【高考数学】二轮大复习 专题一函数与导数、不等式 第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题
第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题
高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.
真题感悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()
A.－1
B.－2e－3
C.5e－3
D.1
解析f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·e x－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·e x－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·e x－1，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x<－2或x>1时，f′(x)>0，
当－2 答案 A 2.(2016·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x ＋1)的切线，则b＝________. 解析直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由y＝ln x＋2，得y′＝1 x；由y＝ln(x＋1)，得y′＝ 1 x＋1 . ∴k＝1 x1＝ 1 x2＋1 ，则x1＝ 1 k，x2＝ 1 k－1. ∴y 1＝2－ln k ，y 2＝－ln k ，即A ? ????1k ，2－ln k ，B ? ?? ??1k －1，－ln k .∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴?????2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·? ?? ??1k －1＋b ??????b ＝1－ln 2， k ＝2. 答案 1－ln 2 3.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ). ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ? ?? ??－a 2. 当x ∈? ?? ??－∞，ln ? ????－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈? ?? ??ln ? ????－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在? ????－∞，ln ? ????－a 2上单调递减，在区间? ?? ??ln ? ????－a 2，＋∞上单调递增. (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立. ②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ? ????－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ? ?? ??ln ? ????－a 2＝a 2? ?????34－ln ? ????－a 2， 故当且仅当a 2? ?????34－ln ? ????－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0. 综上，a 的取值范围是[－2e 34，0]. 考 点 整 合 1.导数的几何意义 函数f (x ) 在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在 点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点. 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0，且a≠1)； (4)(log a x)′＝ 1 x ln a(a>0，且a≠1，x>0). 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. ②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. ①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件. 热点一 导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________. (2)(2017·邯郸调研)? ?? ??x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝a 及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S ＝________. 解析 (1)设x >0，则－x <0， 因为x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x . 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2. 所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. (2)因为? ????x 2＋a 2x 6展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C 36? ?? ??a 23＝20，解得a ＝2， 所以曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2＝2在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为π4－??0 1(x －x 2)d x ＝π4－? ????12x 2－13x 3???10＝π4－16. 答案 (1)2x －y ＝0 (2)π4－16 探究提高 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为x ＝φ(y )的形式，同时，积分上、下限必须对应y 的取值. 【训练1】 (1)已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线，则??－1 1[(x ＋2)f (x )]d x ＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 (2)(2017·长郡中学调研)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点? ?? ??π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝____________. 解析 (1)由y ＝f (x )图象，易知f (x )＝?????x ＋1，x ∈[－1，0]， －x ＋1，x ∈（0，1]. 所以原式＝???－10 (x ＋2)(x ＋1)d x ＋??0 1(－x ＋1)(x ＋2)d x ＝???－10(x 2＋3x ＋2)d x ＋??01(－x 2－x ＋2)d x ＝? ????13x 3＋32x 2＋2x ???0－1＋? ????－13x 3－12x 2＋2x ???10 ＝56＋? ?? ??－56＋2＝2. (2)y ′＝（2－cos x ）′sin x －（2－cos x ）（sin x ）′sin 2x ＝1－2cos x sin 2x ， 则曲线y ＝2－cos x sin x 在点? ?? ??π2，2处的切线的斜率为k 1＝1. 因为直线x ＋ay ＋1＝0的斜率k 2＝－1a ， 又该切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直， 所以k 1k 2＝－1，解得a ＝1. 答案 (1)C (2)1 热点二 利用导数研究函数的单调性 命题角度1 确定函数的单调性(区间) 【例2－1】 已知函数f (x )＝? ?? ??k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0， (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性； (2)若k ∈[4，＋∞)，曲线y ＝f (x )上总存在相异两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)使得曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处切线互相平行，求x 1＋x 2的取值范围. 解 (1)因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1 ＝? ????k ＋4k x －4－x 2x 2＝－（x －k ）? ????x －4k x 2(x >0，k >0). ①当0 所以x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立， 所以f (x )在(0，2)上是减函数， ③当k >2时，0<4k <2，k >4k ， 所以x ∈? ????0，4k 时，f ′(x )<0，x ∈? ?? ??4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在? ????0，4k 上是减函数，在? ????4k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)， 则k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4k x 2－4x 22 －1， 化简得4(x 1＋x 2)＝? ?? ??k ＋4k x 1x 2， 又x 1x 2 ??x 1＋x 222， ∴4(x 1＋x 2) ??x 1＋x 222， 即x 1＋x 2>16k ＋4k 对k ∈[4，＋∞)恒成立， 令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2>0. ∴g (k )＝k ＋4k 在[4，＋∞)上是增函数， 所以g (k )≥g (4)＝5，所以16k ＋4k ≤165，所以x 1＋x 2>165， 故x 1＋x 2的取值范围为? ?? ??165，＋∞. 