2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题11 概率与统计 理

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题11 概

率与统计理

一．基础题

1.【安徽省2013届高三开年第一考】某校高一（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年元月1日起执行的新交

规的知晓情况。已知某男生被抽中的概率为1

7

，则抽取的女生人数为（）

A．1 B．3 C．4 D．7

2.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样

本数据落在［6,14)内的频数为（）

A. 780

B. 680

C. 648

D. 460

3.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为S2，则

A. 2

5,2

x s

=< B. 2

5,2

x s

=> C. 2

5,2

x s

>< D. 2

5,2

x s

>>

【答案】A

【解析】∵

855

5

9

x

?+

==，

2

2

82(55)16

2

99

s

?+-

==<

4.【惠州市2013届高三第三次调研考试】某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运

动员的中位数分别为（）

A．19、13 B．13、19

C．20、18 D．18、20

【答案】A

【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A ．

5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（5分）某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg ）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg 的有36，则被调查的高一新生体重在50kg 至65kg 的人数是．（ ）

使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查，根 据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只．

7.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】

某班有学生40人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为80分，标准差为4，第二组的平均分为90分，标准差为6， 则此班40名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为

【答案】85，51

【解析】成绩平均分85 ，方差为51

8.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】某校有4000名学生，各年级

男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是

0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为

【解析】依表知400020002000x y z ++=-=，

0.24000

x =，于是800x =，

1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040

?

=．

二．能力题

1.【深圳市南山区2013届高三上学期期末考试】将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和m ，则函数3

2y =m x nx +13

-在[1，+∞)上为增函数的概率是 A.

12

B.23

C.

34

D.

56

2.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为1625

，则该队员的每次罚球命中率为

A.

12

B.

35

C.

34

D.

45

【答案】B

【解析】设该队员的每次罚球命中率为p ，则两次罚球中之多命中一次的概率为

2

1p -=

1625

，解得p =

35

，故选B.

3.【广州市2013届高三年级1月调研测试】在区间15,????和24,?

???分别取一个数,记为a b ,,

则方程

222

2

1x y a

b

+

=表示焦点在x 轴上且离心率小于

2

的椭圆的概率为

A ．12

B ．

1532

C ．

1732

D ．

3132

4.【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】变量U 与V 相对应的一组样本数据为（1，1.4），（2，2.2），（3，3），（4，3.8），由上述样本数据得到U 与V 的线性回归分析，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R 2=（ ） ．

得：得：

两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为（ ） A 、

47

B 、37

C 、27

D 、314

【答案】B

【解析】 从8个顶点中任取两点有2

828C =种取法，

其线段长分别有1，2，3，

①其中12条棱线，长度都3≤；②其中4条，边长(1, 2)对角线3=<；

故长度3>的有2812412--=，故两点距离大于3的概率12328

7

P =

=.

6.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2

与49 cm 2

之间的概率为 ．

三．拔高题

1.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ . 填68．

【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50

305

=x =

，

由?0.67+54.9y

=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75?y = ∴

62++75+81+89

=755

m ，故68=m .

2.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】 已知数列满足

，一颗质地均匀的正方体骰子，其六 个面上的点数分别为1，

2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c 则 满足集合

{a,b,c}={a1,a2,a3}的概率是

(A) (B) (C) (D)

3.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考]（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为

（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

=

=

2=

=

=

取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分

成六段：[)

4050

，

，

[)

5060

，

，…，

[]

90100

，

后得到如下图的频率分布直方图．

（1）求图中实数a的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在[)

4050

，

与

[]

90100

，

两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求

这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。

则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为

22

24

7

C C

+= (11)

分

所以所求概率为

()7

15

P M=

．……………………………………………………………………

13分

5.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 (本小题满分12分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方

米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空

气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15

天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）

(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到

一级的天数，求的分布列；

6.【 2013安徽省省级示范高中名校高三联考】（本小题满分12分）

NBA总决赛采用7战4胜制，即两队中有一队胜4场则整个比赛结束．假设2013年总决赛在甲、乙两个球队间进行，根据以往总决赛的战绩，甲、乙两队在每场比赛中获胜的概

率都是1

2

，记需要比赛的场数为X.

