椭圆与双曲线
圆锥曲线
一、知识导学
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b
x a y （0>>b a ）
3椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的
比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦
点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率
4．椭圆的准线方程
对于12222=+b
y a x ，左准线c a x l 2
1:-=；右准线c a x l 22:=
对于12222=+b
x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2
2:=
5.焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=
6椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??
?
??
?==b y a x 7．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定
点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b
y
a x (0>a ,0>
b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b
x a y (0>a ,0>b ) (2)c b a ,,有关系式2
22b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a
9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程
中含字母2
x 、2
y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在
的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的
位置，即2
x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，
那么焦点在y 轴上
10．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性
由标准方程122
22=-b
y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图
象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封
闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21
实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚
半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线122
22=-b
y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y a x ）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==
22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e
双曲线形状与e 的关系：1122
2
22-=-=-==e a
c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
11． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a
c
e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦
点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．
12．双曲线的准线方程：
对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=，
相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2
2:=；
焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）
对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F 对应着上准线c a y l 2
1:=；相
对于下焦点),0(2c F -对应着下准线c
a y l 2
2:-=
二、疑难知识导析
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系
1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）
渐近线互相垂直；（3）离心率2=e
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为x a
b
y ±=)0(>±
=k x ka
kb
，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)
()(2
2
22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 3．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
4．抛物线的几何性质 （1）范围
因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性
以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点． （4）离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 19抛物线的焦半径公式：
抛物线)0(22>=p px y ，002
2x p
p x PF +=+=
抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-=
抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，002
2y p p y PF -=-= 三、经典例题导讲
[例1]设双曲线的渐近线为：x y 23±=，求其离心率.
错解：由双曲线的渐近线为：x y 23±=，可得：2
3
=a b ，从而
213
122=
+==a
b a
c e 剖析：由双曲线的渐近线为x y 2
3±=是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y 轴上时，
3
2
=a b ，故本题应有两解，即：213
122=
+==a
b a
c e 或313. ［例2］设点P(x,y)在椭圆4422=+y x 上，求y x +的最大、最小值. 错解：因4422=+y x ∴442≤x ，得：11≤≤-x ，同理得：22≤≤-y ，故33≤+≤-y x ∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析：本题中x 、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422=+y x 的约束.当x=1时,y 此时取不到最大值2,故x+y 的最大值不为3.其
实本题只需令θθsin 2,cos ==y x ，则)sin(5sin 2cos ψθθθ+=+=+y x ，故其最大值为5，最小值为5-.
［例3］已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程.
错解一： .60,40,10,422222
=-=∴=∴===a c b a c c
a x 故所求的双曲线
方程为.160
402
2=-y x
错解二： 由焦点)0,10(F 知,10=c .75,5,2222=-==∴==
a c
b a a
c
e 故所求的双曲线方程为.175
252
2=-y x
错因： 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法.
解法一： 设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为
4
=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，由双曲线的定义知
.2|4|)10(22=-+-x y x 整理得 .148
16)2(2
2=--y x
解法二： 依题意，设双曲线的中心为)0,(m ,
则 ????????
?==+=+.
21042
a
c
m c m c a 解得 ?????===.284m c a ,所以 ,4816642
22=-=-=a c b 故所求双曲线方程为 .148
16)2(2
2=--y x
［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率2
3
=
e ，已知点)2
3,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程.
错解：依题意可设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x
则 43
122222222
=-=-=
=a
b a b a a
c e ， 所以 41
22=a
b ，即 .2b a =
设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ， 则 222)2
3(-+=y x d
.
