解三角形专题

一、基础知识： 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）2

sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式）（3）

22sin sin sin bc B C

a A

= 2、余弦定理：2

2cos a b c bc A =+-

变式：（1）222

cos 2b c a A bc

+-=

① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角当222

b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；

当222

b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角；当222

b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角

② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A

（2）()()2

21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进

行整体代入即可

3、三角形面积公式：

（1）1

2S a h =

? （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===

（3）()1

S a b c r =++? （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）

（4）海伦公式：()1

S p a b c ==++

（5）向量方法：S =

（其中,a b

为边,a b 所构成的向量，方向任意）

证明：()2222222111

sin sin 1cos 244

S ab C S a b C a b C =

?==-

S ∴=cos a b ab C ?=

∴

S =

坐标表示：()()1122,,,a x y b x y = ，则12211

S x y x y =-

4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。 ()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-

5、确定三角形要素的条件：（1）唯一确定的三角形： ① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 ② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角

③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边（2）不唯一确定的三角形 ① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C = ② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求B 时，

sin sin sin sin a b b A

B A B a

=?=，而0,,22B πππ????

∈ ? ?????

时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角）

，所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1） 6、解三角形的常用方法：

（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解

7、三角形的中线定理与角平分线定理

（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，

则()

2222

2AB AC AD BD +=+ （知三求一）

证明：在ABD 中

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-? ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-? ②

D 为BC 中点 BD CD ∴=

ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=- ∴ ①+②可得：

()22222AB AC AD BD +=+

（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的

角平分线，则AB BD

AC CD

= 证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于E BD BE DC AE

∴= EDA DAC ∠=∠ AD 为BAC ∠的角平分线

EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠ EAD ∴ 为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BE DC AE ED ∴== 而由BED BAC 可得：BE AB ED AC = AB BD AC CD

∴= 二、典型例题：

例1：（1）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

，若60c b B ==

，则

C =_____

（2））ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

若30

c ===

，则B =_____

思路：（1）由已知,,B b c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c B

C B C b

=?= 代入可解得：1sin 2

C =。由c b <可得：60C B <= ，所以30C =

答案：30C =

（2）由已知,,C b c 求B 可联想到使用正弦定理：

sin sin sin sin b c b C

B B

C c

=?=

代入可解得：sin B =

60B = 或120B = ，由c b <可得：C B <，所以60B =

和120B = 均满足条件

答案：60B =

或120B =

小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。例2：在ABC 中，2,60BC B ==

，若ABC

，则AC 边长为_________ 思路：通过条件可想到利用面积S 与,BC B ∠求出另一条边AB ，再利用余弦定理求出AC 即可

解：11sin 22222

ABC S AB BC B AB =

?????=

1AB ∴=

2221

2cos 142232

AC AB BC AB BC B ∴=+-?=+-??

AC ∴=

例3：（2012课标全国）已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且有

cos sin 0a C C b c --=

（1）求A

（2）若2a =，且ABC ,b c

（1）思路：从等式cos sin 0a C C b c +--=入手，观察每一项关于,,a b c 齐次，考虑利用正弦定理边化角：

cos sin 0sin cos sin sin sin 0a C C b c A C A C B C --=?+--=，所涉及式

子与,A C 关联较大，从而考虑换掉()sin sin B A C =+，展开化简后即可求出A

解：cos sin 0a C C b c --=

sin cos sin sin sin 0A C A C B C ?--=

()

sin cos sin sin sin 0A C A C A C C ?-+-=

sin cos sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ?---=

1cos 12sin 1sin 662

A A A A ππ??

?-=?-

=?-= ? ??

??? 6

A π

∴-=

或56

A π

（舍） 3

A π

∴=

（2）思路：由（1）可得3

A π

，再由ABC S 2a =可想到利用面积与关于A 的余弦

定理可列出,b c 的两个方程，解出,b c 即可

解：1

sin 42

ABC S bc A bc =

== 222222cos 4a b c bc A b c bc =+-?=+-

22224844

b c bc b c bc bc ??+-=+=∴???

==?? 可解得2

2b c =??=? 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角,,A B C 同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角

例4：如图，在ABC 中，D 是边AC

上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则

sin C 的值为___________

思路：求sin C 的值考虑把C 放入到三角形中，可选的三角形有ABC 和BDC ，在BDC 中，已知条件有两边,BD BC ，但是缺少一个

角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在ABD 中，三边比例已知，进而可求出BDA ∠，再利用补角关系求出BDC ∠，从而BDC 中已知两边一角，可解出C

解：由2AB =可设2BD k =

则AB =

,4AD BC k ∴==

∴ 在ADB

中，

(

222

2cos 23

k AD BD AB

ADB AD BD

+-+-=

cos cos 3BDC ADB ∴=-=-

sin

BDC ∴= 在BDC 中，由正弦定理可得：

sin sin sin sin BD BC BD BDC C C BDC BC ?=?== 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。

（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的k ），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算

例5：已知ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对边的边长，若ABC 的面积为S ，且

()2

22S a b c =+-，则tan C 等于___________

思路：由已知()2

2S a b c =+-可联想到余弦定理关于cos C 的内容，而1

sin 2

S ab C =

，所以可以得到一个关于sin ,cos C C 的式子，进而求出tan C 解：()2

2221

22sin 22

S a b c ab C a b c ab =+-??

