高三二轮复数、向量、算法与推理
第二讲复数、平面向量、程序框图与合情推理
命题要点：（1）复数的概念与复数的运算。（2）平面向量在解析几何中的运用，平面向量与三角，不等式，方程、函数结合的综合运用（3）算法中的三种基本逻辑机构：顺序结构、条件结构、循环结构。（4）归纳推理与类比推理。 命题趋势：（1）复数主要考查概念、代数运算、求模等，常以课本内容为主。（2）平面向量在高考中主要侧重以下几个方面：向量的概念及其简单的线性运算，以向量作为工具，研究平面向量的共线等问题；平面向量的数量积的运算及其运用，以数量积的条件来判断两向量是否垂直于垂直的条件。（3）算法初步一般以程序框图作为考查的重点，考查学生对算法思想和程序框图的应用。（4）归纳推理和类比推理常与数列、函数、三角灯知识进行综合考查。 命题规律：（1）复数每年高考必考内容，属基础题，以选择题、填空为主。（2）平面向量的概念及线性运算常以三角形或则平行四边形为载体进行命题，主要以选择题、填空题为主，难度不大，以中低档题为主；向量的数量积的运算、化简、证明等问题多以客观题为主，难度不大，侧重对综合能力的考查（3）算法初步是每年高考必考内容，难度不大，属基础题，以选择题、填空题为主；（4）归纳推理和类比推理往往以选择题、填空题的形式出现，考查学生的逻辑思维能力。 题型分析 类型一 复数 (1)共轭复数
复数z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝a －b i. (2)复数的模
复数z ＝a ＋b i 的模|z |.
(3)复数相等的充要条件
a ＋
b i ＝
c ＋
d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈ R)． 特别地，a ＋b i ＝0?a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R)． （4）复数的四则运算
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 12z 2＝(a ＋b i)2(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝
a ＋
b i
c －
d i c ＋d i c －d i ＝
ac ＋bd ＋bc －ad i
c 2＋
d 2
(c ＋
d i≠0)
[例1] (1)(2012年高考天津卷)i 是虚数单位，复数5＋3i
4－i
＝( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，
则z2＋z2的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[解析](1)利用复数的乘法、除法法则求解．
5＋3i 4－i ＝
（5＋3i）（4＋i）
42＋1
＝
17＋17i
17
＝1＋i.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0. [答案](1)C (2)A
跟踪训练
1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则z1
z2
在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z1
z2
＝
1－3i
3－2i
＝
（1－3i）（3＋2i）
（3－2i）（3＋2i）
＝
9－7i
13
，
在复平面内对应的点为(
9
13
，－
7
13
)，在第四象限，选D.
答案：D
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b
i 为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法．
∵a＋b
i
＝a－b i为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0?ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋b
i
为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
方法总结：1. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可。
2. 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
3. 任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．
类型二平面向量
1．平面向量的线性运算法则
(1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件
存在两非零向量a，b，则
(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.
3．向量垂直的条件
(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a2b＝0.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
4．夹角与模
(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则
①cos θ＝
a 2b
|a ||b |
；
②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2x 21
＋y 21
x 22
＋y
22
.
(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝ x 2＋y 2.
[例2] (1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝2，点E 为BC 的
中点，点F 在边CD
上，若AB
2AF
AE
2BF
的值是________．
[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解． ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，
∴a 2b ＝|a |2|b |cos 45°＝2
2
|b |， |2a －b |2＝4－43
2
2
|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.
[答案] (1)3 2 (2)2
跟踪训练
1. (20112兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1
解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得??
?
λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1.故选
D.
答案 D
2. (20112西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )． A.? ????79，73 B.? ????－73，－79
C.? ??
??73，79
D.? ????
－79
，－73
解析 设c ＝(m ，n )，
则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．
∵(c ＋a )∥b ，∴－33(1＋m )＝23(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－7
3.
答案 D
3. (20112合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →
＝2PM →，则PA →2(PB →＋PC →)＝________.
[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.
解析 如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →2(PB →＋PC →)
＝PA →22PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.
答案 －4
9
方法总结：1. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
2. 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2
，因为x 2，
y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
3. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． 类型三 算法与程序框图
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构． 2．循环结构一定包含条件结构．
[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )
A ．8
B ．18
C ．26
D ．80
(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )
A．P＝
N
1 000
B．P＝
4N
1 000
C．P＝
M
1 000
D．P＝
4M
1 000
[解析](1)按照循环条件，逐次求解判断．
运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行三次后S＝8＋
33－32＝26，此时n＝4，输出S.