探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. 2.解答本例容易出现以下错误： (1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x >0. (2)对k 分类讨论不全，题目中已知k >0，对k 分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面. 【迁移探究1】 若将本例中的条件“k >0”变为“k <0”，其他条件不变，f (x )在(0， 2)上的单调性如何？ 解 由例2－1解析知f ′(x )＝－（x －k ）? ????x －4k x 2在(0，2)上f ′(x )<0，故f (x )在(0，2)上为减函数. 【迁移探究2】 在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋∞)，其他条件不变，求函数f (x )的单调区间. 解 由例题知f ′(x )＝－（x －k ）? ????x －4k x 2 . ①当0 ??k ，4k . ②当k ＝2时，k ＝4k ＝2，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数. ③当k >2时，k >4k ，f (x )的单调减区间为? ????0，4k 和(k ，＋∞)，增区间为? ?? ??4k ，k . 命题角度2 根据函数的单调性求参数的取值范围 【例2－2】 (2017·兰州二模)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x . (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x ， 则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝（x －1）（x －2）x . 当0 ∴f (x )的单调增区间为(0，1)与(2，＋∞)，单调减区间为(1，2). (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数， ∴g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2a x －2≥0恒成立. 即x 2－2x －2a x ≥0在x ∈(0，＋∞)上恒成立. ∴x 2－2x －2a ≥0当x >0时恒成立， ∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立. 又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12. ∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立. 又当a ＝－12，g ′(x )＝（x －1）2x 当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0. 故当a ∈? ?? ??－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增. 探究提高 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的范围. 2.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解. 【训练2】 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围； (3)函数f (x )是否为R 上的单调减函数？若是，求出a 的取值范围？若不是，请说明理由. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x ， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0， 因为e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立. 因为e x ＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0， 则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1 对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1， 则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2 ＞0. 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1 在(－1，1)上单调递增. 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－ 11＋1＝32. 所以a 的取值范围是???? ??32，＋∞. (3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立. 因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立. 所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的. 故函数f (x )不可能在R 上单调递减. 热点三 利用导数研究函数的极值和最值 命题角度1 求函数的极值、最值 【例3－1】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间? ?????0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0， ∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)，即y ＝1. (2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2sin x ·e x ≤0在? ?????0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在? ?????0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在? ?????0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ? ?? ??π2＝－π2. 命题角度2 与函数极值点个数有关问题 【例3－2】(2017·绵阳诊断)已知a∈R，函数f(x)＝a e x－x－1，g(x)＝x－ln(x＋1)(e＝2.718 28…是自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)极值点的个数； (2)若a＝1，且命题“?x∈[0，＋∞)，f(x) 解(1)因为f(x)＝a e x－x－1，所以f′(x)＝a e x－1， 当a≤0时，对?x∈R，f′(x)＝a e x－1<0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数f(x)没有极值点. 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝－ln a. 若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上是减函数， 若x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－ln a，＋∞)上是增函数. 当x＝－ln a时，f(x)取得极小值为f(－ln a)＝ln a， 函数f(x)有且仅有一个极小值点x＝－ln a. 所以当a≤0时，f(x)没有极值点，当a>0时，f(x)有1个极小值点. (2)命题“?x∈[0，＋∞)，f(x) 若a＝1，则设F(x)＝f(x)－kg(x)＝e x＋k ln(x＋1)－(k＋1)x－1， 所以F′(x)＝e x＋ k x＋1 －(k＋1)， 设h(x)＝e x＋ k x＋1 －(k＋1)， 则h′(x)＝e x－ k （x＋1）2 ，且h′(x)是增函数，所以h′(x)≥h′(0)＝1－k. ①当k≤1时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数， h(x)≥h(0)＝0，即F′(x)≥0，所以F(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以F(x)≥F(0)＝0，即f(x) ②当k>1时，因为h′(x)＝e x－ k （x＋1）2 在[0，＋∞)是增函数，因为h′(0)＝1－ k<0，h′(k－1)＝e k－1－1 k>0. 所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0， 当x ∈[0，x 0)时，h ′(x ) 从而h (x )≤h (0)＝0，即F ′(x )≤0，所以F (x )在[0，x 0)上单调递减， 所以当x ∈(0，x 0)时，F (x ) 所以不等式f (x ) 综上所述，实数k 的取值范围为(1，＋∞). 探究提高 1.求函数f (x )的极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解. 3.求函数f (x )在闭区间[a ，b ]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练3】 (2017·郴州二模选编)已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x . (1)当a >0时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)当a <0时，求函数f (x )在???? ??12，1上的最小值. 解 (1)由函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x －ln x ， 可得f ′(x )＝2ax ＋(1－2a )－1x ＝（2ax ＋1）（x －1）x ， 令f ′(x )>0，因为a >0，x >0， ∴2ax ＋1x >0，∴x －1>0，得x >1， ∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞). (2)由(1)可得f ′(x )＝2a ? ????x －1－2a （x －1）x ，因为a <0，令f ′(x )＝0，得x 1＝－12a ， x 2＝1，