空间几何体表面积和体积 8.2

空间几何体表面积和体积 8.2
空间几何体表面积和体积 8.2

1.多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

【知识拓展】

1.与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ,球的半径为R , ①若球为正方体的外接球,则2R =3a ; ②若球为正方体的内切球,则2R =a ; ③若球与正方体的各棱相切,则2R =2a .

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ,b ,c ,外接球的半径为R ,则2R =a 2+b 2+c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( )

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( )

(6)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )

1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A .1 cm B .2 cm C .3 cm D.3

2

cm

2.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

A .90 cm 2

B .129 cm 2

C .132 cm 2

D .138 cm 2

3.(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ) A .12π

B.32

3

π

C .8π

D .4π

4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺31

3寸,容纳米2 000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,

斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( ) A .1丈3尺 B .5丈4尺 C .9丈2尺

D .48丈6尺

5.(2016·成都一诊)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比

为________.

题型一 求空间几何体的表面积

例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )

A .21+ 3

B .18+3

C .21

D .18

(2)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.

(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.

题型二 求空间几何体的体积

命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积

例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.13+23π B.13+23πC.13+26π D .1+26π 命题点2 求简单几何体的体积

例3 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若

将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为______________________________________.

(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的主视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.

(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()

A.

2

3 B.

3

3 C.

4

3D.

3

2

题型三与球有关的切、接问题

例4已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()

A.317

2B.210

C.13

2D.310

引申探究

1.已知棱长为4的正方体,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?

2.已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少?

3.已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥,则其外接球的半径是多少?

(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()

A .4π B.9π2C .6π D.32π

3

15.巧用补形法解决立体几何问题

典例 (2016·青岛模拟)如图,在△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,DB ⊥平面ABC ,且AE ∥FC ∥BD ,BD =3,FC =4,AE =5,则此几何体的体积为________.

1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A .4+π2

B .4+3π2

C .4+5π

2D .4+π

2.(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

A.(4+π)3

3

B.

(8+π)3

6

C.(8+π)3

3

D .(4+π) 3

3.(2015·山东)在梯形ABCD 中,∠ABC =π

2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.

2π3 B.4π3C.5π

3

D .2π

4.(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A .1+ 3

B .2+ 3

C .1+2 2

D .2 2

B.

5.(2016·广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( )

A.203π B .6π C.103π D.163

π

6.(2016·福建三明一中第二次月考)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为( )

A. 2

B.

2

2

C .2

D .1 7.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,以顶点A 为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体

的表面相交所得到的两段弧长之和为________.

8.(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD 满足AB =CD =6,AC =AD =BC =BD =2,则四面体ABCD 的外接球的表面积是________.

10.(2016·浙江)如图,在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ,

满足PD =DA ,PB =BA ,则四面体PBCD 的体积的最大值是________.

11.(2015·课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD .

(1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;

(2)若∠ABC =120°,AE ⊥EC ,三棱锥EACD 的体积为6

3

,求该三棱锥的侧面积.

12.如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,AB =2,EB = 3.

(1)求证:DE ⊥平面ADC ;

(2)设AC =x ,V (x )表示三棱锥B -ACE 的体积,求函数V (x )的解析式及最大值.

简单几何体的表面积和体积(含答案)

简单几何体的表面积和体积 [基础知识] 1.旋转体的侧面积 2S 直棱柱侧=______(c 为底面周长,h 为高) S 正棱锥侧=______(c 为底面周长,h ′为斜高) S 正棱台侧=1 2 (c +c ′)h ′(c ′,c 分别为上、下底面周长,h ′为斜高) 3.体积公式 (1)柱体:柱体的底面面积为S ,高为h ,则V =____.(2)锥体:锥体的底面面积为S ,高为h ,则V =_____ (3)台体:台体的上、下底面面积分别为S ′、S ,高为h ,则V =1 3 (S ′+S ′S +S)h . [基础练习] 1.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( ) A .8 B .8π C .4π D .2 π 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( ) A .1+2π2π B .1+4π4π C .1+2ππ D .1+4π2π 3.中心角为135°,面积为B 的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为A ,则A ∶B 等于( ) A .11∶8 B .3∶8 C .8∶3 D .13∶8 4.已知直角三角形的两直角边长为a 、b ,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形成的几何体的体积之比为( ) A .a ∶b B .b ∶a C .a 2∶b 2 D .b 2∶a 2 5.有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm ),则该几何体的表面积和体积分别为( ) A .24π cm 2, 12π cm 3 B .15π cm 2, 12π cm 3 C .24π cm 2, 36π cm 3 D .以上都不正确 6.三视图如图所示的几何体的全面积是( ) A .7+ 2 B .112+ 2 C .7+ 3 D .3 2 [典型例题] 例1. 如图,E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点,沿图中虚线 将边长为2的正方形折起来,围成一个三棱锥,求此三棱锥的体积.