34)2
1
(3493)1(222222
+++-=+
-+-=b y y y b y a 所以当2
1-=y 时，2d 有最大值，从而d 也有最大值。 所以 22)7(34=+b ，由此解得：.4,122==a b
于是所求椭圆的方程为.14
22
=+y x
错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当2
1-=y 时，2d 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围.事实上，由于点),(y x 在椭圆上，所以有b y b ≤≤-，因此在求2d 的最大值时，应分类讨论. 正解：若2
1
于是,)2
3()7(22+=b 从而解得矛盾与2
1,2
12
37<>-=b b . 所以必有2
1≥b ，此时当2
1-=y 时，2d （从而d ）有最大值，
所以22)7(34=+b ，解得.4,122==a b
于是所求椭圆的方程为.14
22
=+y x
［例5］从椭圆122
22=+b
y a x ,(a >b>0)上一点M 向x 轴所作垂线恰好通
过椭圆的左焦点F 1，A 、B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB ∥OM 设Q
是椭圆上任意一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若⊿F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程
解：本题可用待定系数法求解
∵b=c, a =2c ，可设椭圆方程为1222
22=+c
y c x
∵PQ ⊥AB,∴k PQ =-
21==b
a
k AB ，则PQ 的方程为y=2(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x 2-8cx+2c 2=0， 根据弦长公式，得c PQ 5
2
6＝, 又点F 1到PQ 的距离d=3
6
2 c ∴==
?d PQ S PQ F 211
2
5
34c ,由,2532053422==c c ，得 故所求椭圆方程为125
502
2=+y x
［例6］已知椭圆：19
22
=+y x
，过左焦点F 作倾斜角为6π
的直线交椭
圆于A 、B 两点，求弦AB 的长
解：a=3,b=1,c=22; 则F （-22，0）
由题意知：)22(3
1
:+=x y l 与1922
=+y x 联立消去y 得：
01521242=++x x
设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，
2321-=+x x
41521=
?x x ，2
2
3221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， 所以|AB|=215183
24)(3
2||3
1
12122121=-=
-+?=
-?+x x x x x x
点评：也可利用“焦半径”公式计算
［例7］（06年全国理科）设P 是椭圆)1(1222
>=+a y a
x 短轴的一个端点，
Q 为椭圆上的一个动点，求｜PQ ｜的最大值.
解： 依题意可设P （0,1），Q （y x ,），则｜PQ ｜＝22)1(-+y x ，又因为Q 在椭圆上，所以，)1(222y a x -=，｜PQ ｜2＝12)1(222+-+-y y y a ＝
22212)1(a y y a ++--
＝2
2
222111)11)(1(a a
a y a -+----
-. 因为||y ≤1，a ＞1，若a ≥2，则|11|
2a -≤1，当2
11
a
y -=时，｜PQ ｜取最大值1
1
222--a a a ；若1＜a ＜2，则当1-=y 时，｜PQ ｜取最大值
2.
［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为5
3的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN =4，求双曲线方程
解：设所求双曲线方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，由右焦点为（2，0）
知C=2，b 2=4-a 2
则双曲线方程为142
222=--a y a x ，设直线MN 的方程为：)2(53
-=x y ，
代入双曲线方程整理得：(20-8a 2)x 2+12a 2x+5a 4-32a 2=0
设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2),则222182012a a x x --=+， 2
2
421820325a a a x x --=
∴ ()21212
4531x x x x MN -+?
???
?
??+=
48203254820125
8
2242
22=--?-???
? ??--?
=a a a a a 解得 12=a ，3142=-=∴b
故所求双曲线方程为：13
2
2
=-y x
点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握
四、习题导练
1. 设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 两焦点为F 1、F 2,点Q 为双曲线上除
顶点外的任一点,过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为P,则点P 的轨迹是 （ ）
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.圆的一部分.
2．已知点(-2，3)与抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点 的距离是5，则p= .
3.平面内有两定点4)4()301)0,1(22=-+--y x B A ），在圆（，（和上，求一点P 使2
2
BP AP +取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为22.（1）若圆（x-2）
2
+(y-1)2=3
20与椭圆相交于A 、B 两点且线段AB 恰为圆的直径，求椭
圆方程；（2）设L 为过椭圆右焦点F 的直线，交椭圆于M 、N 两点，且L 的倾斜角为600，求
NF
MF 的值.
5.已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值．
6.线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m,0）（m>0），端点A 、B 到x 轴距离之积为m 2，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线
（1）求抛物线方程；
（2）若m AOB tg ，求1-=∠的取值范围
点、直线和圆锥曲线
一、知识导学
1． 点
M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系
已知12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的焦点为F 1、F 2, 122
22=-b
y a x （a ＞0,b
＞0）
的焦点为F 1、F 2，px y 22=(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x 0，y 0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l ∶Ax ＋B y ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由??
