高考数学函数的单调性1

高考数学函数的单调性1
高考数学函数的单调性1

第二章函数

第五节:函数的单调性

教学目的:1.理解函数单调性的概念,会利用定义证明函数的单调性.

2.掌握简单复合函数单调性的判断,会用函数的单调性处理问题.

教学重点:函数的单调性及其运用。

教学难点:复合函数的单调性讨论。

教学方法:讲练结合。

学法指导:注意体会例题中所讲的方法,并加以应用。

教学过程:

一、知识点复习:

1.单调函数及单调区间

(1)增函数:对任意x1,x2∈[a,b]

,则为[a,b]的增函数.在[a,b上的图象从左向右看,曲

线逐渐上升,如图

(2)减函数:对任意x 1,x2∈[a,b],x1<x2,则为[a,b]的减函数.从图象上看,从左向右曲线逐渐下降.如图

2.函数单调性的证明方法

一定要用定义,其步骤为:

(1)任取x1,x2∈M,且x1

(2)论证或(一般用作差法或作商法)

(3)根据定义,得出结论

[例如]判断函数,(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.

[解] 设-1

1

∵,∴a>0时,函数在(-1,1)上递减;a<0时,函数在(-1,1)上递增.

3.复合函数的单调性

如果和单调性相同,那么是增函数;如果和

单调性相反,那么是减函数.即的单调规律是“同则增,异则减”,即与g(x)若具有相同的单调性。则必为增函数,若具有不同的单调性,则

必为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:

①求出复合函数的定义域;

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数,并判定其单调性;

③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围;

④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.(如下表)

4.函数的单调性在比较大小,解不等式及求参数范围中的运用.

[例如] 设是定义在上的增函数,且,若,

,求x的取值范围.

[解] ∵,令x=9,y=3,∴,

又∵,∴,

又∵,

由,

由在上为增函数,得

故x的取值范围是

5.函数的单调性在函数的诸多性质当中,占有最重要的地位,而函数在每年高考中,是占有较大比重的,所以说,函数的单调性是高考的重中之重.一点不为过.前些年考察用定义来证明函数的单调性.近些年,题型在不断翻新.题目是“恒成立”的题,考察的都是函数的单调性.考得较“隐蔽”,如下面的例子就是典型一例。有的题目明摆的是考查单调性,却与“探索”连在一起,虽然熟悉单调性的证明,如果平时不加强多题型的训练,也不一定能在高考中处于不败之地.

[例如]设,其中n∈R,n是任意给定的自然数.且n≥2,如果在x∈(-∞,1]上有意义,求a的取值范围.

思路:不难得到,关键在于如何求

的最大值,注意到函数,(m=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上为减函数,问题就迎刃而解了.

[解]∵,

∴,

∵函数 (m=1,2,…,n-1)在(-∞,1]上是减函数.

∴函数在(-∞,1]上是增函数.当x=1时,

∴a的取值范围是

6.判断函数单调性的常用方法:

(1)定义法;

(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数;

(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;

(4)互为反函数的两个函数有相同的单调性;

(5)如果在区间D上是增(减)函数,那么在D的任一子区间上也是增(减)函数;

(6)利用已知函数的单调性

(7)利用函数的图象

(8)导数法

二、例题分析:

(一)基础知识扫描

1.若函数在(-∞,2]上是增函数,则实数a的取值范围是.

2.函数的递增区间是,递减区间是.

3.下列函数中,既是奇函数,又在其定义域上是增函数的是( )

A. B. y = tanx C. y = lgx D. y =

4.下列命题:

①若为增函数,则为减函数;

②若为减函数,则为增函数;

③若为增函数,则为增函数;

④若为增函数,g(x)是减函数,且有意义,则为减函数.