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和 体积公式汇总表 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.(1)圆柱的侧面展开图是一个 ,设底面半径为r ,母线长为l ,那么圆柱的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (3)圆锥的侧面展开图是一个 ,设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么它的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (4)圆台的侧面展开图是一个 ,设上、下底面圆半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么上底面面积=上底S ,下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论:设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全2a ; (2)体积:3a ; (3)对棱中点连线段的长:a ; (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径:R= a ; (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则 1V :2V 是( ) A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为0120,已知 底面圆的半径为1,求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体ABC S -,求它的表面积。

空间几何体的表面积和体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全(表)面积(含侧面积) 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥:h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥:l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台:h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台:l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球:r S 24π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥

3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球: r V 33 4 π=球 ② 球冠:略 ③ 球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的3 2 。

分析:圆柱体积:r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积:r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此:球体体积:r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积:r S 24π=球 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式: )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上,下底面积为S 下高为h 。 易知:PDC ?∽PAB ?,设h PE 1=, 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得: PF PE AB CD =

简单几何体的表面积与体积

第2节简单几何体的表面积与体积 最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 知识梳理 1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面,则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3.简单几何体的表面积与体积公式 [常用结论与微点提醒] 1.正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球,则2R=3a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.

2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.() (2)球的体积之比等于半径比的平方.() (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.() (4)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R= 3 2a.() 解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一,故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方,故不正确. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.(教材练习改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.3 2cm 解析由题意,得S 表 =πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得r2=4,所以r=2(cm). 答案 B 3.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为() A.12π B.32 3π C.8π D.4π 解析设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=3 a,即R= 3.所以球的表面积S=4πR2=12π. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.π B.3π 4 C. π 2 D. π 4

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

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空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.(1)圆柱的侧面展开图是一个 ,设底面半径为r ,母线长为l ,那么圆柱的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (3)圆锥的侧面展开图是一个 ,设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么它的底面积 =底S ,侧面积=侧S ,表面积S = 。 (4)圆台的侧面展开图是一个 ,设上、下底面圆半径分别为r '、r ,母线长为l ,那么上底面面积=上底S ,下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论:设正四面体的棱长为a ,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全2a ; (2)体积:V=312a ; (3)对棱中点连线段的长:d= 2 a ; (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径:R= a ; (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则1V :2V 是( ) A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为0120,已知 底面圆的半径为1,求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体ABC S -,求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形,求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3,它的侧面积是两底面面积和的2倍,则圆台的母线长是( ) A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ,宽8cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( )

空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积 [基础要点] 1.圆柱的表面积公式: 2.圆锥的表面积公式: 3.圆台的表面积公式: 4.圆锥的体积公式: 5.棱锥的体积公式: 6.圆台的体积公式: 7.球的表面积公式: 8.球的体积公式: 题型一、柱体的体积、表面积公式 例1、直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为12,Q Q ,求它的侧面积 变式:如图是一个平面截长方体得剩余部分,已知4,3,AB BC ==5,8AE BF ==, 12C G =,求几何体的体积 题型二、锥体、球体的体积和表面积公式 例2、正四面体棱长为a ,求其外接球和内切球的表面积 变式:一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥内又有一个内切球,求: (1)圆锥的侧面积 (2)圆锥的内切球的体积 题型三、台体的表面积与体积公式 例3、如图,已知正三棱台111A B C ABC -的两底面边长分别为2和8,侧棱长等于6,求三棱台的体积V D1 O1C1 D C B1 B A1 A O H