?==++0
y)f(x,0
C By Ax
消去y(或消去x)得:ax 2+bx+c=0,△=b 2-4ac,（若a ≠0时）， △＞0?相交 △＜0?相离 △= 0?相切
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、疑难知识导析
1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,
（右焦半径）02ex a r -=,
其中e 是离心率。 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：
???-=+=0
20
1ey a MF ey a MF
（ 其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加.
2．双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径.
焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：
?
??-=+=∴0201ex a MF ex a MF 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：
??
?-=+=∴0
201ey a MF ey a MF
（ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。 焦点弦公式：
当双曲线焦点在x 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=。 当双曲线焦点在y 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=。 4．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 a
b d 2
2=.
5．直线和抛物线 （1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）. 联立??
?=+=px
y b
kx y 22
，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）； 当0≠a ，则
若0>?，两个公共点（交点）；
0=?，一个公共点（切点）； 0
（2）相交弦长： 弦长公式：21k a
d +?
=
. （3）焦点弦公式：
抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=. 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=. （4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2=.
（5）常用结论：
?????
=-=px
y p x k y 2)2
(2
0222=--
?p y k
p
y 和
04)2(222
2
2
=++-p k x p p k x k 2
21p y y -=?和4
221p x x =.
三、例题导讲
[例1]求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22
=仅有一个交点.
错解： 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为
???=+=x y kx y 21
2
，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得 .01)22(2
2=+-+x k x k
直线与抛物线仅有一个交点，,0=?∴解得
∴=
.21
k 所求直线为
.121
+=
x y
正解： ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22=只有一个交点.③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则??
?=+=x
y kx y 212
，
∴.01)22(2
2
=+-+x k x k 令,0=?解得k = 1
2
,∴ 所求直线为
.12
1
+=
x y 综上，满足条件的直线为：.12
1,0,1+===x y x y [例2]已知曲线C ：2
202
x y -=与直线L ：m x y +-=仅有一个公共点，求m 的范围.
错解：曲线C ：2202x y -=可化为20422=+y x ①，联立?
??=++-=2042
2y x m x y ，得：
02048522=-+-m mx x ，由Δ＝0,得5±=m .
错因：方程①与原方程并不等价，应加上[)+∞∈,0y . 正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m 的范围为
52525<<-=m m 或.
注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.
[例3]已知双曲线12
2
2
=-y x ，过P(1,1)能否作一条直线L 与双曲线
交于A 、B 两点，且P 为AB 中点.
错解：（1）过点P 且与x 轴垂直的直线显然不符合要求.
（2）设过P 的直线方程为)1(1-=-x k y ，代入12
2
2
=-y x 并整理得：
02)1()1(2)2(222=------k x k k x k
∴2212)1(2k k k x x --=
+，又∵221=+x x ∴22)1(22
=--k k k 解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的. 正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.
[例4]已知A 、B 是圆122=+y x 与x 轴的两个交点，CD 是垂直于AB 的动弦，直线AC 和DB 相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，
y
x
o
y
C
P
请说明理由.
解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),
设 P ( x, y ), C ( 00,y x ) , 则 D (00,y x -), 由A 、C 、P 三点共线得 1
100+=
+x y x y
① 由D 、B 、P 三点共线得
1
100--=
-x y x y
② ①×② 得 1
1202
022
--=-x y x y ③
又 12020=+y x , ∴20201x y -=， 代入③得 122=-y x ， 即点P 在双曲线122=-y x 上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－2, 0 )、
F (2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).
[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，｜PQ ｜=
2
10
，求椭圆的方程. 解：设所求椭圆的方程为2
2
22b
y a x +=1.
依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组：
??
???+==+② ① 1x y 1b
y a x 22
22
将②代入①，整理得
0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a ， ③ 设方程③的两个根分别为1x 、2x ，则直线y=x+1和椭圆的交点为
P(1x ,1x +1)，Q(2x ,2x +1)
由题设OP ⊥OQ ，｜OP ｜=
2
10，可得
??????
?=+-++--=+?+22
122122211)210()]1()1[()(11
1x x x x x x x x
整理得
??