(2)采用几何概型法．
∵x i，y i为0~1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
当2
i
x＋2i y≤1时，点(x i，y i)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限
的1
4圆内，当2
i
x＋2i y>1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．
∴有
1
4
4
N
M
π
π
-
=，Nπ＝4M－Mπ，π(M＋N)＝4M，π＝
4
1000
M
.
[答案](1)C
(2)D
跟踪训练
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为( )
A ．12
B ．－1 C.
12
D ．2
解析：第一次循环：s ＝12
，i ＝2；
第二次循环：s ＝－1，i ＝3；
第三次循环：s ＝2，i ＝4；…易知当i ＝2 012时输出s ，
因为循环过程中s 的值呈周期性变化，周期为3，又2 012＝67033＋2， 所以运行结果与i ＝2时输出的结果一致，故输出s ＝
12
.
答案：C
方法总结：利用循环结构表示算法，第一要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体． 类型四 合情推理
1．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论． 2．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠． [例4] (2012年高考陕西卷)观察下列不等式
1＋122<32
，
1＋122＋132<53，
1＋122＋132＋142<74
，
……
照此规律，第五个不等式为________________． [解析] 归纳观察法． 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列． ∴第五个不等式为2
2
2
2
2
1111
11112
3
4
56
6
++++
+
<
[答案] 2
2
222111111112
3
4
5
6
6
+
+
+
++<
跟踪训练
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ，b ，c ，则由勾股定理有：a 2＋b 2＝c 2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．
解析：由图可得S 1＝1
2OM 2ON ，S 2＝
12
OL 2ON ，
S 3＝1
2OM 2OL ，
S 4＝1
2ML 2NL 2sin ∠MLN
＝
12ML 2NL 21－cos 2∠MLN ＝12ML 2NL 2
1－（ML 2＋NL 2－MN 2）2ML 2NL
）2
＝
14
24ML 2
2NL 2
－（ML 2
＋NL 2
－MN 2
）2
.
∵OM 2＋ON 2＝MN 2，
OM 2＋OL 2＝ML 2， OL 2＋ON 2＝LN 2， ∴S 4＝
1
2
OM 22ON 2＋OL 22ON 2＋OM 22OL 2， ∴ S 2
1＋S 2
2＋S 2
3＝S 2
4.
答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2
4.
方法总结：1. 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论。
2. （1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 经典作业：
1．(人教A 版教材习题改编)复数－i
1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )．
A.15 B ．－15 C ．－15．－25
解析 －
i
1＋2i ＝－i 1－2i 1＋2i 1－2i －2－i
5
＝－25－15i.
答案 D
2．(20112天津)设i 是虚数单位，复数1－3i
1－i
＝( )．
A ．2－i
B ．2＋i
C ．－1－2i
D ．－1＋2i 解析
1－3i 1－i ＝12(1－3i)(1＋i)＝1
2
(4－2i)＝2－i. 答案 A
3．(20112湖南)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )． A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1
解析 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得：－1＋a i ＝b ＋i ，根据复数相等得：a ＝1，b ＝－1. 答案 C
4．(20112广东)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )． A ．2－2i B ．2＋2i C ．1－i D ．1＋i 解析 z ＝
2
1＋i ＝21－i 1＋i 1－i 21－i 2
＝1－i.
答案 C
5．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C.BC →－1
2BA →
D.BC →＋1
2
解析 如图，
CD →
＝CB →＋BD →
＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.
答案 A
6．(20112四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
＝( )．
A ．0 B.BE → C.AD →
D.CF →
解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案 D
7. (人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)
B ．(－4，－3)
C ．(－3，－4)
D ．(－3,4)
解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)． 答案 C
8. (20122郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析 设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A
9. (人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a 2b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4
解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a 2b |a ||b |＝－3332＝－1
2.又0≤θ≤π，
∴θ＝
2π
3
. 答案 C
10. (20112广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c 2(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c 2(a ＋2b )＝c 2a ＋2c 2b ＝0. 答案 D
11. (20112天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析 因为该程序框图执行4次后结束，所以输出的i 的值等于4，故选择B. 答案 B
12. (20112湖南)若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．
解析算法的功能是求解三个数x1，x2，x3的方差，输出的是S＝
1－22＋2－22＋3－22
3＝
2
3
.
答案2 3
13. (人教A版教材习题改编)数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )．A．28 B．32 C．33 D．27
解析从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x＝20＋12＝32.
