下标表示。如行列式对应于元素b 3的

代数余子式为 3、定理

定理1：行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。

设3

332221

11c b a c b a c b a =?那么

证明： 4、例题

例 1 把行列式2

4135

21

34--=?按

第三行展开，并求值.

按一行（或一列）展开行列式来

求值时，如果先根据行列式的性质把某一行（或某一列）的两个元素变为零，再展开求值就简便得多.

例2 计算8

5464

59

68-.

5、定理 2 行列式某一列（或某一行）各元素与另一列（或另一行）对应元素的代数余子式的乘积之和恒等于零。

设3

332221

11c b a c b a c b a =?，那么

证明：

第四节 二元线性方程组 教学过程： 导入：

我们已经介绍了三阶行列式的性质，下面介绍如何利用三阶行列式解三元线性方程组

一、下面我们讨论如何用三阶行列式来解三元线性方程组

???

??=++=++=++3333

22221111d

z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a

1、如果方程组的系数行列式

0≠?，则方程组有唯一一组解

???

??=++=++=++3333

22221111d

z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a …………（1） 假设此此方程组的系数行列式为 我们以?中对应 组成了一个新的方程组

??

?

?? (2)

方程组（2）由（1）推出，所以 同解

2、如果方程组的系数行列式

0=?，而z y x ???,,至少有一个不等

于零，则方程组没有解；

3.如果0=?，并且

0=?=?=?z y x ，这时方程组可能没

有解，也可能有无限多组解.

二、例题

例1 解

方程组??

?

??=++=+-=-+733023

532z y x z y x z y x .

例2 解方程组??

?

??=++=++=++321z y x z y x z y x .

例 3 解方程组

??

?

??=++=++=++333322221z y x z y x z y x . 三、作业：

四、课后小结：

第五节 齐次线性方程组 教学过程： 复习导入：

前面学习了二元线性方程组及三元

线性方程组的行列式解法

一、

我们讨论含有两个三元齐

次线性方程的方程组

??

?=++=++00

222

111z c y b x a z c y b x a …… （1） 显然x=y=z=0为方程组的一解，称

之为零解；除了零解是否还有非零

解？如果有，如何来求解？

解法的讨论

1、方程组的系数组成三个行列式

至少有一个不等于零时，则奇次方程组的解可表示为

2

2

11c b c b k

x =，2

2

11a c a c k

y =，

2

2

11b a b a k

z =，其中k 取任意数值.

为0；例如第一个行列式不为0；则我们可将方程组（1）改写成

?

??

(2)

这里可以给未知数z 以任何数值；

当

Z 的数值给定后，则方程组（2）有

唯一一组解

X = Y ＝

结论：

2、三个行列式都等于0 这时我们有方程组变成一个方程

0111=++z c y b x a ，奇次线性方程组

一定有非零解.

因此，若三个行列式都等于0；齐次方程组（1）一定有非零解。 例题：

例1 解方程组???=++=-+0

320

32z y x z y x .

例2解方程组??

?=--=--0

10240

52z y x z y x

二、

含有三个三元齐次方程的

方程组

下面我们讨论含有三个三元奇次线性方程的方程组

???

??=++=++=++0

00333

222111z c y b x a z c y b x a z c y b x a ……（5） 如果方程组的系数行列式0≠?，则方程组有唯一的一组零解；

反过来，如果0=?，我们可以证明

方程组一定有非零解.分两种情况：

（1）如果0=?，但它的子行列式

中至少有一个不等于零，则

2

2

11b a b a k

z =，其中k 0≠.

证明：

（2）如果0=?，并且它的所有的子行列式全为零，这时方程组中任何两个方程的系数都成比例，这样可得方程组的无限多组解. 结论：

方程组（5）有非零解0=?? 例题：

例3 解方程组???

??=-+=++=+-0230032z y x z y x z y x .

例4 解方程组???

??=-=+-=++030230y x z y x z y x .

例5解方程组??

?

??=+-=+-=+-033302220z y x z y x z y x

第六节 高阶行列式 教学过程： 复习导入：

我们可以把二阶、三阶行列式推广到四阶甚至更高阶的行列式，其性质同样适用。

但四阶以上的行列式计算不能用对角线法则，只能用“按行按列展开法”计算.

例1、计算四阶行列式 例2 、计算四阶行列式 小结：

复习课 第九章知识点总结

1、二阶行列式

2、三阶行列式

3、行列式的性质 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 记号：

1、 行列式的按行按列展开 （1） 子行列式（余子式） （2） 代数余子式 （3）

定理1：

行列式等于它的任意一列（或行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和

技巧：先用性质化出0，再展开

（4）

定理2：

行列式某列（或行）与另一列（或行）的对应元素的代数余子式的乘

（7）积之和恒为零。

2、高阶行列式

3、二元线性方程组

4、三元线性方程组

5、齐次线性方程组

（1）两个方程

（2）三个方程

（3）希望以上资料对你有所帮

助，附励志名言3条：

（4）1、常自认为是福薄的人，任

何不好的事情发生都合情合

理，有这样平常心态，将会

战胜很多困难。

（5）2、君子之交淡如水，要有好

脾气和仁义广结好缘，多结

识良友，那是积蓄无形资产。

很多成功就是来源于无形资

产。

（6）3、一棵大树经过一场雨之后

倒了下来，原来是根基短浅。

我们做任何事都要打好基

础，才能坚固不倒。