其中正确命题的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.如果奇函数在(0,+∞)上是增函数,那么在(-∞,0)上( )

A.必定是减函数 B.必定是增函数

C.既可能是减函数又可能是增函数 D.不一定具有单调性

6.(2001年高考试题)设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:

①若是单调递增,g(x)单调递增,则g(x)单调递增;

②若是单调递增,g(x)单调递减,则g(x)单调递增;

③若是单调递减,g(x)单调递增,则g(x)单调递减;

④若f(x)是单调递减,g(x)单调递减,则g(x)单调递减.

其中,正确的命题是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

(二)题型分析:

题型1:判断或证明函数的单调性.

例1 1.讨论函数 (a>0)的单词性.

分析可考虑从单调函数的定义入手,是否需要对参数a进行讨论?从何处分开讨论?

又为奇函数,所以先讨论函数在(0,+∞)上的单调性.抓住定义,确定x1,x2同属于哪一个区间时恒大于(小于)0。(本题的结论很重要,在以后的解题中有着广泛的应用.应予重视.)

题型2:求复合函数的单调区间.

例2已知在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(2,+∞)

分析根据对数函数的性质及复合函数的单调性进行判断。

例3求下列函数的单调区间,并指出其增减性:

(1)(a>0,且a≠1);

(2)

分析利用复合函数的判别方法判断该类题目.

(1)的复合关系为y=a t,t=1-x2;

(2)的复合关系为

题型3:函数单调性的应用.

例4

定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)

分析因为g(x)为偶函数,所以g(x)=.这样可以把两个式子统一在同一个单调区间[0,2]内.

例5 (2001年成都市检测题)

是定义在(0,+∞)上的增函数,且

(1)求的值;

(2)若=1,解不等式

分析:第一问用赋值法,这是处理此类问题的一般思维方法;第二问关键整理成

形式,在单调区间内利用单调性得出m(x)与n(x)大小关系,进一步解不等式,可得原不等式的解.

例6

(2003·合肥市抽样考试)设函数是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当x∈[-1,0)时 (a为实数).

(1)当x∈(0,1]时,求的解析式;

(2)若a>-1,试判断在(0,1]上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在a,使得当x∈(0,1]时,有最大值-6.

三、本节所涉及的思想·规律·方法

1.研究函数的单调性,首先要考虑定义域,否则会出错.

2.比较法是证明函数单调性的基本方法.

3.复合函数单调性的确定方法是:当内外函数同增(减)时,复合函数为增函数,当内外函数增减性相反时,复合函数为减函数.

4.运用函数的单调性可比较大小、解不等式或求最值.

四、作业:《纸上练兵》P46—47

五、课后记:

高中数学函数的单调性与最值练习题

函数的单调性与最值 1.下列函数中,在区间(-1,1)为减函数的是( ) A .x y -=11 B .x y cos = C .)1ln(+=x y D .x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是( ) A .)2,(--∞ B .)1,(-∞ C .),1(+∞ D .),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是( ) A .)1,(-∞ B .),1(+∞ C .)1,(-∞,),1(+∞ D .)1,(--∞,),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ,则函数g (x)的单调递减区间是( ) A .]0,(-∞ B .)1,0[ C .),1[+∞ D .]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A .]3,311[-- B .]4,6[-- C .]22,3[-- D .]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A .)2,1( B .)2,1(- C .)2,1[ D .)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值,则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定( )A .有最小值 B .有最大值 C .是减函数 D .是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[,则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .]1,0( B .]2,1[ C .+∞,1[) D .+∞,2[)

高中数学必修一教案-函数的单调性

课题:§1.3.1函数的单调性 教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程: 一、引入课题 1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:○1随x的增大,y的值有什么变化? ○2能否看出函数的最大、最小值? ○3函数图象是否具有某种对称性? 2.画出下列函数的图象,观察其变化规律:1.f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . 2.f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . 3.f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . ○2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . 二、新课教学