=+-+ 而222

2cos c a b ab C =+- 2

2cos a b c ab C ∴+-=代入可得：

sin 22cos sin 22cos ab C ab ab C C C =+?=+

4sin sin 22cos 5

3sin cos 1cos 5C C C C C C ?

=?=+??∴???+=??=-

?? 4

tan 3

C ∴=-

答案：4tan 3

C =-

例6：在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?

的面积为，

2,cos ,4

b c A -==- 则a 的值为 .

思路：已知cos A 求a 可以联想到余弦定理，但要解出,b c 的值，所以寻找解出,b c

的条件，1sin 2ABC S bc A ==

，而sin A ==24bc =，再由2

b c -=可得 ()2

222

2cos 22cos 64a b c bc A b c bc bc A =+-=-+-=，所以8a =

答案：8

例7：设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c

，若sin cos 0b A B =，且

2b ac =，则

a c

+的值为（） A.

C. 2

D. 4

思路：由sin cos 0b A B =

可得：sin sin cos 0B A A B =

，从而tan B =解得3

B π

，从2b ac =可联想到余弦定理：22222

2cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以

有()2

220a c ac ac a c +-=?-=，从而a c =再由2

b a

c =可得a b c ==，所以

a c

+的值为2 答案：C

小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，2

b a

c =以及所求

a c

+也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。

例8：设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且2

b a b

c A π

=+=，则C =（）

6π B. 4π C. 34π D. 4

π或34π

思路：由2

a b bc =-的结构可以联想到余弦定理：2

2cos a b c bc A =+-，可以此为突破口，即2

2cos b bc b c bc A -=+-

，代入解得：)

1c b ∴=

，进而求出a =

，得到,,a b c 比例代入余弦定理可计算出C 解：由2

b a b

c =+可得：2

a b bc =-，

2222cos a b c bc A =+-

2222cos b bc b c bc A ∴-=+-

)21c bc =

)

1c b ∴=

代入到22b a bc =+

可得：)

21a b b =-

1a ∴==

::1a b c ∴=

)

222

111

cos 2a b c C ab

+-∴==

C π

∴=

例9：已知ABC 的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（）

34 B. 56 C. 710 D. 23

思路：不妨考虑a b c <<，将三个边设为1,,1a x b x c x =-==+，则2C A =，想到正弦定理sin sin 22cos sin sin c C A

A a A A

==，再将cos A 利用余弦定理用边表示，列方程解出x ，从而求

出cos A

解：设a b c <<，则1,,1a x b x c x =-==+

2C A = sin sin 22cos sin sin c C A A a A A

∴

=== 22222222c b c a b c a a bc bc

+-+-∴=?=代入1,,1a x b x c x =-==+可得： ()()()

11111x x x x x x x ++--+=-+ ，解得：5x = 4,5,6a b c ∴===

2223cos 24

b c a A bc +-∴==

答案：A

小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有2

cos 2cos 1C A =-，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。

例10：在ABC 中，D 为边BC 上一点，1

,120,22

BD CD ADB AD =∠== ，若ADC 的

面积为3BAC ∠=_________

思路：要求出BAC ∠，可在ABC

中求解，通过观察条件

120(120),2,3ADC ADB ADC AD S ∠=∠=== ，可

从ADC 可解，解出,AD AC ，进而求出BD ，再在ABD 中解出AB ，从而ABC 三边齐备，利用余弦定理可求出BAC ∠

解：1

sin 32

ADC S AD DC ADC =

??=-

(

)

232

12sin

DC π

-∴=

BD DC ∴=

)

2cos 22

1222

1cos

AC AD DC AD DC ADC π

??∴=+-??=+-???

(

64=-

)

1AC ∴=

同理222

2cos AB AD DB AD DB ADB ∴=+-??

)

221221cos

-??

AB ∴=

222661311

cos 22AB AC BC BAC AB AC ??

+-+-∴===?

