(学霸笔记)之高等数学复习笔记

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初一数学学霸笔记 下册

初一数学下册知识点复习梳理归纳 第一章:整式的运算 一、知识框架 单项式 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 二、知识概念 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式没有系数的概念,但有次数的概念。 3、多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是:去括号法则,合并同类项法则,以及乘法分配率。 五、同底数幂的乘法

1、n 个相同因式(或因数)a 相乘,记作a n ,读作a 的n 次方(幂),其中a 为底数,n 为指数,a n 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即:a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用,即:a m+n = a m ﹒a n 。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。(a m )n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。(a m )n =a mn 。 3、此法则也可以逆用,即:a mn =(a m )n =(a n )m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。即(ab )n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用,即:a n b n =(ab )n 。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:a m ÷a n =a m-n (a ≠0)。 2、此法则也可以逆用,即:a m-n = a m ÷a n (a ≠0)。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义:任何不等于0的数的0次幂都等于1,即:a 0=1(a ≠0)。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂,等于这个数的p 次幂的倒数,即:1(0)p p a a a -=≠ 十二、整式的乘法 (一)单项式与单项式相乘 1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式。 (二)单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。即:m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 (三)多项式与多项式相乘

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第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后: 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间:设有数a,b,a0),则称实数集{x|a?δ

a称为N(a,δ)的中心,δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域:把N(a,δ)的中心点a去掉,称为点a的去心邻域,记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注:其中,?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0),它的面积A=πx2,当x在(0,+∞)内任取一个数值(记为?x∈(0,+∞))时,由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源:https://www.360docs.net/doc/2817230960.html,/ 例2. 设有半径为r的圆,作圆的内接正n边形,每一边对应的圆心角α=2πn,周长S n=n?2r sinπn,当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数,通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义:设有数集X,Y,f是一个确定的对应法则,对?x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应,记为x→f y,或f(x)=y,则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域,常记为D f。 X——自变量,Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X},称V f为函数f的值域。 文章来源:https://www.360docs.net/doc/2817230960.html,/ 注意: (1)一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如,y=arcsin(x2+2)这个式子,由于x2+2>2,而只有当|x2+2|≤1时,arcsin才有意义,因此这个式子不构成函数关系。又例如,y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数,因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数,因为定义域相同。(2)函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 (3)确定函数定义域时,注意:若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义:设函数y=f(x)定义域为D f,?x∈D f,对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y),当x遍取D f中一切实数时,就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源:https://www.360docs.net/doc/2817230960.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I,则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注:s.t.是“使得,满足于”的意思,I表示某个区间。

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第一章 代数运算与自然数 主要内容: 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为:设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ,就推出)()21a a σσ≠(,则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为:设B ran B A =→)(,:σσ若,则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射:可考虑分段映射,即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ,则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①:'1a a =+②:)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①:a a =?1;②:a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ,则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b

12、若A 是有限集合,则A →A 的不同映射个数为:||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合,则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合,则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射,但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分,定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的,其中+R 表示正实数集合,R 表示实数集合,?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义,只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射,例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合,若规定 2 b a b a +=⊕,ab b a =? 则: (1){+Q ,⊕}构成代数体系,但不满足结合律。 (2){+Q ,?}不构成代数体系,但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ,其中+与×是通常的加法与乘法,则⊕满足结合律。 只需证明等式(b a ⊕)⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证,在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立,假设命题对n=k 成立,令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ,利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立

初一数学笔记

初一数学(上)应知应会的知识点 第一部分 有理数 1.有理数: (1)凡能写成) 0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称 整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ?? ? ? ??? ?? ??? ?负分数 负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ② ?? ? ? ?? ? ?? ??????负分数 正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意:有理数中,1、0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性; (4)自然数? 0和正整数;a >0 ? a 是正数;a <0 ? a 是负数; a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数;a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)注意: a-b+c 的相反数是-a+b-c ;a-b 的相反数是b-a ;a+b 的相反数是-a-b ; (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

(2)绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a ) 0a (0)0a (a a 或?? ?<-≥=) 0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分 类讨论; (3) a 1a a >?= ; a 1a a

《高等数学》读书笔记

类型课程学习名称:高等数学 1 时间:2006.7.7 体裁:说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明: 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合: 元素 2>绝对值及其基本性质