答案 B
14.(20112山东)设函数f(x)＝x
x＋2
(x>0)
观察：f1(x)＝f(x)＝
x
x＋2
，
f2(x)＝f(f1(x))＝
x
3x＋4
，
f3(x)＝f(f2(x))＝
x
7x＋8
，
f4(x)＝f(f3(x))＝
x
15x＋16
，……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.
解析 根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n
，分母中x 的系数为2n
－1，故f n (x )＝
x 2n －1x ＋2n
.
答案
x 2n
－1x ＋2n
.
15. (20102安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝
12
13
. (1)求AB →2AC →；
(2)若c －b ＝1，求a 的值．
先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解
决．
[解答示范] 由cos A ＝12
13
，得sin A ＝ 1－? ????12132＝513
.
又1
2
bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)
(1)AB →2AC →
＝bc cos A ＝15631213
＝144
(2)a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(c －b )2
＋2bc (1－cos A ) ＝1＋231563? ????
1－1213＝25，又a ＞0(10分)
∴a ＝5。
16. (20112合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →
＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.
[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．
∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴??
?
x ＋3＝3，y ＋4＝24，
得??
?
x ＝0，y ＝20.
∴M (0,20)．
同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
复数单元测试题含答案 百度文库
一、复数选择题 1．复数3 (23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 2． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 3．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35 i C ． 35 D ．65 - 5．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．i C i D i 6．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 8．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 9．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若2 2 (2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知i 为虚数单位，则43i i =-（ ） A ． 2655 i + B ． 2655 i - C ．2655 i - + D ．2655 i - -
复数基础测试题试题库
Word 文档 23． 512i i －＝( )．A ．2－i B ．1－2i C ．－2＋i D ．－1＋2i 24．设a 是实数，且112 a i i ＋＋ ＋是实数，则a 等于 ( ) A.12 B ．1 C.3 2 D ．2 25．i 是虚数单位， 33i i ＋＝( )． A. 13412i - B. 13412i ＋ C. 1326i + D.1326 i - 26．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．－5＋5i D. 5＋5i 27．在复平面，复数 2i i +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 28．设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ． 29．已知虚数z 满足等式i z z 612+=- ，则z= 30．在复平面，复数2i 1i z = +（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 __________象限． 31．在复平面，复数(2－i)2对应的点位于________． 32．设复数z 满足|z|＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________． 33．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为________． 34．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 35．设(1＋2i)z ＝3－4i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 36．已知i 是虚数单位，则2 234i i （＋） －＝________． 37．已知z ＝(a －i)(1＋i)(a ∈R ，i 为虚数单位)，若复数z 在复平面对应的点在实轴上，则a ＝________． 38．复数z ＝2＋i 的共轭复数为________． 39．在复平面复数 21i i －对应点的坐标为________，复数的模为________． 40．若复数z ＝1－2i ，则z z ＋z ＝________.41．复数131i i －－＝________. 42．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i ，则z 的实部为________． 43．m 取何实数时，复数z ＝26 3 m m m －－＋＋(m 2－2m －15)i. (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数． 44．已知复数z ＝22 76 1 m m m －＋－＋(m 2－5m －6)i(m ∈R)，试数m 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 45．若z 为复数，且 2 1z z ＋∈R ，求复数z 满足的条件． 46．已知复数z 1＝3和z 2＝－5＋5i 对应的向量分别为1OZ ＝a ，2OZ ＝b ，求向量a 与b 的夹角． 47．解关于x 的方程 ①x 2＋2x ＋3＝0；②x 2＋6x ＋13＝0. 48．计算下列各式： (1)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ；(2) 36(13)2(1)12i i i i －＋－＋－ ＋＋. 49．实数m 取什么值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
《复数》单元测试题 百度文库
一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 5．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12 y x = C ．直线1 2 x =- D ．直线12 y 7． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 9．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 11．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ． 35 B ．15- C ．15 D ． 3 5 12．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i - 13．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -
江苏苏州工业园区星海实验中学复数基础测试题题库百度文库
一、复数选择题 1．复数21i =+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 3．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 4．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1 C ．z = D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 5．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 6．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ?+的模长为（ ） A ．6 B C ．5 D 8．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 9．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 10．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．11．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④ z z ，其结果一定是实数的是（ ）
复数的向量表示(一) 教案示例
