利用导数解全参数范围地八种策略

巧用导数解参数问题的八种策略

张红娟2012.10.18学习收获

现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

策略一：分离变量法

所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：

结论一、不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小

值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.

结论二、不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大

值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.

案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x x

ax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈?>-=a x x

a 案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）

A. [1,)-+∞

B. (1,)-+∞

C. (,1]-∞-

D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02

)(≤++-='x b x x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（）

A ．3a >-

B ．3a <-

C ．13a >-

D ．13

a <-

分析：'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30

ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a =

-，由0x >得3a <-.

案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为

解：当0x =，则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立；

当10≤

31a x x ≥

- 令()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2?? ???上单调递增，在区间1,12??????

上单调递减，因此()max 142g x g ??== ???

，从而4a ≥；当01<≤-x 时，3()310f x ax x =-+≥可化为23

31a x x ≤-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，

综上4a =

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。

案例5、（2005湖北卷）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ?=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.

解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2

x +tx +t

∴)(x f '=23x -+x 2+t .

若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0 ?t ≥2

3x -x 2在 (-1,1)上恒成立.

若令)(x g =23x -x 2=-3(3

1-x )2-31

在区间[-1,1]上，max

)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，

只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5.

即t 的取值范围是[5，∞）. 利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。

案例6、已知函数()lg 2a f x x x ??=+- ???

，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：21a x x

+->在[)2,x ∈+∞上恒成立，即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()23f x x x =-+，则()23924f x x ??=--+ ??

? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

案例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范

围。解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<，要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ????? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322

a ∴-<<

策略二：主次元变换法

案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点

(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.

分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，

考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借

助（Ⅱ）的结论入手，须分1111≥--≤-k

k 或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。

（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(-∈≥+='x e kx x f kx

即上恒成立在)1,1(01-∈≥+x kx

∴???-≥≤????≥?+≥-?+1

10110)1(1k k k k 又0≠k

∴k 的取值范围是[)(]1,00,1-.

本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k 的讨论，简化了问题的求解。

案例2、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，

()()()()()()2221210202021210

x x f f x x ?----<-

解得：1122x -++<<

策略三、极值法

有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。

案例1.（07全国卷二）已知函数3()f x x x =-．

（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<

解：（1）略23(31)2y t x t =--．

（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．

若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：

如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，

即32()23g t t at a b =-++=0有三个相异的实数根，

则有0()0.a b b f a +>??-

()a b f a -<<．

本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性

案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

解析：（1）略

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，

所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴=

所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-

由'()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，

在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，

由()f x 的单调性可知，)1,3(-∈m

案例3.（2008四川卷）．已知x=3函数f(x)=a ln(1+x)+x 2-10x 的一个极值点。（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b 与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围。

分析：（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =

所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-

因此()()21616101616ln 291f f =-?>-=

()()213211213

f e f --<-+=-< 所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<

因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。

充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。

策略四、零点法

案例1、（2009浙江文）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．

，求a 的取值范围．解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f

函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于

导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有

0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a

案例2、(2004新课程卷 )若函数y =31x 3－2

1ax 2+（a －1）x +1在区间

（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围. 解：[])1()1()1()(2---=-+-='a x x a ax x x f 令0)(='x f ，解得x=1或x=a-1，并且 a≠2,否则f (x)在整个定义域内单调。

由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。

∴ 4≤a -1≤6 得5≤a≤7 所以a 的取值范围是[5,7]

应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。

策略五、构造新函数法一定分类讨论？娟思考

对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。

案例1、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1）当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73

a ∴≤又4a >所以a 不存在；

（2）当222

a -≤≤即：44a -≤≤时，()2m i n 3024a a f x f a ??=-=--≥ ??? 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤

（3）当22

a -> 即：4a <-时，()()m i n 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又

4a <-74a ∴-≤<-

综上所得：72a -≤≤

案例2、（2007全国卷一）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．

解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．而22=?≥+--x x x x e e e e ，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．

（Ⅱ）法一：令()()g x f x ax =-，

于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立．

则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，

由（Ⅰ）可知a a e e x g x x ->-+='-2)(，

由202≤?≥-a a

∴当2≤a 时，()g x 在(0)+，∞上为增函数，

从而有0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．

案例3、（2006全国卷II ）设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．

解：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax （x>-1）

于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立．

对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a

令g ′(x )＝0，解得11-=-a e x

当11->-a e x 时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，

当111-<<--a e x ，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，

所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)等价条件为e a-1－1≤0．

由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．

通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。

策略六、二次函数法

某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。案例1.（2008天津卷）已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,．（Ⅰ）当103

a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．

分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）略

（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立，即有29640a ?=-≤．解些不等式，得3

838a -≤≤．这时，(0)f b =是唯一极值．因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33

-．（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ?=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．

为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1

((f f ≤-≤???，

即22b a b a ≤--≤-+???

，在[2,2]a ∈-上恒成立．所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．

案例2、（2004河北卷）已知f(x)=1323+-+x x ax 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围.

解： 163)(2-+='x ax x f . ∵f(x)在R 上是减函数，∴0)(≤'x f 恒成立，

∴1632-+x ax ≤0在x ∈R 上恒成立，即a a 12360+=?<且≤ 0，

因此 a ≤－3.

策略七：利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ?????，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

案例1、当1,33x ??∈ ???时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。解：1log 1a x -<<

（1）当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ????? ? ????? 3113

a a ≥??∴?≤?? 3a ∴≥ （2）当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ????? ? ?????1313a a

?≤??∴??≥??103a ∴<≤

综上所得：103

a <≤

或3a ≥ 策略八：数形结合

数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

案例1、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ??∈ ???