变式:用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24㎝,下底半径为16㎝,母线长为48㎝,则矩形铁皮的长边长是多少? 题型四、实际问题与几何体面积、体积的结合 例4、如图示,一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,球的半径为R ,正四棱台的上、下底面边长分别是2.5R 和3R ,斜高为0.6R , (1)求这个容器盖子的表面积(用R 表示,焊接处对面积的影响忽略不计) (2)若R=2㎝,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1㎡,计算为100个这样的盖子涂色约需要多少千克。(精确到0.1kg ) 变式:某人买了一罐容积为V 升、高为a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油,由于不小心摔落地上,结果有两处破损并发生渗漏,它们的位置分别在两条棱上且距底高度分别为,b c 的地方(单位:米),为了减少罐内液油的损失,该人采用罐口朝上,倾斜灌口的方式拿回家,试问罐内液油最理想的估计能剩多少? [自测训练] 1、已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ,设四面体EFGH 的表面积为T ,则T S 等于( ) A 、 19 B 、49 C 、 14 D 、 13 2、圆柱的轴截面是边长为5㎝的正方形ABCD ,从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为( ) A 、10㎝ B 、 2 542 π+㎝ C 、52㎝ D 、2 51π+㎝ 3、棱锥的高为16㎝,底面积为2 512cm ,平行于底面的截面积为2 50cm ,则截面与底面的距离为( ) A 、5㎝ B 、10㎝ C 、11㎝ D 、25㎝

空间几何体表面积与体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全(表)面积(含侧面积) 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥: ②圆锥: 3、台体 ①棱台: ②圆台: 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥

3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球: ②球冠:略 ③球缺:略 说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算;而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子) 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理:(圆柱容球) 圆柱容球原理:在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的。

分析:圆柱体积: 圆柱侧面积: 因此:球体体积: 球体表面积: 通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图) += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式: 证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为,下底面积为 高为。 易知:∽,设, 则 由相似三角形的性质得:

即:(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得: 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入:得: 即: ∴ 4、球体体积公式推导 分析:将半球平行分成相同高度的若干层(),越大,每一层越近似于圆柱,时,每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为,则:每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……

人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(2)

人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(2) 一、选择题(本大题共5小题,共25.0分) 1.若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为() A. 4π(r+R)2 B. 4πr2R2 C. 4πrR D. π(R+r)2 2.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为() A. 4 3πa2 B. 7 3 πa2 C. 8 3 πa2 D. 16 3 πa2 3.在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3, 则V的最大值是() A. 4π B. 9π 2C. 6π D. 32π 3 4.体积为64的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为() A. 12π B. 48π C. 8π D. 64π 5.已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角 形,E,F分别是PA,PB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为() A. 8√6π B. 4√6π C. 2√6π D. √6π 二、填空题(本大题共7小题,共35.0分) 6.已知正三棱柱底面边长是2,该三棱柱的体积为8√2,则该正三棱柱外接球的表面积是. 7.已知正方体的棱长为2,则与正方体的各棱都相切的球的体积是_________. 8.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体 的体积为____. 9.如图,正方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=2,则三棱锥A?A1B1C的体积 是______ .

10.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖 去四棱锥O?EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g. 11.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为_______. 12.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则v1 的值是_______. v2 三、解答题(本大题共4小题,共48.0分) 13.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5, CD=2√2,AD=2,求四边形ABCD绕AD选择一周所成几何 体的表面积及体积.

