一种新的非平稳信号分析方法

数字信号处理

学号：130080402025

学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：XXX

任课教师：李志农

教师所在学院：测试与光电工程学院2013年12月

13级4班

一种新的非平稳信号分析方法

——局部特征尺度分解法

XXX

（南昌航空大学测试与光电工程学院，南昌江西330063）

摘要：在研究内禀时间尺度分解(Intrinsic Time-Scale Decomposition,ITD)方法的基础上提出了一种新的自适应时频分析方法——局部特征尺度分解(Local Characteristic-scale

Decomposition,LCD)方法,该方法可以自适应地将一个复杂的多分量信号分解为若干个

瞬时频率具有物理意义的内禀尺度分量(Intrinsic Scale Component,ISC)之和。首先对

LCD方法的原理进行了分析,

关键词：局部特征尺度分解；时频分析；内禀时间尺度分解；非平稳信号

引言

经典的傅里叶变换方法只能处理线性和平稳信号,而自然界中的大部分信号是非线性和非平稳的。由于时频分析方法能同时提供非平稳信号在时域和频域的局部化信息而得到了广泛的应用。典型的时频分析方法有短时傅里叶变换、Wigner-Wille分布、小波变换等[1]。但这些方法都有各自的缺点,如窗口傅里叶变换具有固定的时频窗口,Wigner-Wille分布[2-3]存在交叉项干扰,而小波变换则需要事先选择小波基,缺乏自适应性[3]。

这样就出现了自适应时频分析，自适应时频分析方法的特点主要表现在不需要对被分析信号的形态特征或者信息做出预测和限制的前提下，可以在对信号进行分解的过程中根据信号本身的特性自动产生基线信号，从而使得分解结果具有一定的物理意义[4]。其中，最具代表性的是EMD方法，该方法在定义瞬时频率具有物理意义的内禀模态函数(简称IMF)的基础上，将复杂得多分量信号自适应的分解为若干个IMF分量之和，进一步对每个IMF分量进行希尔伯特变换求出瞬时频率和瞬时幅值，从而得到原始信号的完整的时频分布[5]。

局部均值分解是另外一种新的自适应时频分析方法，该方法将一个单分量的调幅调

频信号看成是其本身的包络信号和一个纯调频信号的乘积，即PF(Product function)分量。该方法首先采用极值点获得局部均值函数和包络估计函数，然后在对原始信号不断解调的过程中获得瞬时频率具有物理意义的纯调频信号和相应的包络信号，将纯调频信号和包络信号相乘便可以得到一个PF 分量，从而可以将复杂信号自适应地分解为若干个PF 分量之和[6]。

由上述可知，EMD 方法与LMD 方法有一个共同点，那就是首先采用基于极值点的局部特征尺度参数定义一种瞬时频率具有物理意义的单分量信号，然后据此对信号进行自适应分解。实际上，EMD 方法中定义的IMF 分量或者LMD 方法中定义的PF 分量需要满足的条件都只是瞬时频率具有物理意义的充分条件，而并非必要条件，也就是说满足其他条件的单分量信号的瞬时频率也同样可以具有物理意义。因此，本文采用基于极值点的局部特征尺度参数，定义了另一种瞬时频率具有物理意义的单分量信号——内禀尺度分量，并在此基础上提出了一种新的自适应时频分析方法——局部特征尺度分解方法[7]。

1 局部特征尺度分解方法的基本原理

1.1 内禀尺度分量的定义

为了定义瞬时频率具有物理意义的 ISC 分量，考察瞬时频率[8]具有物理意义的典型单分量信号，如正弦(或余弦)信号、调幅信号、调频信号、调幅—调频信号。图1给出了这4种典型信号的波形图，在图1中，连接任意两个相邻的极大(小)值点，再过其中的极小(大)值点B 做纵坐标轴的平行线，两条线相交于 A 点。从图1中可以看出，在这4种典型信号中相邻两个极值点的时间跨度都无规律可循。但是，它们都有一个共同点，那就是图1中的A 点与B 点相对于时间坐标轴对称或近似对称。由此，可以给出瞬时频率具有物理意义的单分量信号所需要满足的条件，将满足该条件的单分量信号定义为ISC 分量，并在此基础上提出了LCD 方法[9]。

LCD 方法假设任何复杂信号由不同的ISC 分量组成，任何两个ISC 分量之间相互独立，这样任何一个信号)(t x 就可以被分解为有限个ISC 分量之和，其中任何一个内禀尺度分量(ISC)需满足以下两个条件：

