中考数学-2013年广东珠海中考数学试卷及答案(word解析版)

2013年珠海市中考试题

数 学

（满分120分，考试时间100分钟）

第一部分（选择题 共30分）

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，满分15分）在每小题列出的四个选项中，只有

一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选项涂黑. 1. (2013年广东珠海，1，3)实数4的算术平方根是 A .－2 B .2 C . ±2 D . ±4

【答案】B

2. (2013年广东珠海，2，3)如图，两平行直线a 、b 被直线l 所截，且∠1=60°，则∠2的

度数为 A .30° B .45° C .60° D .120°

第2题图

【答案】C

3. (2013年广东珠海，3，3)点(3，2)关于x 轴的对称点为

A . (3，－2)

B . (－3，2)

C . (－3，－2)

D . (2，－3)

【答案】A

4. (2013年广东珠海，4，3)已知一元二次方程：①x 2+2x +3=0②x 2－2x －3=0，下列说法

正确的是

A .①②都有实数解

B .①无实数解，②有实数解

C .①有实数解，②无实数解

D .①②都无实数解

5. (2013年广东珠海，5，3)如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直

径BE 上，∠ADC =54°，连接BE ，则∠AEB 的度数为 A .36° B .46° C .27° D .63°

第5题图 【答案】A

二、填空题(本大题5小题，每小题4分，共20分)请将下列各题的正确答案填在答题卡相

应的位置上. 6. (2013年广东珠海，6，4)使式子12 x 有意义的x 的取值范围是 .

【答案】x ≥－

2

1 7. (2013年广东珠海，7，4)已知函数y=3x 的图象经过点A (－1，y 1)、点B (－2，y 2)，则

y 1 y 2(填“＞”或“＜”或“=”). 【答案】＞

8. (2013年广东珠海，8，4)若圆锥的母线长为5cm ，底面圆的半径为3cm ，则它的侧面展

开图的面积为 cm2(结果保留π). 【答案】15π

9. (2013年广东珠海，8，4)已知实数a 、b 满足a +b =3，ab =2，则a 2+b 2= .

【答案】5

10. (2013年广东珠海，9，4)如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四

边的中点得到第一个正方形A 1B 1C 1D 1，又顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1四边中点得到第二个正方形A 2B 2C 2D 2，…，以此类推，则第六个正方形A 6B 6C 6D 6周长是 .

【答案】

2

1

第10题图

三、解答题(一)(本大题5小题，每小题6分，共30分)

11. (2013年广东珠海，11，6)计算：3221)13(3101

-+--??

?

??-.

【答案】解：原式=3－1+

32－21=6

13

. 12. (2013年广东珠海，12，6)解方程：

2-x x －4

12-x =1. 【答案】解：方程两边乘(x +2)(x －2)，得 x (x +2)－1=(x +2)(x －2).

解得x =－23. 检验：x =－23时(x +2)(x －2)≠0，x =－2

3

是原分式方程的解.

13. (2013年广东珠海，13，6)某初中学校对全校学生进行一次“勤洗手”问卷调查，学校

七、八、九三个年级学生分别为600、700、600人.经过数据整理，将全校的“勤洗手”

调查数据绘制成统计图：

(1)根据统计图，计算八年级“勤洗手”学生人数，并补全下面的两幅统计图；

(2)通过计算说明哪个年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大？

第13题图

【答案】解：(1)300÷25%=1200(人)，1200×35%=420(人).

所以八年级“勤洗手”学生人数为420人.

九年级占得百分比为1―25%―35%=40%.补全两幅统计图如下：

(2) 七年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为300÷600=50%，八年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为420÷700=60%，九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例为480÷600=80%，所以九年级“勤洗手”学生人数占本年级学生人数的比例最大.

14.(2013年广东珠海，14，6)如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求证：

BC=DC.

第14题图

【答案】证明：∵∠BCE=∠DCA，

∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，

即∠BCA=∠DCE.

∵AC=EC，∠A=∠E，

∴△BCA≌△DCE(ASA).

∴BC=DC.

15. (2013年广东珠海，15，6)某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012

年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010―2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率.

【答案】解：设2010―2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意，得

10(1－x)2=8.1.

x1=0.1，x2=1.9(不符合题意，舍去).

答：2010―2012年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%.

四、解答题(二)(本大题4小题，每小题7分，共28分)

16.(2013年广东珠海，16，7)一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC.

如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角是30°，然后然后沿正东方向前行62米到达D点，在点D测得山顶A点的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上，且测

量仪的高度忽略不计).求小岛的高度AC.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.4，

3≈1.7)

第16题图

【答案】解：由题意知，∠ADC =60°，∠ABC =30°，设AC =x 米. 在Rt △ACD 中，tan60°=

CD

AC

， ∴CD=

?60tan AC =3

x =33x

.