>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小(量)和无穷大(量)6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则

基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用

1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注: 1标识符:红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明:凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤:1 填写结构 2 对照课程阅读,理解弄懂

人教版三年级数学上册知识点汇总(学霸笔记).doc

人教版三年数学上册知点 第一元分秒 1、面上有 3 根,它是()、(分)、(秒),其中走得最快的是(秒 ),走得最慢的是()。(最短,秒最) 2、面上有 (12) 个数字, (12) 个大格, (60) 个小格;每两个数是 (1) 个大格,也就 是(5) 个小格。 3、走 1 大格是 (1) 小;分走 1 大格是 (5) 分,走 1 小格是 ( 1) 分;秒走 1 大格是 (5) 秒,走 1 小格是 (1) 秒。 4、走 1 大格,分正好走 (1) 圈,分走 1 圈是 (60) 分,也就是 (1) 小。走 1 圈,分要走 (12) 圈。 5、分走 1 小格,秒正好走 (1) 圈,秒走 1 圈是 (60) 秒,也就是 (1) 分。 6、从一个数走到下一个数是(1 小 ) 。分从一个数走到下一个数是(5 分 ) 。 秒从一个数走到下一个数是(5 秒 ) 。 7、面上和分正好成直角的有:( 3 点整)、( 9 点整)。 8、公式。(每两个相的位之的率是60) 1=60 分1分=60秒60分=160秒=1分半=30分30分=半 9、常用的位:、分、秒、年、月、日、世等。( 1 世 =100 年, 1 年=12 个月?? ) 第二、四元万以内的加法和减法 1、整千数(:10个一千是一万) 2、数和写数(数写字写数写阿拉伯数字) ①一个数的末尾不管有一个0 或几个 0,个 0 都不。 ②一个数的中有一个0 或的两个 0,都只一个 0。 3、数的大小比: ①位数不同的数比大小,位数多的数大。 ②位数相同的数比大小,先比两个数的最高位上的数,如果最高位上的数相 同,就比下一位,以此推。

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第八周10月18日~10月22日例题 例1. 解方程: (系数化1) (1) x =36 (2) x -=52 (3) x =164 (4) x -=2 105 (5) ..x =0311 (6) .x -=1580 例2. 解方程: (等式的性质) 例3. 解方程: (合并同类项) (1) x -=235 (2) .x +=1 0203 x x x --=13154 例4. 解方程: (移项) 例5. 解方程: (去括号) x x -=+320425 ()()x x x --=++371323 例6. 解方程: (去分母) (1) x x x x +++=21133327 (2) x x x ++--=-31233522510 (3) .....x x -+= 050130040206 绝对值方程 例1. 若||x =3,则x = . 例2. ||x +1=3 例3. ||x --12=3

例4. ||||x x ++-12=5 (利用“零点分段法”分类讨论并化简) 含参数的方程 例1. 解关于x 的方程:ax b = 例2. 解关于x 的方程:mx n x m +=-2 (m ≠2) 补充练习: (1)如果x x =-13122,那么x = (2)如果x y -=+11,那么x = (3)如果 a b =-1 33,那么a = (4)如果a -=23 32 ,那么a = (5)判断 A. 如果m n =,那么am an =. ( ) B. 如果am an =,那么m n =. ( ) C. 如果m n =,那么 m n a a =. ( ) D. 如果m n a a =,那么m n =. ( ) E. 若xy y =,则x =1. ( ) F. 若ax =1,则x a =1 . ( ) (6)下列各式是一元一次方程的有_______________ ①a -=530;②x +1;③m m -=263;④x y +=24;⑤ab c +=4;⑥x x -=51;⑦x =1 5;⑧x =1. (7)按要求填空,并写出计算过程: (?4 )(-?3 )=14. (1)括号内两数相同;(2)两数互为相反数;(3)两数之和为4.