(一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1

高中数学函数的单调性

一、选择题 1.若),(b a 是)(x f 的单调增区间,()b a x x ,,21∈,且21x x <,则有( ) A . ()()21x f x f < B . ()()21x f x f = C . ()()21x f x f > D . ()()021>x f x f 2.函数()2 2-=x y 的单调递减区间为( ) A .[)+∞,0 B .(]0,∞+ C .),2[+∞ D .]2,(-∞ 3.下列函数中,在区间)2,0(上递增的是( ) A .x y 1= B .x y -= C .1-=x y D .122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()0,∞- B .()+∞,0 C .()0,1- D .()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数,则有( ) A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .3≤a B .3≥a C .3-≥a D .3-≤a 二、填空题 7.函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8.已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数,则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9.函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10.若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数,在区间),1(+∞- 上是增函数,则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12.判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性,并给出证明.

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析: (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点; 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数). (2)教学内容的知识类型; 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识; 在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源; 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+,能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置: 本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能: 理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性;

高考数学专题:函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求:了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。 (2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。 (3)定量刻画,即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法: ①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 与之相等价的定义:⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 ②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`a 且0≤b 。 (年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

高考总复习:函数的单调性与最值

第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1.单调函数的定义

图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2.单调区间的定义 若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间. 二、函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .y =x +1 B .y =-x 3 C .y =1 x D .y =x |x | 解析:选D 由函数的奇偶性排除A ,由函数的单调性排除B 、C ,由y =x |x |的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D. 2.函数y =(2k +1)x +b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A .k >12 B .k <12 C .k >-1 2 D .k <-1 2 解析:选D 函数y =(2k +1)x +b 是减函数, 则2k +1<0,即k <-1 2 .

3.(教材习题改编)函数f (x )=1 1-x 1-x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析:选D ∵1-x (1-x )=x 2 -x +1=? ????x -122+34≥34 ,∴0<11-x 1-x ≤43. 4.(教材习题改编)f (x )=x 2 -2x (x ∈[-2,4])的单调增区间为________;f (x )max =________. 解析:函数f (x )的对称轴x =1,单调增区间为[1,4],f (x )max =f (-2)=f (4)=8. 答案:[1,4] 8 5.已知函数f (x )为R 上的减函数,若m f (n ); ???? ??1x >1,即|x |<1,且x ≠0. 故-1 (-1,0)∪(0,1) 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

2020高考数学《函数的单调性》

函数的单调性 1.函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( ) A .[1,2] B .[-1,0] C .[0,2] D .[2,+∞) 2.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为( ) A .(-∞,1] B .[3,+∞) C .(-∞,-1] D .[1,+∞) 3.函数f (x )=x 1-x 在( ) A .(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B .(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C .(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D .(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y =x +1 B.y =(x -1)2 C.y =2-x D.y =log 0.5(x +1) 5.下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )=x 12 B.f (x )=x 3 C.f (x )=? ????12x D.f (x )=3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2 -x 1)<0恒成立,设a =f ? ?? ??-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >b D .b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,f (2)=0.若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,若f (a 2-a )>f (a +3),则实数a 的取值范围为________. 9.函数()f x 的定义域为R,(1)2f -=,对任意的x R ∈,'()f x 2>,则不等式()24f x x >+的解集为( ) A()1,1- B()1,-+∞ C(),1-∞- D(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =,1()2 f x '<,则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13 ,则a +b =

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义. 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称 函数y=f(x)在区间M上是增 函数 Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y =f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数, 性,区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1 f (x ) 的单调性相反. 3.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1-1】(2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))如果函数f(x)在[a ,b]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( ) A . ()()1212 f x f x x x -->0 B .f(a)0 D .()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析:函数在[a ,b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ,当12x x <时有()()12f x f x <,因此 ()()1212 0f x f x x x ->-,(x 1-x 2) [f(x 1)-f(x 2)]>0, ()() 21 210x x f x f x ->-均成立,因为不能确定12,x x 的 大小,因此f(a)