( Ⅰ )整个数据段内，任意两个相邻的极大值与极小值之间呈现单调性。

( Ⅱ )整个数据段内，设所有极值点为k X , M k ,......2,1 ( M 为所有极值点个数)，对

应的时刻为k τ，M k ,......2,1=。由连接任意两个相邻的极大值点(或极小值) ),(),(22++k k k k X X ττ、确定的直线k l ，即直线k k k

k k k X t X X y +---=++)(22τττ，在二者之间的极值点1+k X 所对应的时刻1+k τ处的函数值(记为1+k A )与1+k X 的比值保持不变。更一般情况，即要满足：0)1(11=-+++k k X a aA )1,0(∈a ，以及)(2211k k k

k k k k k X X X A ---+=++++ττττ， 即满足：

μ (6)

622===X A X A （1）

图1 瞬时频率具有物理意义的四种典型信号

如图2所示，)1,0(∈a 其中为一常量，典型地，2

1=

a ，例如正弦或余弦信号、调幅信号、调频信号、调幅—调频信号等。

图2 ISC 分量满足的条件

以上两个条件保证了ISC 分量任意两个极值点之间具有单一的模态，而且在局部(极值点与相邻的零交叉点之间)吻合标准正弦曲线，因此瞬时频率具有物理意义[10]。

1.2 局部特征尺度分解方法的分解过程

对任意信号)(t x 进行局部特征尺度分解，将其分解为若干个ISC 分量之和，其步骤如下：

(1)确定)(t x 的所有极值k X ，M k ,......2,1=及其相对应的时刻k τ,M k ,......2,1=，并设置参数a ，在任意两个相邻极值点之间对)(t x 进行线性变换，得到 ))((111k t k

k k k k X x X X L L L P ---+=++ ],(1+∈k k t ττ （2） 与 =-+=+++111)1(k k k X a aA L 1221)1()]([++++-+---+k k k k

k k k k X a X X X a ττττ （3） 理想地， 1P 为一个ISC 分量，则1P 为信号)(t x 的第1个分量。

(2)如1P 不满足ISC 的条件，则将1P 作为原始信号重复步骤（1），循环k 次，直到得到内禀尺度分量k P ，k P 即为信号)(t x 的第1个分量1ISC 。

(3)将1ISC 从)(t x 中分离出来，得到一个新的信号1r ，将1r 作为原始信号重复步骤(1)、

(2)，得到)(t x 的第二个满足ISC 条件的分量2ISC ，重复循环n 次，得到信号)(t x 的n 个满足 ISC 条件的分量，直到n r 为一单调函数为止。这样便可以将)(t x 分解为n 个内禀尺

度分量ISC 和一个单调函数n r 之和，即)()()(1

t r t ISC t x n n

p p +=∑= [11]

LCD 方法的创新点在于基于信号的局部特征时间尺度，定义了瞬时频率具有物理意义的ISC 分量，并据此以任意两个相邻的极值点为跨度，以分段的形式对信号进行线性变换，实现对信号的自适应分解，从而得到瞬时频率和瞬时幅值具有物理意义的ISC 分量，进而得到原始信号的完整的时频分布[12]。

2 LCD 和EMD 的仿真信号分析

考察如式（4）的仿真信号，其由两个单分量的信号组成，时域波形如图3所示。 ))30cos()250cos()5sin(5.01()(t t t t x πππ++= ]1,0[∈t （4）

首先采用LCD 方法对此信号进行分解，得到了两个ISC 分量和一个余量。从图3所示的各分量的幅值可以看出与原信号的各部分有对应关系。因为LCD 方法采用分段的形式对任意两个相邻的极值点之间的数据段进行线性变换而实现对整个数据段的分解，迭代次数会大大减少，而且该方法没用插值拟合技术，不会出现拟合误差，所以这样分解结果的端点效应相对于EMD 方法不明显，从图3也可以看出，这充分说明了LCD 方法的有效性[13]。

图3 仿真信号时域波形和LCD 分解结果

对上述信号进行EMD 分解，但是在EMD 的分解过程中，求包络平均值的时候，是对原信号中数据的极大值与极小值进行三次样条拟合形成上下包络线，然后进行平均

的，在应用三次样条插值时，如果原信号中的两个端点处的数值不是数据的极值点，在进行三次样条拟合的时候，就会使拟合误差增大，进而产生端点效应问题。得到的结果如图4所示，从图中可以看出第二个分量(IMF2)端点效应比较严重[14]。