内恒成立，求实数a 的取值范围。解：由题意知：23log a x x <在10,3x ??∈ ???

内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数

23y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ??∈ ???

时，若1a >函数log a y x =的图象显然

在函数23y x =图象的下方，所以不

成立；

当01a <<时，由图可知，log a y x

=的图象必须过点11,33?? ???

或在这个点的上方，则，11log 33a ≥ 127a ∴≥ 1127

a ∴>≥ 综上得：1127

a >≥

导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究。在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法。在教学中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系统化。

选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法 1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数 ()-x f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数() f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）函数() f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-．当0a ≤时， ()0f x '>，∴ () f x 在R 上为增函数；当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当 () ln ,x a ∈+∞时， ()0 f x '>，∴函数 () f x 在( ) ln ,a +∞上为增函数……4分（Ⅱ）当1a =时， ()()()2x x g x x m e x e x x =---++， ∵ () g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即 1 1x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令 ()11x x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()() 2 2 21x x x x e xe e h x e --'== -() () 2 21x x x e e x e ---，令()2x L x e x =--， ()10 x L x e '=->在( ) 2,+∞上恒成立，即 ()2 x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->， ∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴ ()()22 21 21e h x h e +>=-， ∴22 21 1e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是 2221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分

利用导数求参数范围举例

利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在13 2 )(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．解：(1)2,2 1 -=-=b a 2 122)2(]2,1[)(,2)2(,2 1 )1(2 3 )1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f c f c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式. (2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-= (2)设切点为33)(),3,(2'03 0-=-x x f x x x M 因为 0 200'20300020300200302 066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=** =++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为) 2,3(2 30 )1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(1 00)(00000000'---<<-???<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g

参数方程典型例题分析

参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）分析将，分别代入参数方程，得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，由定比分点坐标公式得P的横坐标为，可知点P所对应的参数是故应选（C）．例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（1）（为参数，）

（2）（为参数）；（3）（为参数），解：（1）∵ ∴， ∴或故普通方程为（或），方程的曲线如图．（2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．

（3）两式相除得代入得整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图．点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？解：①当时，由（1）得，由（2）得，

∴，它表示中心在原点，长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．当时，，，它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得，由（2）得．平方相减得，即它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上的双曲线．当（）时，，它表示轴；当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（），它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数中的参数范围的求法

导数中的参数范围的求法一、与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。 '2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+- 令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下：函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-?? -≤?<≤??->? 例2．已知函数22 ()ln f x x a x x =++ 在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x =+ - 在[1,4]上是减函数，即'22 ()02f x a x x ≤?≤-+在[1,4]上恒成立令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2 g x g ==- 所以632 a ≤-

例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2 ()()xf x G x ag x a x = ++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。 ()2()()xf x G x ag x a x =++，3' 22222()2a x ax G x x x x x +-=+-= 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≥ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥ 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≤ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 无最小值，则不存在这样的a 综上，0a ≥ 例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。 '2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则() f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下：（1）

利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一?已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 ?参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R ? ⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值. ⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上 2 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值 3 (1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间. (2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立，求c的取值范围. 2 3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2 类型2.参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围. 分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9 ' 2 (2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3) 由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 9 3 3 当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 0 3 所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________________________________ .

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-

导数问题中参数范围的求法-典型

导数问题中参数范围的求法」、分离常数法 (I)常规分离常数法 g(a) f (x) min g(a) f (x) max (U)能分离常数，但求稳定点困难原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算例2、已知函数f (x ) 1一―1) (x 0)，若当x 0时，f(x) x 求正整数k 的最大值. (x 叭呛 ° ° , h(x) x 1 ? x 1) x x 设 g(x) x 1 In(x 1) 从而 h(x) 0与g(x) 0在(0,)有相同根 x g (x) 0 由于 g(2) 0且 g(3) 0 x 1 所以g(x) 0存在唯根 (2,3) 故g() 0 得 1 ln( 1) 0 x (0, )时 g(x) 0 h '(x) 0 x (, )时 g(x) 0 h '(x) 0 h(x)min ( 1)(I n( 1) 1) 1 (3,4) h() 所以k h (X )min 1 4 又因为 k Z ，故k max 3 ? (川)能分离常数，但求最值困难例1、(2010全国卷一)已知函数f(x) (x 1)ln x x 1，若 xf (x) x 2 ax 1， f '(x) x 1 , Inx x xf '(x) x 2 ax 1 令 g(x) In x x ( 当0 x 1 时 g '(x) g ( x) mac g(x) 1 求a 的取值范围. a 0) ，解: 1 x Inx 1 x In x x g(x) x 当 x 1 时 g '(x) 0 g (1) 所以g(x) 1 故a 1 原理：将所给不等式变形为 g(a) f(x) g(a) f (x) 恒成立, 解：有已知k (x 1)f (x) (x 1)(1 n(x 1) 1) x 设 h(x)

利用导数求参数的取值范围

高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min ) (恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值 a x f a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导. 令)(x f =4x -2 2x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in ) (x f >a -2. 又)(x f '=3 4x -x 4=42 x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1. )(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：因为)(x f 在R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即m in )(x f =)1(f = -1， ∴m in ) (x f = -1>a -2，即a >3. 点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例3若函数)(x f =3()log x ax a -(a >0,a ≠1)在区间(-2 1,0)内单调递增，则a 的取值范围是（）

2参数方程知识讲解及典型例题

参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程

αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离）说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（）（A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由. 解：（1）2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减，则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立令2 ()(2)g x x a x a =-++， Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切

(完整版)参数方程高考真题专题训练

高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.