高二数学函数的单调性与导数测试题

选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac>0 ?B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 ??D.b2-3ac<0 [答案] D [解析]∵a>0,f(x)为增函数, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) ?B.(0,3) C.(1,4)???D.(2,+∞) [答案]D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)e x, 令f′(x)>0,解得x>2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x 2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为( ) 0- A.[-1,+∞)???B.(-∞,2] C.(-∞,-1)和(1,2)??D.[2,+∞) [答案] B [解析] 令k≤0得x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调

减区间为(-∞,2]. 4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsin x+cos x,x∈(-π,π)的单调增区间是( ) A.错误!和错误! B.错误!和错误! C.错误!和错误!

高考数学:利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0??得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为2 1x ;又l 1与l 2垂直,且00,f'(x )<0的解集得出函数的极值点. 【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2. 二、解答题 4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x +a (x-1)2 有两个零点. (1)求a 的取值范围. (2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1f(x2) . 2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;②存在x0∈I,使得 f(x0)=M ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在 x0 ∈ I,使得f(x0) =M 结论M为最大值M为最小值 注意: 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 2.两函数f(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)·g(x),1等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f( x) [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=-x+1 D.y=x+1 解析:选 A 选项 A 的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为___ ;f(x)max= ________ . 解析:函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录 课题:函数的单调性与导数 时间、地点2016年9月26日 主持人赵纯金 参与者张泽成黄翼 备课设想教材分析 本节的教学内容属导数的应 用,是在学生学习了导数的 概念、计算、几何意义的基 础上学习的内容,学好它既 可加深对导数的理解,又可 为后面研究函数的极值和最 值打好基础。由于学生在高 一已经掌握了单调性的定 义,并能用定义判定在给定 区间上函数的单调性。通过 本节课的学习,应使学生体 验到,用导数判断单调性要 比用定义判断简捷得多,充 分展示了导数解决问题的优 越性。

学情分析对于这这个知识板块学习已有一些基础,学生存在一些兴趣,但却容易无从下手,所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律,总结结论,熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间,能由导数信息绘制函数 大致图象。2.培养学生的观 察能力、归纳能力,增强数 形结合的思维意识。3.通过 在教学过程中让学生多动 手、多观察、勤思考、善总 结,引导学生养 重点难点重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区 间。 难点:利用导数信息绘制函

数的大致图象。 教学方法 探究式教学,分组讨论,讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入,让学生意识到用定义法、图象法 在处理一些单调性问题时难 度较大,这样易激发学生的 学习兴趣。2.本节课宜适当 采用多媒体课件等辅助手段 以加大课堂容量,通过数形 结合,使抽象的知识直观化, 形象化,以促进学生的理解. 二.教学过程: (一)复习回顾,知识梳理 1. 常见函数的导数公式: ;;;. 2.法则1 . 法则2 , . 法则3 . 3.复合函数的导数:设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x ),函数0'=C 1)'(-=n n nx x x x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '=' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ?????

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢? 方法一:定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x (1)当12x x <时,都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当12x x <时,都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如:根据函数单调性的定义,证明:函数 在 上是减函数。 要证明函数f (x )在定义域内是减函数,设任意1212,x x R x x ∈<且,则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++,12x x <因为 210x x ->所以,且在1x 与2x 中至少有一个不为 0,不妨设20x ≠,那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>,12()()f x f x >所以,故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二:性质法 除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性,则在区间B 上有: 1. f(x)与c?f(x)当c >0具有相同的单调性,当c <0具有相反的单调性; 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数; 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数; 例如,已知f (x )在R 上是减函数,那么-5f (x )为____函数。 这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。 方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题) 对于复合函数y =f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域), 可令 t =g(x),则三个函数 y =f(t)、t =g(x)、y =f [g(x)]中, 若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;