图4 EMD分解结果

为了减弱端点效应对分解结果的影响[15]，采用对原信号端点数据延长的方法对图3、图4的端点效应进行处理，处理后的结果如图5、图6所示。由两图可以看出取得了比较好的效果[15]。

图5 LCD端点效应处理后的分解结果

图6 EMD端点处理后的分解结果

3LCD方法的优缺点

通过上述对LCD方法原理的阐述，并采用仿真信号对LCD、EMD二种方法进行对比，可以看出LCD方法的优点：

(1)与EMD方法一样，LCD方法也是基于局部特征尺度参数的自适应信号分解方法。在信号分析中，信号的局部特征尺度参数都只与相邻的两个特征点有关，因此局部特征尺度参数反映了信号随时间变化的局部特征。而LCD方法采用分段的形式分别对任意两个相邻的极值点之间的数据段进行线性变换而实现对整个信号的分解。因此，LCD方法正是基于局部特征尺度参数的一种自适应信号分解方法。而EMD方法虽然也都是基于局部特征尺度参数的自适应信号分解方法，但是在EMD分解的过程中形成的上、下包络线都是由所有的极值点决定的。所以，相对于EMD方法，LCD方法具有更优良的时频局部化特性，从而能更有效地提取原始信号的局部化信息，获得信号的内在本质特征。

(2) LCD方法采用线性变换的形式对信号进行分解，避免EMD方法采用三次样条线形成上、下包络线时产生的过包络、欠包络问题，更加重要的是避免了包络误差。

(3) LCD方法采用线性变换的形式对信号进行分解，避免了EMD方法计算量大的问题。因为EMD方法中采用三次样条线形成上、下包络线对局部均值函数和包络估计

函数进行平滑，同时还需要解调以获得纯调频信号，计算量都较大。因此，LCD方法提

高了运算速度，更适合用于在线监测[16]。

自适应时频分析方法实现了对信号自适应，高分辨时频分析，但其也有一些问题。LCD方法能快速的将一信号分解为各个ISC分量之和。但经研究发现其分解信号的分量也会有失真，即也有能量泄露现象(即频率混淆[17])，尤其是对于由几个频率相近的信号组成的复杂信号。并且LCD方法采用对信号逐段进行线性变换的方法而使得迭代次数少，因而端点效应不明显[18]。

4 LCD方法在滚动轴承故障诊断中的应用

当齿轮发生故障时，其振动信号大多为多分量的调幅—调频信号，特别是在齿轮箱的故障诊断中，振动信号具有多个啮合频率，在对其解调分析时需要进行带通滤波，但是滤波中心频率的选择具有主观性，因此需要对信号进行自适应滤波。实测的轴承为6311型滚动轴承，故障是通过在外圈激光切割开槽来设置的，槽宽为0.15mm，槽深为0.13mm。振动加速度信号由安装在轴承座上的加速度传感器拾取[19]。

图7所示是测得的外圈有凹槽的滚动轴承振动加速度信号的时域波形，实验时采样频率为4096Hz，轴转频率为25Hz。经计算，滚动轴承外圈故障特征频率为

f＝76Hz。

图7 外圈故障滚动轴承振动加速度信号

采用标准差判据[20]对该信号进行LCD方法分解，由于滚动轴承信号的主要信息集中在高频段，因此只选取分解结果的前两个ISC分量，如图9所示。

图8 LCD方法分解结果的前两个分量

采用基于Hilbert变换的包络解调方法分别对

ISC进行解调，再进行包络谱分析[21]，

1

得到的谱图如图9所示。

ISC的包络谱图

图9

1

从图中可以看出，外圈故障特征频率76Hz处都存在着明显的谱线，与实际情况相符，由此可说明LCD方法识别滚动轴承外圈故障的有效性[22]。

5 结论

本文提出了一种新的信号自适应时频分析方法—局部特征尺度分解方法(Local characteristic-scale decomposition，简称LCD)，并用LCD方法对仿真信号和齿轮的实际振动加速度信号进行了分析，从中可以看出LCD方法能很好的提取各信号的信息特征，说明了LCD方法的有效性[23]。

LCD方法的提出为自适应时频分析方法提供了一条新的思路，但还有一些理论问题需要研究和完善，例如端点效应、模态混淆以及LCD方法适用的信号范围等。随着这些问题的深入研究，相信LCD方法能够得到广泛的应用[24]。

参考文献

[1]Ingrid Daubechies[美],著.李建平,杨万年,译.小波十讲[M].北京:国防工业出版社,2004.