复数的向量表示(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义． 2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质． 内容分析 1．如图5－1，复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi．其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时用大写． 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特点之外，其他与直角坐标系是一样的．比如它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等． 因为任何一个复数z＝a＋bi，都是由一个有序实数对(a，b)唯一确定，所以复数集与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．比如点(a，0)与实数a对应，点(0，b) 与纯虚数bi对应，点(a，b)与复数a＋bi对应． 2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭复数有许多有用的性质，随着后续学习，我们会逐步体会到应用这些性质来解题的优越性． 由共轭复数的定义，我们可以得到： (4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称． 3．本课补充了三道例题．例1是为巩固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计的．例2涉及复数的几何表示及解析几何等有关知识，其难点是解一元二次不等式组．估计部分学生会有些困难，教学中，教师要根据实际情况对学生进行启发和指导．例3涉及共轭复数的性质及解析几何中曲线与方程等有关知识，解题的关键是将问题化归成学生熟悉的问题——解析几何中动点轨迹问题． 教学过程 1．复习提问 (1)虚数单位i的两个规定的内容是什么？ (2)填空： 复数z的代数形式是________；当________时，z为实数；当________时，z为虚数；当________时，z为纯虚数；z的实部为________；虚部为________．
高中数学选修2-2复数单元测试卷
章末检测 一、选择题 1.i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A.i ∈S B.i 2∈S C.i 3∈S D.2i ∈S 答案 B 2.z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 因为z 1＝z 2， 所以????? m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2， 所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件. 3.设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( ) A.若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22 B.|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2 C.z 21＋z 22＝0?z 1＝z 2＝0 D.z 1－z 1是纯虚数或零 答案 D 解析 举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22 都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与 (z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21 ＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数.故D 正确. 4.已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则 m ＋n i m －n i 等于( ) A.－1 B.1 C.－i D.i 答案 D
复数基础测试题题库
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 一、选择题（题型注释） 1．若复数z 的实部为1，且||2z =，则复数z 的虚部是（ ） A 2．设i 是虚数单位，复数 10 3i -的虚部为（ ） A ．-i B ．-l C ．i D ．1 3．已知i 为虚数单位，a R ∈，如果复数21a i i --是实数，则a 的值为（ ） A 、4- B 、2 C 、2- D 、4 4．已知i 为虚数单位，复数1z i =+，z 为其共轭复数，则22z z z -等于 （ ） A 、1i -- B 、1i - C 、1i -+ D 、 1i + 5．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．1 2- D ．2- 6．设z=1–i （i 是虚数单位）i 2 的虚部是 A ． 1 B ．－1 C ．i D ．－i 7．设a 是实数，若复数 2 11i i a -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0=+y x 上，则a 的值为（ A.1- B.0 C.1 D.2 8．已知复数z 满足() 1z =（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知i 是虚数单位,=( A.i - B. C.1- D. 10．设(2)34 i z i +=+,则z =( A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 12i + 11．设(2)34i z i +=+,则z =( A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 12i + 12．已知a 是实数， 是纯虚数，则a 等于（ ） A. 1 B. 13．已知a 是实数，则a 等于（）A.1 B.1- C.14．已知(12)43i z i +=+，则z z = A ．543i - B ．543i + C ．534i + D ．534i - 15．复数 21i i +（i 是虚数单位）的虚部为( )A ．1- B ．i C ．1 D ．2 16（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17（i 是虚数单位）所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 18．在复平面内，若z ＝m 2 (1＋i)－ m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(0,3) B ．(－∞，－2) C ．(－2,0) D ．(3,4) 19．设a ∈R ，且(a ＋i)2 i 为正实数，则a 等于 A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 20．i 是虚数单位，3 21i i －＝( A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－i D ．－1－i 21 ( )．A ．－i D ．i 22 ( )．
高二数学复数单元测试题
高二复数单元测试题 姓名： 学号： 班级： 时间 90分钟 满分100分 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(1－i)2 ·i ＝ （ ） A ．2－2i B ．2+2i C ． 2 D ．－2 2．设复数ωω++- =1,2 321则i =（ ） A ．ω- B ．2 ω C ．ω 1 - D ． 2 1ω 3．复数4 )11(i +的值是 （ ） A ．4i B ．－4i C ．4 D ．－4 4．在复平面上复数i,1,4+2i 所对应的点分别是A 、B 、C,则平面四边形ABCD 的对角线BD 的长为 ( ) (A)5 (B)13 (C)15 (D) 17 5．复数10 1( )1i i -+的值是 （ ） A ．－1 B ．1 C ．32 D ．－32 65 的值是 ( ) A ．－16 B ．16 C ．－14 D ．144- 7．若复数(m 2 －3m －4)＋(m 2 －5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（ ） （A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6 8．已知复数z 1＝3+4i ，z 2＝t+i ，且12z z 是实数，则实数t ＝ （ ） A ． 4 3 B ． 3 4 C ．- 3 4 D ．- 4 3 9． =+-2 ) 3(31i i （ ） A ． i 4 341+ B ．i 4 341-- C ． i 2 321+ D ．i 2 321-- 10．若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
复数的向量表示
复数的向量表示 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教学目标 掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量； 理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系； 掌握复数的模的定义及其几何意义； 通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想； 通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法． 教学建议 一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式． 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
三、教学建议 1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视． 2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与
(完整版)复数单元测试题(一)