60BAC ∴∠=

答案：60BAC ∠=

小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件

观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素

（

2）本题还可以利用辅助线简化运算，作AM BC ⊥于M ，进而利用在Rt ADM

中

60,2ADC AD ∠==

得1AM DM ==，再用3

ADC S = 解出)

1CD =-

进

而

BD =，则在

上

3BM BD DM CM CD DM =+==-=

所以45,t a n 3CM

BAM MAC

∠===-

可得：

15MAC ∠= ，所以60BAC ∠=

三、近年好题精选

1、设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且1,,24

ABC

a B S π

=== ，则sin A =

（） A.

10 B.

C. D. 110

2、设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且

3,1,2b c A B ===，则a 的值为（） A.

D. 3、在ABC 中，D

为BC 边上一点，2,45DC BD AD ADC ==∠= ，

若AC =，

则BD =（）

A. 2+

B. 4

2+ D.

3+B

4、（2015，北京）在ABC 中，4,5,6a b c ===，则

sin 2sin A

=_______ 5、（2015，广东）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

若1,26

a B C π

===，

则b =_______

6、（2015，福建）若锐角ABC

的面积为5,8AB AC ==，则BC 等于_______ 答案：7

7、（2015，天津）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC

的面积为1

2,cos 4

b c A -==-，则a 的值为_________

8、（2014，天津）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1

b c a -=

，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______

9、（2014，山东）在ABC 中，已知tan AB AC A ?= ，当6

A π

=时，ABC 的面积为_____

10、（2014，辽宁）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知

2,cos ,33

BA BC B b ?=== ，求：

（1）,a c 的值（2）()cos B C -的值

11、（2015，陕西）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，向量()

m a =

与()cos ,sin n A B =

平行（1）求A

（2

）若2a b ==，求ABC 的面积 12、（2015，新课标II ）在ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD 的面积是ADC 面积的2倍

（1）求sin sin B

（2

）若1,2

AD DC ==

，求,BD AC 的长 13、（2015，安徽）在ABC

中，3,6,4

A A

B A

C π

===，点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长

14、(2015，江苏）在ABC 中，已知2,3,3

AB AC A π

===

（1）求BC 的长（2）求sin 2C 的值

习题答案： 1、答案：A

解析：1

sin 22

ABC S ac B c =

=?= 2222cos b a c ac B ∴=+-

代入可得：213221252

b =+-??= 5b ∴=

sin sin sin sin a b a A B A B b ∴

=?=?=

2、答案：D

解析：2A B = s i n

s i n 22s i n c o

A B B B ∴== 2cos a b B ∴= 222

c o s 2a c b B ac +-=

222219

2622a c b a a b a ac a +-+-∴=??=?

()2238a a ∴=-

22243

a a ∴=?=3、答案：C

解析：设BD x =，则2CD x =，由余弦定理可得：

222

2cos135AB AD BD AD BD =+-?

2cos 45AC AD CD AD CD =+-? ，代入可得：

22244AB x x

AC x x

?=++??=+-??

A C A

B = ∴22

1222244x x

x x

++=+-

解得：2x =4、答案：1

解析：

222sin2sin 2536164

2cos 221sin sin 22566

A A b c a a A C C bc c +-+-=?=??=??=?? 5、答案：1 解析：由1sin 2

B =及6

C π=可得：6B π=，从而23A π=，由正弦定理可得：sin sin a b

A B

=，

解得1b = 6、答案：7

解析：由

sin

ABC

S AB AC A

，可得：sin

，再由余弦定理可计算

BC==

7、答案：8

解析：

cos sin

A A

=-?==

sin24

ABC

S bc A bc

∴==?=

∴由余弦定理可得：()()

2222cos21cos64

a b c bc A b c bc A

=+-=-+-=

∴=

8、答案：

解析：由2sin3sin

B C

=可得23

b c

=代入到

b c a

-=即可得到::4:3:2

a b c=，不妨设4,3,2

a k

b k

c k

===，则

222222

94161

cos

22324

b c a k k k

bc k k

+-+-

===-

9、答案：

解析：

sin

tan cos

cos

AB AC A bc A

?=?=

sin

cos

∴=

11s i n11

s i n t a n

22c o s26

ABC

S bc A A

∴==?==

10、解析：由2

BA BC

可得：cos2

ac B=

∴=

由余弦定理可得：()()

221cos

b a

c ac B

=+-+即()2

9165

a c a c

=+-?+= 6

a c

∴+=

解得：

（2）由

cos

可得：sin

B==

由正弦定理可知：

sin

sin sin9

b c c B

B C b

=?==

c b

∴为锐角

cos

∴==

()23

cos cos cos sin sin

B C B C B C

∴-=+=

11、解析：（1）m n

∥

cos sin sin sin

A a

B A A B

=?=

sin tan

A A A

=?=

∴=

（2）由余弦定理可得：2222cos

a b c bc A

=+-即2

742

c c

=+-22303

c c c

∴--=?=

sin23

ABC

S bc A

∴==??=

12、解析：（1）

sin,sin

ABD ADC

S AB AD BAD S AC AD CAD

=?=?