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则

高等数学(张宇)_-_笔记_PDF

目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学(公共部分) 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分(公共部分)

一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)

高等数学归纳笔记(全)

一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

(完整版)数学笔记知识点汇总

数学笔记知识点汇总 一、实数 2、平方根: ①如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根。 ②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。 ③求一个数a 的平方根运算,叫做开平方,其中a 叫做被开方数。 3、算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根 4、立方根: ①如果一个数x 的立方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根。 ②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数a 的立方根的运算叫开立方,其中a 叫做被开方数。 10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式 3、整式运算: 4、分解因式:(1)概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式 (2)方法:提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 (一提二套三分组) 6、分式的运算: 为同分母的分式,再加减。 0a ≥0≥20 a ≥0a 1(0)a =≠其中1(p p a p a -=≠为正整数,a 0)

7、二次根式 ①性质 ②运算 ③最简二次根式:被开方数不含分母;被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 ④同类二次根式:化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式。 ⑤有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式,则他们互为有理化 因式。如:⑥分母有理化:把分母中的根号化去。(方法:分子分母同乘以分母的有理化因式) 三、方程 (二)二次方程 1、概念 ①一元二次方程:只含有一个未知数.....,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法:①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法 3、一元二次方程根与系数的关系:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个实数根为x 1,x 2 则有 如:x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2 x 1x 2 4、根的判别式 △=b 2-4ac ①△>0时,方程有两个不相等的实数根②△=0时,方程有两个相等的实数根③△<0时,方程没有实数根。 a c x x a b x x =?-=+2121,0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>0,0) a b =≥≥0,0) a b =≥>2 (0)a a =≥a =±±m 2 122 1 2 1 4)(x x x x x x -+=-

高等数学学习笔记.

《代数学》辅导纲要 第一章代数运算与自然数 主要内容: 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A→B的单映射σ的定义为:设σ:A→B,若由a1∈A,a2∈A,a1≠a2,就推出σ(a1)≠σ(a2),则称σ为从A到B的单映射。 2、由A→B的满映射σ的定义为:设σ:A→B,若ran(σ)=B,则称σ为从A到B的满映射。 3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射:可考虑分段映射,即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n,则集合A→A的映射共有nn种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①:a+1=a'②:a+b'=(a+b)'. 7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①:a?1=a;②:a?b'=a?b+a 8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得 a=b+k,则称a大于b,b小于a,记为a>b或b

高等数学(张宇)手写笔记

?? 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学(公共部分) 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分(公共部分)

一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)

关于数学读书笔记

《小学数学教学论》读书笔记 注重学生在数学课堂中情感态度的培养 学习了著名数学教育专家李光树老师的《小学数学教学论》第一章《小学数学的教学思想》,我颇有感悟,现浅谈一下自己的一点心得体会。 在数学课堂教学中,既需要注重学生知识、能力和培养,又要注重学生情感态度的培养。应该说,情感态度的培养比知识能力的培养更重要。小学数学课程标准中明确提出:"培养孩子积极思考的态度,使孩子在学习过程中增强学习数学的信心,培养孩子学习数学的兴趣。"我从这几句浅显的话语中悟出了许多深刻的道理。 现代社会是一个知识经济爆炸的年代,社会对孩子的需求也越来越高,作为新一代的教师,我们不仅要培养出成绩优异的孩子,而且要培养出具有自信心的良好心态的孩子。因为实践证明,良好的心态是成功的第一保障,现代儿童的心理问题已经给我们的教育提出了许多严峻的课题。因此,我认为数学课堂上也要注重学生情感态度的培养。 在这个问题上,我认为可以从以下三个方面重点培养,主要是积极主动的参与意识;学习数学的自信心;学习数学的兴趣。仔细思考了一下这三个方面应该是互相联系、辨证统一的。有了积极主动的参与意识,自信心就慢慢培养了起来,有了学习数学的自信心就有了学习数学的兴趣,如何培养孩子这些方面的情感态度。 首先,在课堂上要充分体现以学生为主体,真正体现学生是学习的主人,创设民主、和谐的课堂氛围。在课堂上,教师不能以传统填鸭式的方式教学,要让学生通过操作、实验、交流、讨论等活动,自己经历知识的形成过程,自己总结出结论,充分体现学生自主学习、自主探索,这样慢慢的培养起学生的自主参与意识。 其次,要多给孩子鼓励,多给孩子信心,任何孩子在成长中都会犯这样、那样的错误,在数学学习中也难免如此。这时,老师不要一味地批评,因为过度地批评会让孩子失去信心,会让孩子缺乏思考的勇气,久而久之就会使孩子只学会接受,没有自己的思考和思想,更谈不上学习的自信心和兴趣了。所以,我们在教学中应该多以鼓励为主,多给孩子一些信心,相信你的学生是最棒的。 最后,我认为除了在思想、情感上多以积极的心态培养孩子外,还应该给孩子们创设学习数学的良好氛围,让孩子们在一个喜欢数学的环境中学习,受到熏染,培养孩子的兴趣。 自信心是成功的第一步阶梯,作为一个教师,有义务也有责任为这一步阶梯奠基,要让学校成为培养孩子自信心的摇篮,不要让孩子的自信心被扼杀在了摇篮里。 我要努力让自己的每节课既要注重学生知识能力的培养,又要注重情感态度的培养。 王蓉篇二:数学组业务学习笔记 如何上好小学数学课(2月份) 孔子曰:知之者不如好之者,好之者不如乐之者。随着教学改革的深入,我们的数学课堂教学开始变得更自由、更灵活,学生也始终在愉快的状态下积极地学习数学,这的确是我们数学教学改革的一个可喜变化。著名数学家华罗庚曾说:"就数学本身来说,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的......"入迷才能叩开思维的大门,智力和能力才能得到发展。教师要善于诱发学生的学习兴趣,要充分利用数学课堂,把它创设成充满活力、魅力无穷的空间,从而激发学生的思维,让他们积极地感受数学美,去追求数学美。如何上好数学课,使数学课灵动起来呢? 一、从生活经验入手,创设情境调动课堂气氛 数学知识与现实生活是有密切联系的,新教材中也给出了许多例子,教师要尽量用学生熟悉的生活情境或生活经验入手引出学习内容,这样学生乐于接受。也可以让学生例举数学知识在生活中的应用。小学生有着好奇心、疑问心、爱美心强和活泼好动的特点。数学教师要从这些方面多去思考,充分地发挥小学生非智力因素在学习中的作用,在课堂中创设出学