简单几何体表面积

运用二 表面积 【例2】(1)(2019·山西高二月考(文))已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为54π,则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)(2019·福建高三月考(文))《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示,则它的表面积为( ) A .2 B .422+ C .442+ D .642+ (3)(2019·安徽高二期末(文))如图,长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体表面积为( ) A .1662+ B .1682+ C .1262+ D .1282+ 【答案】(1)B(2)D(3)D 【解析】(1)设圆柱的底面半径为r .因为圆柱的轴截面为正方形,所以该圆柱的高为2r .因为该圆柱的体积为54π,23π2π54πr h r ==,解得3r =,所以该圆柱的侧面积为2π236r r ?=π. (2)根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱,底面是一个直角三角形,两条直角2,斜边是2,且侧棱与底面垂直,侧棱长是2, ∴几何体的表面积12222222264 2.2 S =?+??=+故选:D .

(3)由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四棱锥,底面是矩形,AD =4,AB =2,四棱锥的高为2. 则其表面积为S 111424222224221282222=?+ ??+???+??=+.故选:D . 【举一反三】 1.(2019·湖南高一期末)已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍,则该圆柱的侧面积与表面积的比值为( ) A.14 B.12 C.23 D.45 【答案】C 【解析】设圆柱底面圆的半径为r ,则高2h r =,该圆柱的侧面积为224r h r ππ?=,表面 积为222 426r r r πππ+=,故该圆柱的侧面积与表面积的比值为224263r r ππ=. 2.(2019·湖南高三期末(文))一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .2+2 B .2 C .1+22 D .5 【答案】A

空间几何体的表面积和体积讲解及经典例题

空间几何体的表面积和体积 一.课标要求: 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。 二.命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上,预测2009年高考有以下特色: (1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; (2)考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题;与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题; 三.要点精讲 1.多面体的面积和体积公式 长。 2.旋转体的面积和体积公式 12

下底面半径,R 表示半径。 四.典例解析 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm 2 ,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得:? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由(2)2 得:x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36(3) 由(3)-(1)得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、切)与面积、体积之间的关系。 例2.如图1所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5,AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD ,∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 (1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析:(1)如图2,连结A 1O ,则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ,作ON ⊥AD 交AD 于N ,连结A 1M ,A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ,A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN , ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N , 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中,A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9- 29=2 9,

高考理科数学一轮总复习第八章简单几何体的再认识(表面积与体积)

第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积) 一、知识梳理 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧=2πrl S 圆锥侧=πrl S 圆台侧=π(r +r ′)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积=S 侧+2S 底 V =S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+S 底 V =1 3 S 底h 台 体(棱台和圆台) S 表面积=S 侧+S 上+S 下 V =1 3 (S 上+S 下+S 上S 下)h 球 S =4πR 2 V =43 πR 3 常用结论 1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球:球心是正方体的中心;半径r = 3 2a (a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体的中心;半径r =a 2(a 为正方体的棱长). (3)与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心;半径r =2 2 a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分).

(2)外接球:球心是正四面体的中心;半径r =6 4 a (a 为正四面体的棱长). (3)内切球:球心是正四面体的中心;半径r =6 12 a (a 为正四面体的棱长). 二、教材衍化 1.已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为________. 解析:S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π, 所以r 2=4,所以r =2. 答案:2 cm 2. 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________. 解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a ,b ,c ,它截出棱锥的体积V 1=13×12×12a ×12b × 12c =148abc ,剩下的几何体的体积V 2=abc -148abc =47 48 abc ,所以V 1∶V 2=1∶47. 答案:1∶47 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( ) (5)长方体既有外接球又有内切球.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区|K(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积; (2)考虑不周忽视分类讨论; (3)几何体的截面性质理解有误;

空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πR2h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]

体积:πR2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体 a-边长,S=6a2 ,V=a3 4、长方体 a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc) V=abc 5、棱柱 S-底面积h-高V=Sh 6、棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 7、棱台 S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体 S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积 h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱 r-底半径,h-高,C—底面周长 S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πr S底=πr2,S侧=Ch ,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h 10、空心圆柱 R-外圆半径,r-圆半径h-高V=πh(R^2-r^2) 11、直圆锥 r-底半径h-高V=πr^2h/3

12、圆台 r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 13、球 r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/6 14、球缺 h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 = πh2(3r-h)/3 15、球台 r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 16、圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4 17、桶状体 D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 1.直线在平面的判定 (1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面,则这条直线在平面. (2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面,即若α⊥β,A∈α,AB⊥β,则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面,即若A∈a,a⊥b,A∈α,b⊥α,则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面,即若Pα,P∈β,β∥α,P∈a,a∥α,则aβ.

