河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）

理科数学

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．

1．设集合2

{|2150}M x x x =+-<，2

{|670}N x x x =+-≥，则M

N =（）

A ．(5,1]-

B ．[1,3)

C ．[7,3)-

D ．(5,3)- 2．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则

m ni

+=-（）

A ．1-

B ．1

C ．i -

D ．i

3．设若2

lg ,0,()3,0,a

x x f x x t dt x >??

=?+≤???((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-

4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ?=?”是“a 与b 共线”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,

621===p x x 时，3x 等于

A ．11

B ．8.5

C ．8

D ．7 6．已知

()0,θπ∈，且 sin()4

πθ-=，则 tan 2θ=

A ．

43 B ．34 C ．247- D ．247

7．已1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=?，设

,OC mOA nOB =+(),m n R ∈，则

等于（） A ．

B ．3

C ．33

D ．3

8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和

),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )

A ．???

??--

21 B ．()1,1-- C ． ??? ??--1,21 D ．??

??21,2

9．函数a 的图象恒过定点A ，若点A 在直

线

02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则

m n +的最小值为( ) A ． B ．4 C ．52 D ．9

10．在区间15,????和24,

????上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22

221x y a b +=表示焦点在x

的椭圆的概率为（） A ．

12 B ．1532

C ．1732

D ．31

32 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）

A ．28+

B ．30+

C ．30+

D ．28+

12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为

A ．2,8e ??+∞????

B ．20,8e ?? ???

C ．2,4e ??+∞????

D ．20,4e ??

???

第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．(

)

2x x -+的展开式中3x 的系数为＊＊．

14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1

，则

该双曲线的离心率为＊＊．

15．设点(,)P x y 满足条件??

??+≤≥≤2200

x y y x ，点(,)(0,0)Q a b a b ≤≥满足1≤?OQ OP 恒成立，

其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是＊＊． 16．在ABC ?

中，,sin 22tan

C B

A =+若1A

B =，则12

AC BC +的最大值＊＊．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2

)

1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,1

21n n n

n b b b T S b +???++==

求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为

[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=?，PA b

=．

（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．

20．已知抛物线2

4y x =，直线:l 1

y x b =-

+与抛物线交于,A B 两点．

（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ?面积的最大值．

21．已知函数2

()()x

f x ax e a R =-∈

（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12

f x

<<-．

请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ?=中，D ABC ?为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合）

，延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．

（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；

（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ??=??．

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,

45x t y t ?=-+???=?

（t 为参数）．

（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知1a b +=，对,(0,)a b ?∈+∞，14

|21||1|x x a b

+≥--+恒成立，

求x 的取值范围．

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）

理科数学(答案)

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：

BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14

15． 1

．16 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2

)

1(*N n a a S n n n ∈+=

（Ⅰ）求证数列{}n a

是等差数列；（Ⅱ）设,,1

21n n n

n b b b T S b +???++==

求.n T

解：（Ⅰ）)(2)

1(*N n a a S n n n ∈+=

①

)2(2

)

1(111≥+=

---n a a S n n n ②

①-②得：21

----+=n n n n

n a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a 数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n

1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 2221

12(1)1n b n n n n n n ??∴===- ?+++??

1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ???????

?∴=-+-+-+???+-=-=

? ? ???+++???????

? 12分

18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，

[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：

200.025200.0065200.0032201

x ?+?+?+??=．

所以 0.0125x =． 3分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.0032200.12??=，

因为12000.12144?=，

所以

1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分

（Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

， 4

381(0)4256P X ??

=== ???, 3

141327(1)C 4464P X ????===

???????

, 2

1327(2)C 44128P X ????=== ? ?????,3

34133

(3)C 4464

P X ????===

? ?????, 4

11(4)4256P X ??=== ???

． 10分

0123412566412864256

EX =?+?+?+?+?=．（或414

EX =?=）

所以X 的数学期望为1． 12分

19．已知四棱锥P ABCD -中，

PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的

菱形，120BAD ∠=?，PA b =．（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为

，求

:a b 的值．

19．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分从而平面PBD ⊥平面PAC ．

……………6分（Ⅱ）方法1．过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD

因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥

PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,44a a OD a OM AM =

==，且OH AP

OM PM

………………10分从而·4a OH =

………………11分

tan OD

OHD OH ∠===

所以22916a b =，即4

a b =． ………………………12分

O D

法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y 轴,z

轴建立空间直角坐标系，则

(0,0,),(0,,0)P b D a ,3,,0)8M a ,1

,,0)4

O a …………8分

从而333(0,,),(

,,)8PD a b PM a b =-=

-3

(,,0)4

OD a =-………………9分因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3

(,,0)4

OD a =-．……10分设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得

0,08

PD n ay bz PM n ay bz ?=-=?

+-= 取,,x y b z a =

==，即,,)

n b a = ……………11分

设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等从而tan θ=cos 15

θ=

1cos 5||||OD n OD n a θ?===?

