初高中数学衔接教材(人教版)

初高中数学衔接教材 1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是（ ）

（A ）若a b =，则a b =（B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 2

2

()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2

2

2

()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：2

2(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． （2）)164)(2)(2(2

4++-+a a a a

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值．

例3计算：（1）)416)(4(2

m m m +-+ （2）)4

1

101251)(2151(22n mn m n m ++-

1．填空：

（1）221111()9423

a b b a -=+（ ）

； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )； （3）2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

12x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于（ ）

（A ）2

m （B ）214m （C ）213

m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值（ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

3．二次根式

0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例

如 32a b +2

12

x +

+，22x y ++ 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例

， 一般地，，

b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二

次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2a ==,0,,0.a a a a ≥??-

例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．

例2 (3-． ．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1 （2

例4 化简：2004

2005+?．

例 5 化简：（1； （21)x <<．

例6 化简下列各式：

(1) + (2)

1)x ≥

例 7 已知

x y ==22

353x xy y -+的值 ．

．

1．填空：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；

（3）=____；（4）若2x =

，=_ __．

４．分式

1．分式的意义 形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A

B

具有下列性质： A A M B B M ?=?； A A M

B B M

÷=

÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 例1 若54(2)2

x A B

x x x x +=+

++，求常数,A B 的值．

例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：111

1223910

+++

??? ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有1111

2334(1)2

n n +++

例3 设c

e a

=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．

1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11

2

n n -

+)； 2．选择题：若223x y x y -=+，则x y ＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6

5

5、 分解因式

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等

变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

十字相乘法（借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．）

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

1．2

()x p q x pq +++型的因式分解。这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++

因此，2

()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例1】把下列各式因式分解：

(1) 276x x -+

(2) 2

1336x x ++

【例2】把下列各式因式分解：

(1) 2

524x x +-

(2) 2

215x x --

【例３】把下列各式因式分解：

(1) 2

2

6x xy y +-

(2) 222

()8()12x x x x +-++

2．一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解 【例４】把下列各式因式分解：

(1) 2

1252x x --

(2) 22

568x xy y +-

2．提取公因式法与分组分解法 例５ 分解因式：

（1）32933x x x +++； （2）22

2456x xy y x y +--+-．

1．选择题：多项式2

2

215x xy y --的一个因式为（ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）2

2

44x xy y +- （3）（1）5x 2－3x -2；

（4）4(1)(2)x y y y x -++-． （5）x 2＋4x －12； （6）2

2

()x a b xy aby -++；

（7）1xy x y -+-． （8）8a 3－b 3； （9）8532-+x x

6、 一元二次方程----根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

222

4()24b b ac

x a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当b 2

－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2

；

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b

a

；

（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2

()2b x a

+一定大于或等于零，因此，原方

程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2

；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b

a

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2

－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．

7、一元二次方程----根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -

，x 1·x 2＝c a

．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 例：若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．

（1）求x 1 x 2 ， x 1＋x 2，的值； （2）求2

22

1x x +， | x 1－x 2| 的值； （3）求22

1211

x x +的值

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）

，则，22b x a

-=，

∴| x1－x2|

=

|

==．

于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|

＝

||a

（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例2 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为

7

3

-；④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0

8、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2

到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a

系中的开口的大小．

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间

的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2

所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一

个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这

两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究

它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及

方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k

决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象

的方法：

由于y ＝ax 2

＋bx ＋c ＝a (x 2

＋b x a )＋c ＝a (x 2

＋b x a

＋224b a )＋c －24b a

224()24b b ac

a x a a

-=++

， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－

2b

a

；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b

a -时，函数取最小值y

＝244ac b a

-．

（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a

；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b

a -时，函数取最大值y

＝244ac b a

-．

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）

（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x （2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）

（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题

（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．

（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象

的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．

（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝

时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．

4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：

（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．

9、二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．

当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以

x1＋x2＝

b

a

-，x1x2＝

c

a

，即

b

a

＝－(x1＋x2)，

c

a

＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2

b c

x x

a a

++) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为

y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定

（2）函数y ＝－1

2

(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2)（D ）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．

（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．

10、 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

（1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1．

11 相似形

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得

的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

1．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ）

A ．AD CE DF BC =

B ．AD B

C BE AF = C ．CE A

D DF BC = D.AF BE

DF CE

=

2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .

3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.

4．如图，在ABC V 中，BAC D的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：

AB BD

AC DC

=

.

5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF AC

EF AB

=

.

3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？

例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC ∠为直角，BC AD ⊥于D.

求证：（1）2

AB BD BC = ，2

AC CD CB = ；（2）2

AD BD CD = 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.

1．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:A D E B C D E

S S V 四边形等于（ ）A ．2:3 B ．4:9 C ．4:5 D ．4:21

2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.

3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求

'''A B C 的面积'''A B C S V .

12、三角形的“四心”

图

3.1-6

外心 过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

内心 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

垂心 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）

重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

13 几种特殊的三角形

等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上.

在直角三角形ABC 中，A D为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为斜边

BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为

2

b c a

+- （其中,,a b c 分别为三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：2

2

2

AC AB BC +=.

正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.