在Rt △ACB 中，tan30°=

BC

AC

， 即

3

3=3

362x x +

.

解得x=313≈53.

所以小岛的高度AC 为53米.

17. (2013年广东珠海，17，7)如图，⊙O 经过菱形的的三个顶点A 、B 、C ，且与AB 相

切于点A .

(1)求证：BC 为⊙O 的切线； (2)求∠B 的度数.

第17题

【答案】(1)证明：如下图，连接AO 、CO . ∵AB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AB .

∴∠BAO =90°.

∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC .

∵AO =CO ，BO =BO ， ∴△BAO ≌△BCO (SSS). ∴∠BCO =∠BAO =90°. 即OC ⊥BC .

∴BC 为⊙O 的切线.

(2)连接BD ，由菱形、圆的对称性，BD 过圆心，即B 、O 、D 三点共线.

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB =AD ，∴∠ABO =∠ADO . ∵OA =OD ，∠OAD =∠ODA . ∴∠AOB =2∠ADO =2∠ABO . ∵∠ABO +∠AOB =90°，∴∠ABO +2∠ABO =90°.

∴∠ABO =30°.

∴∠ABC =2∠ABO =2×30°=60°.

18. (2013年广东珠海，18，)把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A 袋内，把分别

标有数字

31、31、41、51、6

1

的五个小球放入B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A 、B 两个袋子不透明. (1)小明分别从A 、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个球上的数字互为倒数的概率； (2)当B 袋中标有

61的小球上的数字变为 时(填写所有结果)，(1)中的概率为4

1

. 【答案】解：(1)列表如下：

有表可知，所有可能出现的结果共有20种，它们出现的可性相同，其中两个球上的数

字互为倒数的有4种，所有P(两个球上的数字互为倒数)=204=5

1. (2)

21或31或41或5

1. 19. (2013年广东珠海，19，7)已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 在x 轴负半轴上，

点B 在y 轴正半轴上，OA =OB ，函数y =－x

8

的图象与线段AB 交于M 点，且AM =BM .

(1)求点M 的坐标； (2)求直线AB 的解析式.

第19题图

【答案】解：(1)过点M 分别作MC ⊥OA 于C ，MD ⊥OB 于D . ∵AM =BM ， ∴MC =

21OB ，MD =2

1

OA . ∵OA =OB ，∴MC =MD .

设点M 的坐标为(－a ，a )， ∵点M 在函数y=－x

8

的图象上， ∴a =－

a

-8. 解得a =22.

∴点M 的坐标为(－22，22). (2)∵点M 的坐标为(－22，22)， ∴MC =MD =22， ∴OA =OB =42.

∴点A 的坐标为(－42，0)， 点B 的坐标为(0，42). 设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则有

????

?==+-.

24024b b k ，解得???==.241b k ，

∴直线AB 的解析式为y=x+42.

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 20. (2013年广东珠海，20，9)阅读下面材料，并解答问题.

材料：将分式1

3

2

24+-+--x x x 拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 解：由于分母为－x 2+1，可设－x 4－x 2+3=(－x 2+1)(x 2+a )+b .

则－x 4－x 2+3=(－x 2+1)(x 2+a )+b=－x 4－ax 2+x 2+a +b =－x 4－(a －1)x 2+(a +b ). ∵对于任意x ，上述等式均成立，∴?

?

?=+=-.311b a a ，

∴a=2，b=1.

∴13224+-+--x x x =11)2)(1(222+-+++-x x x =1

)

2)(1(2

22+-++-x x x +112+-x = x 2+2+

1

12

+-x .

这样，分式1

32

24+-+--x x x 被拆成了一个整式x 2

+2与一个分式112+-x . 解答：

(1)将分式18

6224+-+--x x x 拆成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.

(2)试说明1

8

62

24+-+--x x x 的最小值为8. 【答案】解：(1) 解：由于分母为－x 2+1，可设－x 4－6x 2+8=(－x 2+1)(x 2+a )+b . 则－x 4－6x 2+8=(－x 2+1)(x 2+a )+b=－x 4－ax 2+x 2+a +b =－x 4－(a －1)x 2+(a +b ). ∵对于任意x ，上述等式均成立，∴?

?

?=+=-.861b a a ，

∴a=7，b=1.

∴186224+-+--x x x =11)7)(1(222+-+++-x x x =1

)

7)(1(2

22+-++-x x x +112+-x

= x 2+7+

1

12+-x .

这样，分式1

86224+-+--x x x 被拆成了一个整式x 2

+7与一个分式112+-x .

(2)∵－x 2+1的最大值为1，∴

1

12+-x 的最小值为1.