[2]Huang N E, Shen Z and Long S R. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time seriesanalysis[J]. Proceedings of the Royal Society,1998, 454: 903-995.

[3]Huang N E, Shen Z, Long S R. A new view of nonlinear water waves: the Hilbert spectrum [J].Annu. Rev. Fluid Mech.,1999,31:417—457.

[4]程军圣，张亢，杨宇等.局部均值分解与经验模态分解的对比研究[J].振动与冲击,2009.

[5]杨宇，曾鸣，程军圣.局部特征尺度分解方法及其分量判据研究[J].中国机械工程,2013.

[6]程军圣，于徳介，杨宇.基于EMD的能量算子解调方法及其在机械故障诊断中的应用[J].机械工程学报,2004.

[7]杨宇，曾鸣，程军圣.一种新的时频分析方法——局部特征尺度分解[J].湖南大学学报，2012.

[8]Mark G.Frei,Ivan Osorio.Intrinstic time-scale decomposition: analysis and real-time filtering of non-stationary signals[J]. Proceedings of the Royal Society, 2007,463:321-342.

[9]程军圣，郑近德，杨宇.基于局部特征尺度分解的经验包络解调方法及其在机械故障诊断中的应用[J].机械工程学报,2012.

[10]李志农，刘卫兵，易小兵. 基于局域均值分解的机械故障欠定盲源分离方法研究[J]. 机械工程学报，2011，41(7)：97-102.

[11]郑近德，程军圣，杨宇.部分集成局部特征尺度分解:一种新的基于噪声辅助数据分析方法[J].电子学报,2013.

[12]程军圣，杨怡，杨宇.局部特征尺度分解方法及其在齿轮故障诊断中的应用[J].机械工程学报,2012.

[13]李海龙.基于局部特征尺度分解的齿轮故障诊断方法研究[D].湖南大学，2012.

[14]于德介，程军圣，杨宇著.机械故障诊断的Hilbert-Huang变换方法[M].北京:科学出版社,2006.

[15]NING Jing，ZHU Changqian，GAO Pinxian，et al.Research on extending end data in empirical mode decomposition[J].Computer Engineering and Applications, 2011,47(3): 125-128.

[16]程军圣，张亢，杨宇.基于噪声辅助分析的总体局部均值分解方法[J].机械工程学报，2011，47(3)：55-62.

[17]薛嫚.总体平均经验模式分解方法的理论研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2007.

[18]杨宇，曾鸣，程军圣.局部特征尺度分解方法及其分解能力研究[J].振动工程学报,2012.

[19]熊学军，郭炳火，胡筱敏.EMD方法和Hilbert谱分析法的应用与探讨[J].海洋科学发展,2002.

[20]W.J.Wang,Application of Wavelets to Gearbox Vibration Signals for Fault Detection[J], Journal of Sound and Vibration.1996,192(5), 927-939.

[21]程军圣，郑近德，杨宇.一种新的非平稳信号分析方法—局部特征尺度分解法[J].振动工程学报,2012.

[22]Frei M G, Osorio I. Intrinsic time-scale decomposition: Time-frequency-energy analysis and real-time filtering of non-stationary signals[J]. Proc. Royal Soc. A,2007.

[23]程军圣，张亢，杨宇.局部均值分解方法在调制信号处理中的应用[J].振动、测试与诊断,2010.

[24]程军圣，李海龙，杨宇.基于内禀尺度分量的自适应时频分析方法[J].中南大学学报，2013.

[25]李庆扬，王能超.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2008.

[26]张贤达.现代信号处理第二版[M]. 北京:清华大学出版社,2002.

[27]张安华.机电设备状态监测与故障诊断技术[M].西安:西北工业大学出版社,1995.

[28]贝兹J A . 信号处理、调制与噪声[M].张志明，译.北京：人民邮电出版社，1985.

[29]王仁宏，朱功勤.有理函数逼近及其应用[M].北京:科学出版社，2004.

[30]何正嘉，訾艳阳，孟庆丰等.机械设备非平稳信号的故障诊断原理及应用[M].北京:高等教育出版社,2004.

[31]黄志坚.机械设备振动故障监测与诊断[M].北京:化学工业出版社,2010.

[32]方道远.非线性波动方程[M].杭州:浙江大学出版社,2008.

[33]John H. Mathews，Kurtis D. Fink著，陈渝，周璐等译.数值方法[M].北京:电子工业出版社,2002.