2020初三数学学霸笔记(中考复习版)

少侠 欢迎走上学而思学霸之路

学而思培优介绍 一、学而思培优简介 学而思培优是成立于2003年的中小学综合性学科教育品牌。2010年10月,作为好未来教育科技有限公司(NYSE:TAL)的前身,学而思培优在美国纽交所上市。目前,学而思培优在北京、上海、广州、深圳等全国六十多个城市开设500余个服务中心,共有员工30000余名,培养优秀学子数百万人次。 成立十余年来,学而思培优始终秉承“激发动力、培养能力”的教育理念,以学科教育为主要载体,采用多元创新的教学方式,培养孩子受益一生的能力,帮助他们收获身心健康、能力提升前提下的学习进步。 二、我们的特色 1.开放课堂——允许家长旁听,开放监督提升教学和服务质量; 2.随时退费——任何原因都可以随时退费,解除家长后顾之忧; 3.优质教学——严格选拔教师,精心打磨教学方式,课上所有环节历经严格设计及演练; 4.优势教研——千人专职教研团队,在统一标准的前提下支撑本地化教学内容; 5.科技赋能——“用科技推动教育进步”,自主研发 ITS教学系统 、云学习系统等先进教育科技产品。 三、教育理念 激发动力,培养能力 激发动力:从“要我学”到“我要学”。展现学习乐趣,实现自驱学习。 培养能力:从“学会”到“会学”。借助学习知识,学会学习本质。 四、授课形式 1.面授课程 作为学而思最早采用的授课形式,面授课程能够让学生和家长深入体验整个教学过程,并与教师实时互动,利用线下场景的浓郁学习氛围激发孩子的学习热情。 2.在线课程 运用互联网直播技术,打破地点和时间的限制,随时随地通过电脑、手机或Pad进行测评、选课、预习、上课和练习。 3.双师课堂 线上线下相结合的教学模式,主讲名师线上高效授课、与学生实时互动,辅导老师线下指导答疑、跟进学生听课和学习情况。 五、高中学科产品 数学 物理 化学 语文 英语 生物 历史 地理 政治

高等数学(函数与极限)完全归纳笔记

目录: 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

初一数学学霸笔记(上册)