一、选择题 1、复数12z i =-+对应的点在复平面的（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、已知复数34z i =-，则z =（ ） A 、34i + B 、34i -+ C 、34i -- D 、43i -+ 3、复数z 满足12i z 24i -+-=-+，那么z =（ ） A 、12i + B 、3i -+ C 、12i - D 、36i -+ 4、复数2 z i i =+的模等于（ ） A 、1 B C 、0 D 、2 5、下列命题中，假命题是( ) A 、两个复数不可以比较大小 B 、两个实数可以比较大小 C 、两个虚数不可以比较大小 D 、一虚数和一实数不可以比较大小 6、复数22(56)(3)0m m m m i -++-=，则实数m =（ ） A 、2 B 、3 C 、2或3 D 、0或2或3 7、计算 1i i +的结果是（ ） A 、1i -- B 、1i -+ C 、1i + D 、1i - 8、方程20x x a -+=有一个复根是122 -，则另一个复根是（ ） A 、12+ B 、12-+ C 、12- D 、无法确定 二、填空题 9、若z a bi =+，则z z -=____________，z z ?=____________。 10、1i =____________， 11i i +=-____________。 11、复数234z i i i i =+++的值是___________。 12、在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是13i +，i -，2i +，则点D 对应的复数为 。 13 o o 。 三、解答题 14、已知复数22 (32)(2)z m m m m i =++++-,m R ∈。 根据下列条件，求m 值。 （1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数。
复数的向量表示数学教案
复数的向量表示数学教案 教学目标 (1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量; (2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系; (3)掌握复数的模的定义及其几何意义; (4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想; (5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法. 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式. 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离. 三、教学建议 1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视. 2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成―一对应关系，而点又与复平面的向量构成―一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形
复数单元测试题含答案
一、复数选择题 1．复数1 1z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i + C ． 1122 i + D ． 1122 i - 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ． 12 B ． 2 C D ．2 4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35 i C ． 35 D ．65 - 7．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 8．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 9．复数12i z i = +（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 11．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i
复数练习(含答案)
复数基础练习题 一、选择题 1．下列命题中： ①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； ③x ＋y i ＝2＋2i ?x ＝y ＝2； ④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 4．(2011年高考湖南卷改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1 5．复数z ＝3＋i 2对应点在复平面( ) A ．第一象限内 B ．实轴上 C ．虚轴上 D ．第四象限内 6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3 7．复数z ＝12＋12i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A ．3＋i B ．3－I C ．－3－i D ．－3＋i 9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34－I C ．－34－i D.34＋i 10．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i 11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( ) A ．5－6i B ．3－5i C ．－5＋6i D ．－3＋5i 12．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i 13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.11 5 B.3I C.11 5＋3i D.11 5＋23i 15．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( ) A ．1－3i B ．11i －2 C ．i －2 D ．5＋5i 16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．5 B. 5 C ．6 D. 6 17．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22 D.1 2 18．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 19．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈S D.2 i ∈S 20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋I C ．1＋3i D ．3
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式 一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形 式z＝rexp (iθ) 。
向量 在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
高二选修2-2《复数》单元测试卷及其答案
复数单元测试题 一、选择题。（每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --1 2．0=a 是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ） A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数i i +-12对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．设复数ω++-=ω1,2 3 21则i =（ ） A ．ω- B ．ω-1 C ．2ω D ．2 1ω 5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ） A ．0ad bc -= B ．0ac bd -= C ．0ac bd += D ．0ad bc += 6．如果复数i bi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A ．3 2- B ．3 2 C ．2 D ．2 7．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ） A ．22± B ．22 - C ．i 22± D ．i 22- 8．设O 是原点，向量,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．i 55- B ．i 55+- C ．i 55+ D ． i 55-- 9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++Λ的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．i D ．i - 10．复数8)11(i +的值是 （ ） A ． i 16 B ． i 4 C ．16 D ． 4 11．对于两个复数i 232 1+ -=α，i 2 3 21--=β，有下列四个结论：①1=αβ；
复数与平面向量
一.复数小题 （一）命题特点和预测：7年7考，每年1题，主要考查复数的实部、虚部、共轭复数、纯虚数等概念、复数的加减乘除运算、复数的摸、复数相等的充要条件等知识，有时与简易逻辑结合，难度为基础题，18年仍将继续考查复数的有关概念与运算，难度仍为送分题． （二）历年试题比较： ：若复数满足，则 ：若复数满足，则 ：若复数满足，则 ：若复数，则. ．．． ）设是实数，则 满足= ） （ C. ．．
下面是关于复数 的四个命题： 复数 ．－． 【解析与点睛】 （2017年）【解析】令 ，则由得，所以， 故正确； 当时，因为 ，而 知，故不正确； 当时，满足 ，但 ，故 不正确； 对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选B. （2016年）【解析】因为 所以 故选 B.