?=--+=+++ ② ①0516)(4012)(212212121x x x x x x x x
解这个方程组，得 ???????-=+=23412121x x x x 或 ???
????-=+-=214
12121x x x x
根据根与系数的关系，由③式得 (1)???????=+-=+41)1(2
3
2222
2222b a b a b a a 或 (2) ???????-=+-=+41)1(2
1
22
22
2222b a b a b a a 解方程组(1)、(2)得 ???
??==32222b a 或??
??
?==2
32
22b a 故所求椭圆方程为 32222y x + =1 ， 或23
22
2y x + =1.
[例6]（06年高考湖南）已知椭圆C 1：3
42
2y x +＝1，抛物线C 2：)0(2)(2>=-p px m y ，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点。（1）当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；（2）若p ＝3
4，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.
解：（1）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x ＝1，
从而点A 的坐标为（1，2
3
）或（1，－2
3），
因为点A 在抛物线上，所以p 249=，p ＝8
9. 此时，抛物线C 2的焦点坐标为（
16
9
，0），该焦点不在直线AB 上. (2)当抛物线C 2的焦点在直线AB 上时，由（1）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 )1(-=x k y .
由?????=+-=134
)1(2
2y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ①
设A 、B 的坐标分别为 （11,y x ）、（22,y x ）.
则1x ，2x 是方程①的两根，1x ＋2x ＝2
2438k
k +. 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是C 2的焦点的弦， 所以｜AB ｜＝（2－12
1x ）＋（2－22
1x ）＝4－)(2
121x x +，且
｜AB ｜＝（21p x +
）＋（22p x +）＝p x x ++21＝3421++x x . 从而3421++x x ＝4－)(21
21x x +
所以91621=+x x ，即2
2
438k
k +916= 解得6±=k . 因为C 2的焦点F 、（m ,32）在直线)1(-=x k y 上，所以k m 3
1
-=，
即36
±=m
当36
=m 时直线AB 的方程为)1(6--=x y ；
当3
6
-=m 时直线AB 的方程为)1(6-=x y .
四、习题导练
1．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线l ：y=2x+1截得的弦长为15，则抛物线方程为
2.直线m ：y=kx+1和双曲线x 2－y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P （－2，0）和线段AB 的中点，则直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为
3．对称的两点，
∶上存在关于直线∶已知椭圆m x y l y x C +==+214
92
2试求m 的取值范围.
4． 设过原点的直线l 与抛物线y 2=4(x －1)交于A 、B 两点，且以
AB 为直径的圆恰好过抛物线的焦点F ， （1）求直线l 的方程； （2）求|AB|的长.
5． 如图，过抛物线y 2=4x 的顶点O 作任意两条互相垂直的弦OM 、ON ，
求(1)MN 与x 轴交点的坐标；(2)求MN 中点的轨迹方程.
9．设曲线C 的方程是y ＝x 3-x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t,s 单 位长度后得曲线C 1. (1)写出曲线C 1的方程；
(2)证明曲线C 与C 1关于点A(2
,2s t )对称；
(3)如果曲线C 与C1有且仅有一个公共点，证明s ＝t t -4
3
且t ≠
0.