从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分

20．已知抛物线2

4y x =，直线:l 1

y x b =-

+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ?面积的最大值．

解：（Ⅰ）联立2124y x b

y x

=-+???=?，消x 并化简整理得2880y y b +-=．依题意应有64320b ?=+>，解得2b >-．

设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有1212

00,422

x y y x y

++=

-．因为以

AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，

又||

AB ====．所以 ||28AB r ===，解得8

b =-．

所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24

(,4)5

-．故所求圆的方程为2

224()(4)165

x y -

++=．（Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，

又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<

，直线l ：

y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l

的距离

d ==，所以1

||42

AOB S AB d ?=

=-=．令32()2g b b b =+，20b -<<， 24

()343()

3g b b b b b '=+=+，

由上表可得()g b 的最大值为432()327g -=

．所以当4

b =-时，AOB ?的面积取得最大值

21．已知函数2()()x

f x ax e a R =-∈

（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12

f x -<<-．解：（Ⅰ）1a =时，

2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-()2,x f x e ''=-易知

max ()(ln 2)2ln 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分

（Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，

即()20x

f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以

()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．

(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >?>．………………6分

又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分

11()20x f x ax e

'=-=，得1

x e ax =

1121

1()122x x x x x e f x ax e x e e ??=-=-=- ???1(01)x <<………………10分

1111()02x x f x e ??

-'=< ???

，

1(1)()(0)12

f f x f -=<<=-………………12分

另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2

(1)()x e x p x x -'=，当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x

<，不能满足条件．

当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x =>

当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0x

e p x x

=>，

故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()x

e p x x =→+∞，当x →+∞时②

()x e p x x =→+∞，所以2()x e a p x x ==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >

1()0,f x '=即112x e a x =，11112

2111111()(1),((0,1)22

x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．

()20x

f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()x

e a p x x

==由两

个实根，2

(1)

()x e x p x x -'=，

当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x =<，不能满足条件．

当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0x

e p x x =>

当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0x

e p x x

=>，

故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()x

e p x x =→+∞，当x →+∞时②

()x e p x x =→+∞，所以2()x e a p x x ==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >

1()0,f x '=即112x e a x =，11112

2111111()(1),((0,1)22

x x x x x e f x ax e x e e x x =-=

-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．

请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

已知,ABC AB AC ?=中，D ABC ?为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长

BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；

（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ??=??．

解：(Ⅰ)证明：

A 、

B 、

C 、

D 四点共圆

∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,

EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ?与FAB ?相似, AB AD

AF AB

∴=

2AB AD AF ∴=?，…………7分又AB AC =, AB AC AD AF ∴?=?，∴AB AC DF AD AF DF ??=?? 根据割线定理得DF AF FC FB ?=?，……………9分 AB AC DF AD FC FB ??=??．……………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,

45x t y t ?=-+???=?

（t 为参数）．

（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为

22sin ρρθ= ……………………………………………2分

又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[

所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分

（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3

y x =--… ………6分

令0

y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．

又曲线C 为圆，圆

C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC = ……8分所以1MN MC r +=≤………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知1a b +=，

对,(0,)a b ?∈+∞，1

|21||1|x x a b

+≥--+恒成立，

求x 的取值范围．

解：∵ a＞0，b＞0 且a+b=1 ∴

a +

=(a+b)(

)=5+

≥9

，故1

的最小值为9，……5分

因为对a，b∈(0，+∞)，使1

≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，

所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x≤-1时，2-x≤9，

∴ -7≤x≤-1，当 -1＜x＜1

时，-3x≤9，

∴ -1＜x＜1

，当 x≥

时，x-2≤9，∴

≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高三数学高考模拟题(一)

高三数学高考模拟题 (一) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三数学高考模拟题（一）一. 选择题（12小题，共60分，每题5分） 1. 已知集合{}{} M N x x x x Z P M N ==-<∈=?13302，，，，又|，那么集合 P 的子集共有( ) A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 16个 2. 函数y x =-的反函数的图象大致是( ) A B C D 3. 已知直线l 与平面αβγ、、，下面给出四个命题： ()//(),()()////12314若，，则若，若，，则若，，则l l l l l ααββαββγαγγγββ αβαβ⊥⊥⊥⊥⊥?⊥⊥? 其中正确命题是( ) A. (4) B. (1)(4) C. (2)(4) D. (2)(3) 4. 设cos ()31233 x x x =-∈-，且，，则ππ 等于( ) A B C D ....±±±± ππππ 18929518 5. 设a b c a b c =+=-=sin cos cos 1313221426 2 2 ，，，则、、之间的大小关系是( )

A b c a B c a b C a c b D c b a ....>>>>>>>> 6. ()15+x n 展开式的系数和为a x n n ，()572+展开式的系数和为 b a b a b n n n n n n ，则lim →∞-+234等于( ) A B C D ....- --12131 71 7.椭圆 x y M 22 4924 1+=上有一点，椭圆的两个焦点为F F MF MF MF F 121212、，若，则⊥?的面积是( ) A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 8. 已知椭圆x y t 22 1221 1+-=()的一条准线的方程为y =8，则实数t 的值为( ) A. 7和－7 B. 4和12 C. 1和15 D. 0 9. 函数y x x x =+2sin (sin cos )的单调递减区间是( ) A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z .[].[].[].[]28278 27821588 58 3878 ππππ ππππππ ππ ππππ-+∈++∈-+ ∈+ +∈，，，， 10. 如图在正方体ABCD －A B C D 1111中，M 是棱DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A B 11上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角( ) A. 是π4 B. 是π 3 C. 是π 2 D. 与P 点位置有关 1 A 11. 在平面直角坐标系中，由六个点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，－2)、C(2，4)、D(－2，－1)、E(2，1)可以确定不同的三角形共有( )

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<