高中数学新教材必修第二册专题8.3 简单几何体的表面积与体积(原卷版)

专题8.3 简单几何的表面积与体积

运用一 体积 【例1】(1)(2019·北京高二学业考试)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AB AC ⊥,如果3AB =,1AC =,12AA =,那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)(2019·云南省玉溪第一中学高二月考)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为( ) B. D.(3)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( ) A.112 3 B.136 3 C.48 D.56

【举一反三】 1.(2019·北京高一期末)已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形,则这个圆柱的体积是( ) A .22π B .2π C .2 2π D .2 3π 2.(2019·河北高三月考(理))圆锥的母线长是4,侧面积是4π,则该圆锥的高为( ) A B .4 C .3 D .2 3.设正六棱锥的底面边长为1 ) A. C. D.2 4.已知圆台上、下底面的面积分别为π,4π,侧面积为6π,则这个圆台的体积为( ). A .14π B .143π C D . 5.(2019·四川绵阳中学高一月考)圆台上底半径为2,下底半径为6,母线长为5,则圆台的体积为( ) A.40π B.52π C.50π D.2123 π 运用二 表面积 【例2】(1)(2019·山西高二月考(文))已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为54π,则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)(2019·福建高三月考(文))《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示,则它的表面积为( ) A .2 B .4+ C .4+ D .6+ (3)(2019·安徽高二期末(文))如图,长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体表面积为( )

所有图形的面积体积表面积公式

长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C=4a S=a2 长方形a和b-边长C=2(a+b) S=ab 三角形a,b,c-三边长 h-a边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2

=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长 α-对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角S=ah =absinα 菱形a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长S=Dd/2 =a2sinα 梯形a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长S=(a+b)h/2

圆r-半径 d-直径C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2

空间几何体表面积和体积练习题

空间几何体的表面积和体积练习题 题1 一个圆锥与一个球的体积相等,圆锥的底面半径是球的半径的3倍,则圆锥的高与底面半径之比为( ) A.49 B.94 C.427 D.274 题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上,若该正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则此球的体积为________. 题3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .2π+2 3 B .4π+2 3 C .2π+233 D .4π+233 题4 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ,F 在棱A 1B 1上,点Q 是棱CD 的中点,动点P 在棱AD 上.若EF =1,DP =x ,A 1E =y (x ,y 大于零),则三棱锥P -EFQ 的体积.( ) A .与x ,y 都有关 B .与x ,y 都无关 C .与x 有关,与y 无关 D .与y 有关,与x 无关 题5 直角梯形的一个底角为45°,下底长为上底长的32 ,这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+2)π,求这个旋转体的体积. 题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A .πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D .5πa 2 题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2,求球的表面积. 题8 正四棱台的高为12cm ,两底面的边长分别为2cm 和12cm .(Ⅰ)求正四棱台的全面积;(Ⅱ)求正四棱台的体积. 题9 如图,已知几何体的三视图(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积. 题10 如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,用截面截下一个棱锥C A DD ''-,求棱锥C A DD ''-的体积与剩余部分的体积之比. 题11 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所

考点 简单几何体的表面积和体积

简单几何体的表面积和体积 1.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为() A.280B.292 C.360 D.372 2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上.若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积() A.与x,y,z都有关B.与x有关,与y,z无关 C.与y有关,与x,z无关D.与z有关,与x,y无关 3.一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体积为() A.24 cm3B.48 cm3 C.32 cm3D.28 cm3 4.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为()

A.24- 3π 2B.24- π 3C.24-πD.24- π 2 5.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是() A.8πB.6πC.4πD.π 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于() A. 28 3 π B. 16 3 π C. 4 3 π+8 D.12π 7.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 8.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE?△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) 23 .. 33 43 .. 32 A B C D 9.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ) 10.如图,啤酒瓶的高为h,瓶内酒面高度为a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( ) .42.22 .32.6 A B C D ++ +