又∵x 2+7的最小值为7，

又∵1

86224+-+--x x x = x 2

+7+112+-x ，

∴1

8

62

24+-+--x x x 的最小值为7+1=8. 21. (2013年广东珠海，21，9)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 为AC 边上的一点，

将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转(点P 对应点P ′),当AP 旋转至AP ′⊥AB 时，点B 、P 、P ′恰好在同一直线上，此时作P ′E ⊥AC 于点E . (1)求证：∠CBP =∠ABP ； (2)求证：AE =CP ； (3)当

PE CP =2

3

，BP ′=55时，求线段AB 的长.

第21题图

【答案】(1)证明：由旋转的性质可得AP =AP ′，∴∠APP ′=∠AP ′P . ∵∠BPC =∠APP ′，∴∠BPC =∠AP ′P . ∵ AP ′⊥AB ，∴∠ABP +∠AP ′P =90°.

∵∠C =90°，∴∠CBP +∠BPC =90°. ∴∠CBP =∠ABP .

(2)证明：如下图，作PF ⊥AB 于F . ∵∠CBP =∠ABP ，PC ⊥BC ， ∴PF =CP .

∵AP ′⊥AB ，PF ⊥AB ，∴∠AFP =∠P ′EA =90°. ∴∠APF +∠P AF =90°，∠P AF +∠P ′AE =90°. ∴∠APF =∠P ′AE .

∵AP =AP ′，

∴△AFP ≌△P ′EA (AAS). ∴PF =AE . ∵PF =CP ， ∴AE =CP .

(3)∵∠C =∠PEP ′，∠BPC =∠P ′PE ，

∴△BCP ∽△P ′PE .

∴

PE CP =P P BP

'，即23=P P P P '

'-55.

∴PP ′=25. ∵

PE CP =2

3

，AE =CP ，AP =AP ′， 设CP =3x ，则PE =2x ，AE =3x ，AP ′= AP =5x ， ∴P ′E =4x .

在Rt △PEP ′中，(2x )2+(4x )2=(25)2， ∴x =1.

∴AP ′=5x =5.

在Rt △BAP ′中，AB =22P A P B '-'=2

2

5)55(-=10.

22. (2013年广东珠海，22，9)如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的边OA 、

OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上，且长分别为m 、4m (m >0)，D 为边AB 的中点，一抛物线l 经过点A 、D 及点M (－1，－1－m ).

(1)求抛物线l 的解析式(用含m 的式子表示)；

(2)把△OAD 沿直线OD 折叠后点A 落在点A ′处，连接OA ′并延长与线段BC 的 延长线交于点E ，若抛物线l 与线段CE 相交，求实数m 的取值范围；

(3)在满足()2的条件下，求抛物线l 顶点P 到达最高位置时的坐标.

【答案】(1)解：∵OA =m ，AB =4m ，D 为边AB 的中点， ∴点A (0，m )，点D(2m ，m ). 设抛物线l 的解析式为y =ax 2+bx +c .

把点A (0，m )，点D (2m ，m )，M (－1，－1－m )代入y =ax 2+bx +c ，得

??

???--=+-=++=.1242

m c b a m c m b a m m c ，

， 解得??

?

??==-=.21m c m b a ，，

∴抛物线l 的解析式为y =－x 2+2mx +m .

由折叠可知，OA =OA ′=m ，A ′D =AD =2m ，∠ADO =∠ODA ′.

∵AB ∥OC ，∴∠DOF =∠ADO ，∴∠DOF=∠ODA′，∴OF =OD . 设OF =x ，则OD =x ，A ′F =2m －x . ∴m 2+(2m －x )2=x 2.

x =4

5m . ∴OF =

45m ，A ′F =4

3m . 过点A ′作A ′H ⊥OF 于H .

∵∠A ′OF =∠A ′OF ，∠A ′HO =∠O A ′F =90°， ∴△O A ′H ∽△OF A ′.

∴

OF A O OA OH F A H A '==''，即m m

m OH m H A 4

543=

='. ∴A ′H =53m ，OH =4

5m .

∴点A ′(

45m ，5

3m ). 直线OA ′的解析式为y =－

4

3

x . ∵直线CE 的解析式为x =4m ， ∴点E (4m ，－3m ).

把点E (4m ，－3m )代入y =－x 2+2mx +m ，得m =2. 把点C (4m ，0) 代入y =－x 2+2mx +m ，得m =8

1. ∴实数m 的取值范围为

8

1

≤m ≤2. (3) y =－x 2+2mx +m

=－(x －m )2+m 2+m .

显然当m =2时，抛物线l 顶点P 到达最高位置， ∴抛物线l 顶点P 到达最高位置时的坐标为(2，6).