初一数学上册知识点复习梳理归纳 第一章丰富的图形世界 一、知识框架 二、知识概念 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。 立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。 2、点、线、面、体 (1)几何图形的组成 点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。 面:包围着体的是面,分为平面和曲面。 体:几何体也简称体。 (2)点动成线,线动成面,面动成体。 3、常见的几何体及其特点 长方体:有8个顶点,12条棱,6个面,且各面都是长方形(正方形是特殊的长方形),正方体是特殊的长方体。 棱柱:上下两个面称为棱柱的底面,其它各面称为侧面,长方体是四棱柱。 棱锥:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。 圆柱:有上下两个底面和一个侧面(曲面),两个底面是半径相等的圆。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 圆锥:有一个底面和一个侧面(曲面)。侧面展开图是扇形,底面是圆。 球:由一个面(曲面)围成的几何体 4、棱柱及其有关概念: 棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。 侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n 棱柱有两个底面,n 个侧面,共(n+2)个面;3n 条棱,n 条侧棱;2n 个顶点。 5、正方体的平面展开图:11种 6、截一个正方体: (1)用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。 注意:①、正方体只有六个面,所以截面最多有六条边,即截面边数最多的图形是六边形. ②、长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处. 三个方向看:从正面看,从左面(或右面)看,从上面看看到几何体的形状图。 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。 主视图:从正面看到的图,叫做主视图。 左视图:从左面看到的图,叫做左视图。 俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。 第二章有理数及其运算 一、知识框架 二、知识概念 1、有理数的概念及分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 整数和分数统称为有理数。 注意:因为有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以把有限小数和无限循环小数都看作分数.

如何做好数学笔记

如何做好数学笔记 孩子升入初一了,随着孩子身心成长的变化,初中学习的知识体系和学习方法都会与小学有所不同——小学注重记忆,而初中更多地需要孩子去思考。俗话说“好记性不如烂笔头”,初中阶段的学习仍应对课堂笔记高度重视,语文课和英语课通常需要靠记笔记便于课后记忆,而初中数学与语文、英语等不同,数学课记笔记也略有讲究。傅茜老师结合自身学习经历,谈一谈记数学笔记的方法。 一、大纲(提纲):大纲一般是老师上课列出的本章(本节)提纲、知识框架。建议记在课本本章(本节)标题边上的空白处,便于章节总复习、期中期末复习的时候从整体上把握所学的知识点和知识框架。根据艾宾浩斯记忆规律,学完一个知识点,应该在上课后的第一天、第二天、第四天、第七天、第十五天分别复习一次,才能比较永久地记忆住这个知识点。一般建议根据提纲回忆相关的定义和概念,如果有记忆不准确或者遗忘的概念,建议用记号笔着重标记出来,反复记忆。 二、基本定义和概念:一般老师上课所讲的概念和定义都会出现在课本上,所以对于书本上有的概念和定义,并不需要再记笔记,只需要用记号笔在课本上划出来着重标记就可以了。一方面,可以提高听课效率,不至于因为记笔记而漏听了老师上课讲的内容;另一方面,用记号笔把定义和概念标记出来能加深记忆,提高效率。 三、补充知识点:老师拓展的知识内容。比如,有理数的第二定义,可以记在书本有理数定义旁边的空白处,便于复习的时候一并掌握。建议数学课的笔记直接写在课本上较好,便于对照课本知识点和例题等一并复习,井井有条,不需要再另写在一个笔记本上。 四、拓展例题:老师在讲解完课本例题之后,往往会引申拓展一个例题,拓展例题一般情况下会是课本例题的变型。建议拓展例题用不同颜色的笔(红笔)写在对应书本例题边上的空白处,不仅要记下拓展例题,更要把拓展例题的详细解答每一个步骤记清楚。复习的时候,先把解题步骤盖住,试图先独立解答这道题,如果不会做,再参看解题步骤。 五、总结规律和典型模型:课堂上老师根据定义、例题等总结出的一般性规律或者是解题的经典模型,这是一堂课的精髓所在,一定提醒要用红笔把规律记在书本笔记醒目的位置上,并在经典模型上标记着重号(比如打上五角星),这样便于在临考前一晚复习的时候,利用最短的时间重点复习考点。

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