（三）命题专家押题 已知复数满足： 已知为虚数单位，复数的虚部为，则实数（ B. C. D. ，则 已知复数满足是的共轭复数，则 若复数满足则其共轭复数 下面是关于复数的四个命题：：；：；： 的共轭复数为的虚部为，其中真命题为（ D. ， 在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数复数
D. 已知复数（为虚数单位）给出下列命题：① ；② 的虚部为. C. 已知复数满足 为虚数单位），则 __________【详细解析】 1.【答案】C 4.【答案】C 【解析】由题意得，∴，∴ ．选C ． 5.【答案】A 【解析】∵=1﹣i ，∴z= ，∴，则在复平面内对应的
点的坐标为（），位于第一象限，故选：A． 6.【答案】C 【解析】因为的虚部为，所以是真命题，故选C. 7.【答案】D 【解析】由题意可得，，所以，对应点坐标(0,-1),选D. 8.【答案】C 二.平面向量小题 （一）命题特点和预测：分析近7年的高考题发现，7年7考，每年1题，主要考查平面向量的线性运算、平面向基本定理、平面向量向量数量积及利用数量积处理垂直、夹角和长度问题,多数为基础题，个别年份以三角形、四边形、梯形、圆等平面图形为载体，考查平面向量基本定理与平面向量数量积及其应用，难度为中档难度，18年高考在考查知识点方面、题型、难度方面仍将保持稳定，可能适度创新． （二）历年试题比较：
【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式
复数的向量表示及复数的三角形式 基础概念 一、基础知识概述 由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义． 二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示： 复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明： （1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数； （2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即2 2||||b a r bi a Z += =+=． 2、复数的三角形式及运算： （1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明： 不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中02 2 ≥+= b a r ，r a = θcos ，r b = θsin ． 说明： 任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． （3）复数的三角形式的运算： 设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=?i r r Z Z ；
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数就是高中数学的重要内容,联系紧密,联系就是在复平面进行的。随着知识的发展,相互对应相互促进就是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量的运算,可以对应有关的复数运算、复数与向量的这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来,在计算推理中发挥它们的联系作用,将就是一件高效快乐的事情、 一 复数商与内积的联系 复数运算,向量运算之间的许多联系,在现有课本里就是可以学习到的,下面我们来瞧复数商与内积的联系、 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i,它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别就是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2)、 然后复数作商: 代数式作商:21z z =2221122121| |)()(z i b a b a b b a a -++;-------------(1) 三角式作商:21z z =| |||21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=22212 1| |z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=22211 2||z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式: (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2||||212 121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围,使得|θ 1-θ2|∈),0[π,所以1oz 与2oz 的夹角就就是|θ1-θ2|)、 (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2)、 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2-a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|,这就是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,就是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式、 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式,向量的内积,平行四边形面积的公式、 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别就是)sin (cos 1111θθi r z +=,
海南省儋州一中复数基础测试题题库doc
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．0或1 3． 212i i +=-（ ） A ．1 B ．?1 C ．i - D ．i 4．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1＋i 5．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 6．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 7．已知复数3 1i z i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 8．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．1- 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 12．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --
复数单元测试题(一)
一、复数选择题 1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ?? ? D ．43,55?? - ??? 2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1- 3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有 1z =，则a b +=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．若20212zi i =+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i - D ．12i + 5．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5 B C ． D ．5i 6． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 7．复数z 满足12i z i ?=-，z 是z 的共轭复数，则z z ?=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．9．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 10．若1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 11．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 12．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）