年高考数学函数的单调性必考知识点.doc

2017年高考数学函数的单调性必考知识点2017年高考数学函数的单调性必考知识点 高中数学知识点:函数的单调性 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 高中数学知识点:函数的单调区间 单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y,随自变量X 增大而增大(或减小)恒成立。如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间。 高中数学知识点:函数的单调图像 高中数学知识点:求函数单调性的基本方法 解:先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的,所以判断函数的单调性、奇偶性,还有研究函数切线的斜率、极值等等,都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。其次就解题技巧而言,当然是立足于掌握课本上的例题,然后再找些典型例题做做就可以了,这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。最后找些考试试卷题目来解,针对考试会出的题型强化一下,所谓知己知彼百战不殆。1、把握好函数单调性的定义。证明函数单调性一般(初学最好用定义)用定义(谨防循环论证),如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式,可以采用函数单调性定义的等价形式证明。另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。 2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并

掌握判断复合函数单调性的方法:同增异减。 3、高三选修课本有导数及其应用,用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。还应注意函数单调性的应用,例如求极值、比较大小,还有和不等式有关的问题。 高中数学知识点:例题 判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。 设x -2x-3=t, 令x -2x-3=0, 解得:x=3或x=-1, 当x 3和x -1时,t 0, 当-1 所以得到x -2x-1对称轴是1。 根据反比例函数性质: 在整个定义域上是1/t是增函数。 当t 0时,x 3时, t是增函数,1/t是减函数, 所以(3,+ )是减区间, 而x -1时,t是减函数, 所以1/t是增函数。 因此(- ,-1)是增区间, 当x 0时, -1

高三数学 函数的单调性专题复习 教案

江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标: ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题. 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地,设函数()f x 的定义域为I : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间M 上具有_____________(区间M 称为____________)。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 (2)导数法 ①若()f x 在某个区间内可导,当'()0f x >时,()f x 为______函数;当 '()0f x <时,()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导,当()f x 在该区间上递增时,则'()f x ______0,当()f x 在 该区间上递减时,则'()f x ______0。 (3)利用函数的运算性质:如若(),()f x g x 为增函数,则①()()f x g x +为增函数; ②1 ()f x 为减函数(()0f x >);③()f x 为增函数(()0f x ≥);④()()f x g x 为增 函数(()0,()0f x g x >>);⑤()f x -为减函数。

(完整word版)2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值.doc

第二节函数的单调性与最值 1.函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义. 2.函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义. 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 , x 定义 当 x1f(x2),那么就说函数 就说函数 f(x)在区间 A 上是增加的f( x)在区间 A 上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义 如果函数 y= f(x) 在区间 A 上是增加的或是减少的,那么称 A 为单调区间.易误提醒求函数单调区间的两个注意点: (1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“ 定义域优先” 的原则. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“ ∪”联结,也不能用“或” 联结. 必记结论 1.单调函数的定义有以下若干等价形式: 设x1, x2∈[a, b] ,那么

f x1- f x2 ①>0? f(x)在 [a, b]上是增函数; x1- x2 f x1- f x2 <0? f(x) 在[a, b] 上是减函数. x1- x2 ②(x1- x2)[f(x1)- f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a, b]上是增函数; (x1- x2 )[f(x1)- f(x2)]<0? f(x)在[ a,b]上是减函数. 2.复合函数y= f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增,异则减”,即y=f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性,则y= f[g(x)]为增函数,若具有不同的单调性,则y= f[g(x)] 必为减函数. [ 自测练习 ] 1.下列函数中,在区间(0,+∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A . f(x)=x B . f(x)= (x- 1) 2 C.f(x)= e x D .f(x)= ln( x+1) 2.函数 f(x)= log5(2x+ 1)的单调增区间是________. - x2- ax- 5, x≤ 1, 3.已知函数 f(x)= a 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是 () x, x>1 A . [- 3,0) B . [-3,- 2] C.( -∞,- 2] D .(-∞, 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y= f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ,都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I,都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ,使得 f( x0)= M 存在 x0∈ I,使得 f(x0)= M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时,易忽视定义域的限制性. 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.

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