空间几何体的表面积和体积(一)

空间几何体的表面积与体积 柱体、锥体、台体的表面积与体积 [新知初探] 1.柱体、锥体、台体的表面积公式 2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高); 锥体的体积公式V= 1 3Sh(S为底面面积,h为高); 台体的体积公式V= 1 3(S′+S′S+S)h. [点睛](1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:

[小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案:(1)× (2)√ 2.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a 时,该三棱锥的表面积是( ) A.3+34a 2 B.34a 2 C.3+32 a 2 D.6+34 a 2 解析:选A ∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于2 2 a ,∴S 表 = 34a 2+3×12 × ??? ?22a 2=3+34a 2. 3.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是________. 解析:由已知圆锥的高h =4, 所以V 圆锥=1 3π×32×4=12π. 答案:12π 柱、锥、台的表面积 [典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该 直四棱柱的侧面积. [解] 如图,设底面对角线AC =a ,BD =b ,交点为O ,对角线A 1C =15,B 1D =9, ∴a 2+52=152,b 2+52=92, ∴a 2=200,b 2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB 2= ????AC 22+????BD 22=a 2+b 2 4=200+564 =64,∴AB =8. ∴直四棱柱的侧面积S =4×8×5=160. (1)求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算

第六讲简单几何体的表面积与体积的计算第六讲简单几何体的表面积与体积的计算 一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图,这一展开图是由六个全等的正方形组成的,见图6—1。 图6─l只是正方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。 2.长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的,见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法,还有别的画法(从略)。 3.(直)圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面

的交线将圆柱剪开铺平,就得到圆柱体的平面展开图。它由 一个长方形和两个全等的圆组成,这个长方形的长是圆柱底 面圆的周长,宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面 展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。 4.(直)圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥 体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为 圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一 个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见 图6—4。二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2×(a×b+b×c+c×a) 长方体的体积=a×b×c(这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)。 2.正方体 正方体的表面积=6×a2 正方体的体积=a3(这里a为正方体的棱长)。

3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR(h+R) 圆柱体的体积=πR2h(这里R表示圆柱体底面圆的半径,h表示圆柱的高)。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=πRl 圆锥体的全面积=πRl+πR2 母线长与高)。 三、例题选讲 例1 图6—5中的几何体是一个正方体,图6—6是这个正方体的一个平面展开图,图6—7(a)、(b)、(c)也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案 没画出来,请你给补上。 分析与解:从图6—5和图6—6中可知:与;与;与互相

空间几何体的表面积与体积 示范教案

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 整体设计 教学分析 本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手,分析展开图与其表面积的关系,目的有两个:其一,复习表面积的概念,即表面积是各个面的面积的和;其二,介绍求几何体表面积的方法,把它们展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积. 接着,教科书安排了一个“探究”,要求学生类比正方体、长方体的表面积,讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题,并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出:棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形,棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形,棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样,求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征,在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形,圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论,随后的有关圆台表面积问题的“探究”,也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是,圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式,得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系,教学中应当引导学生认真分析,在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台;圆锥可看成上底面半径为零的圆台,因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样,圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道,几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间,因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道:①完全相同的几何体,它的体积相等;②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体,但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的. 柱体和锥体的体积计算,是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解,但进一步了解这些公式的推导,有助于学生理解和掌握这些公式,为此,教科书安排了一个“探究”,要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中,可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似,教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后,安排了一个“思考”,目的是引导学生思考这些公式之间的关系,建立它们之间的联系.实际上,这几个公式之间的关系,是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样,在台体的体积公式中,令S′=S,得柱体的体积公式;令S′=0,得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中,要重视发挥思考和探究等栏目的作用,培养学生的类比思维能力,引导学生发现这些公式之间的关系,建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上,防止出现:教师在公式推导过程中“纠缠不止”,要留出“空白”,让学生自己去思考和解决问题.如果有条件,可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生,可以通过制作实物模型,经过操作确认来增强空间想象能力. 三维目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆),提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣.

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