（I）求X的最小值，并求X取最小值时的概率；

（II ）求X 的分布列和数学期望．

解析：（Ⅰ）依题意可知：X 的最小值为4.

当4X =时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由

互斥事件的概率计算公式可得()44

41142()2

8

P X C ===

.……………… 5分

7.【广州市2013届高三年级1月调研测试】某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学

的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学

生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.

（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、

推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为

501100

2

=.

∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分

(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别

为15,10.

依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分

()0P ξ==

2

10225

C C 960

=

， ()1P ξ==

11

15102

25

C C C =

12

，()2P ξ==

2

152

25

C C 720

=

.

…………… 11分 ∴ξ的分布列为：

…………… 12分

8.【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】 近年来，政府提倡

低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观

念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．

（1）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；

（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求

E X．

()

9.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】

2012年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),

[85,90)后得到如图4的频率分布直方图．问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中速车在[65,70)的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．

解:（1）系统抽样 (2分)

（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 (4分)

设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：

x=

?+?+?+?-=，解得77.5

x

0.0150.0250.0450.06(75)0.5

即中位数的估计值为77.5 (6分)

10.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】(本小题满分12分)甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子，乙也一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.

(Ⅰ)若甲、乙两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时乙胜，求甲获胜的概率；

(Ⅱ)若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一只，直到取到红球为止，求甲取球次数 的数学期望.

11.【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32

，且每题正确完成与否互不影响。

（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，

1

2

21

30

4242423

3366

6

131(1),(2),(3)5

5

5

C C C C C C P P P C

C

C

ξξξ==

=

==

=

==

=

所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

131()12325

5

5

E ξ=?+?+?= ………………5分

因为2~(3,)

B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为： 16128()0123227

27

27

27

E η=?+?+?+?

= ………………8分

（Ⅱ）因为31412820(2),(2)5

5

5

27

27

27

P P ξη≥=

+

=

≥=

+

=

所以(2)(2)P P ξη≥>≥ ………………10分 从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………10分 12.【湖北省黄冈市2012年秋季2013届高三年级期末考试】（本小题满分12分）盒中有大小相同的编号为1，2，3，4,5，6的六只小球，规定：从盒中一次摸出'2只球，如果这2只球的编号均能被3整除，则获一等奖，奖金10元，如果这2只球的编号均为偶数，则获二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖．

(1)若某人参加摸球游戏一次获奖金x 元，求x 的分布列及期望； （2）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率． （1）易知X 的可能取值为0，2， 10，

X 的分布列为

期望EX=

15

（元）………6分 （2）设摸一次得一等奖为事件A ，摸一次得二等奖为事件B ， 则15

11)(26

=

=

C

A P 5

1)(26

2

3=

=

C

C B P

某人摸一次且获奖为事件B A +，显然A 、B 互斥 所以15

45

115

1)(=

+=+B A P

故某人摸一次且获奖，他获得一等奖的概率为： 4

115

415

1)

()()|(=÷=+=

+B A P A P B A A P ………………12分

13.【河北省唐山市2012—201 3学年度高三年级期末考试】 （本小题满分12分）

从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）

共分5组，得到频率分布直方图如图． （I ）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；

（II ）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生

产的产品中随机抽取3件，用X 表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X 的分布列和期望． 解：

（Ⅰ）样本数据的平均数为：

175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280．

因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天．

…5分

14.【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布

N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身

高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； （Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人数；

（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人中任意抽取2人，该2人

中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为

72

.1684)100

1182100

2178100

2174100

8170100

7166100

5162(=??

+?

+?

+?

+?

+?

，

高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）. …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×5

＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. ……………（6分）