轨迹问题
一、知识导学
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的经典结论
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名： （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 （1）共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 椭圆和双曲线综合练习卷 1. 设椭圆122 22=+n y m x ， 双曲线122 22=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B m n m e 2 21-= ， m n m e 2 22+= ，所以1144 2 4421<-=-=m n m n m e e ，故选B. 2. 已知双曲线:C 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂 线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ） A ． D 【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x a a y x c b ?=-????=+??，得 2 a x c ab y c ?=-??? ?=?? ，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以 2222222 (23)91c a a a c c --=，化简得22 413c a = ，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆2 2 2 b y x =+与双曲线122 22=-b y a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围 是（ ） A ．),2[+∞ B ．]2,1( C ．)3,1( D ．)2,2( 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即 1≥a b 时，圆222b y x =+与双曲线 椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L = 椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 ||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆 于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠, 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 椭圆与双曲线知识点总结 （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a （2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越 准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点) （3）焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距 椭圆与双曲线 椭圆与双曲线 一、知识网络 二、高考考点 1、椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质； 2、有关圆锥曲线的轨迹的探求； 3、直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等； 4、圆锥曲线的探索性问题或应用问题； 5、以圆锥曲线为主要内容的综合问题； 6、数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。 三、知识要点椭圆Ⅰ 定义与推论 1、定义1的的认知设M 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则 有 明朗的等量关系： 隐蔽的不等关系： ， 2、定义2的推论 根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：由此导出椭圆的焦点半径公式： Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆标准方程① 中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆标准方程 ② 标准方程①、②中的a、b、c 具有相同的意义与相同的联系： 标准方程①、②统一形式： 2 、椭圆的几何性质 范围： 对称性：关于x轴、y轴及原点对称 顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义），长轴2a，短轴2b离心率： 刻画椭圆的扁平程度 准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为； 中心到准线的距离为 Ⅲ 挖掘与引申 ；焦点到相应准线的距离为、 1、具特殊联系的椭圆的方程 共焦距的椭圆的方程 且 同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式： 设斜率为k的直线l 与椭圆交于不同两点 则 ； ， 或 双曲线Ⅰ、定义与推论 1、定义1的认知 。 设M 为双曲线上任意一点，点，则有： 明朗的等量关系： 隐蔽的不等关系： 2、定义2的推论 分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端， 设右焦点，则有 为双曲线 上任意上点，分别为双曲线左、 ，其中，为焦点 到相应准线li 的距离 推论：焦点半径公式当点M 在双曲线右支上时，当点M 在双曲线左支上时， Ⅱ、标准方程与几何性质 3、双曲线的标准方程 ； 。 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆 于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠, 则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =. 17．给定椭圆1C ：2 2 2 2 22 b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222 2 22 ()a b b x a y ab a b -+=+,则(i ) 课 题 椭圆与双曲线知识专题 教学目标 1．学会双曲线的标准方程形式为)0,0(122 22>>=-b a b y a x 或 )0,0(12 2 22>>=-b a b x a y ． 2．掌握求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a 、b 的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式． 重点、难点 双曲线与椭圆的性质 双曲线与椭圆曲线的定义 考点及考试要求 求双曲线的标准方程应先判断焦点所在的坐标轴，其次再确定a 、b 的值．已知△PF 1F 2(P 为双曲线上的点，F 1、F 2为双曲线的焦点)的某些元素时，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．动圆与定圆相切时，求动圆圆心的轨迹方程可借助相切的条件，确定圆心的轨迹，然后再求方程。 教学内容 知识框架 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=， 则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 椭圆与双曲线的性质条 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴 平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点 为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的 中点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 专题二十一椭圆与双曲线 一、知识网络 二、高考考点 1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质； 2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求； 3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等； 4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题； 5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题； 6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。 三、知识要点 (一)椭圆 Ⅰ定义与推论 1、定义1的的认知 设M为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则 有 （1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式） （2）隐蔽的不等关系：， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据） 2、定义2的推论 根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离） （d2为点M到右准线l2的距离） 由此导出椭圆的焦点半径公式： Ⅱ标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程① 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程② （1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程①、②统一形式： 2、椭圆的几何性质 （1）范围：（有界曲线） （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性） （3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义）（4）离心率：刻画椭圆的扁平程度 （5） 准线：左焦点对应的左准线 右焦点对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为； 中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为. Ⅲ挖掘与引申 1、具特殊联系的椭圆的方程 （1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式： 设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点， 则； 或 椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：222 2 1x y a b + = 3． 11 ||1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222 2 1x y a b - =. 10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 11．若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b + =. 12．AB 是椭圆222 21x y a b + =的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 22 OM AB b k k a ?=- . 13．若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b + =内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 14．若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b + =内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 15．若PQ 是椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则 122 2 2 2 1 2 1111(||,||)r O P r O Q r r a b + = + ==. 16．若椭圆 222 2 1x y a b + =（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 第 1 页 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b += +. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 22 22 1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b -=-.椭圆和双曲线综合
椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线
椭圆与双曲线的对偶性质100条
椭圆与双曲线专题
椭圆与双曲线的性质条
高考总复习专题二十一椭圆与双曲线
椭圆与双曲线的对偶性质
高考数学椭圆与双曲线的经典性质与结论