ABD ADC

S S BAD CAD

=∠=∠

ABD

ADC

S AB

S AC

∴==

sin1

sin2

B AC

C AB

∴==

（2）2

ABD

ADC

S BD

S DC

BD DC

∴==

在,

ABD ADC

中，由余弦定理可得：

222

2cos

AB AD BD AD BD ADB

AC AD CD AD CD ADC

?=+-?

=+-?

22222

2326

AB AC AD BD DC

∴+=++=

再由2

AB AC

=可解得：1

AC=

13、解析：2222cos

BC AB AC AB AC A

=+-??

36182690

=+-??-=

∴=

由正弦定理可得：

sin sin sin sin 10

AC BC AC A B B A BC =?==

cos 10

B ∴=

由AD BD =可知ABD 为等腰三角形 2ADB B π∴∠=-∠ 由正弦定理可得：

()

sin sin sin 2AD AB AB

B BDA B π==

sin sin sin 22sin cos 2cos AB AB AB

AD B B B B B B

∴=

?=?==

14、解析：（1）由余弦定理可得：2

2cos BC AB AC AB AC A =+-?? 49223cos

=+-???=

BC ∴=

（2）由余弦定理可得：222cos

27AC BC AB C AC BC +-===

sin C ∴==

sin22sin cos 2777

C C C ∴==?

解答题专题复习---解三角形

解答题专题复习---解三角形一、考情分析解三角形是每年高考的热点，大题主要考查以一个三角形或四边形为背景的利用正弦、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积问题，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合的解三角形问题。试题难度多为中等。二、题型归类类型一：三角形基本量的求解问题【典例分析】（2017北京理数）在△ABC 中，A =60°，c = 3 7 a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积．

【归类巩固】（2018北京理数）在△ABC中，a=7，b=8， 1 cos 7 B=-．（1）求∠A；（2）求AC边上的高．类型二：已知一边一对角求范围问题【典例分析】(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2， a cos B＝(2c－b)cos A. (1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．【归类巩固】△ABC的内角,, A B C的对边分别为,, a b c，已知cos sin a b C c B =+. （1）求B；（2）若2 b=，求△ABC面积的最大值．

类型三：以平面几何为载体的解三角形问题此类问题的本质还是考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角度问题. 【典例分析】如图，在△ABC 中，3 B π ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1 cos 7 ADC ∠= ．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长.．【归类巩固】如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos sin BAD CBA ∠=∠=，求BC 的值．三、专题总结

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??= ?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册

专题05 三角函数与解三角形大题部分【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文）已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）.当时,求函数)(x f 的最小值和最大值【答案】（1）π, （2）【解析】（1） ,π=T , 单调递增区间为；（2） ∴当时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知中,角所对的边分别是 ,

且,其中是的面积,. （1）求的值；（2）若,求的值. 【答案】（1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f（x）的解析式并写出单增区间；（2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围．【答案】（1）,单调递增区间为；（2）．

解三角形专题复习-师

解三角形 ◆知识点梳理（一）正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R = ，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = （二）余弦定理：2 b =B a c c a cos 22 2 -+（求边），cosB=ac b c a 22 22-+（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：①Λ=?= a h a S 21；②Λ==A bc S sin 2 1 ； ③C B A R S sin sin sin 22 =； ④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2 a b c p ++=，r 为内切圆半径）（四）三角形内切圆的半径：2S r a b c ? =++，特别地，2a b c r +-=斜直（五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ?+?=，… （六）三角边角关系：（1）在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - cos 2A B +=sin 2C ； 2 cos 2sin C B A =+ （2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；（3）大边对大角：B A b a >?> ◆考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长. 例1、解：由正弦定理，得 C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴C c C a sin 2sin = ∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ①

高考解三角形专题(一)及答案

解三角形专题 1．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,3 a b B π ===，则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC ?的面积，若 () 2 2214 S b c a = +-，则A ∠=（） A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3．在ABC ?中，若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=，则该三角形的形状是（） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在中，内角为钝角，，，，则（） A. B. C. D. 5.在中，若，，则的周长为（）C A ． B ． C. D ． 6. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角的对边分别为 ,且 ,则的最大值为 __________． 8.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的最小值为． 9.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 . （1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab

三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式：其中由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(

其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos

4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.

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1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件（知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .

中考专题复习解三角形

1．（10分）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600 ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米(结果保留根号)？ 2. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝20m ，某人在点A 处，测得塔底C 的仰角为45o ，塔顶D 的仰角为60o ，求山高BC （精确到1m ，参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈） 3．(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)

4．(８分)某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使0 30=∠ADC （如图所示）．（1）求调整后楼梯AD 的长；（2）求BD 的长．（结果保留根号） 5．(８分)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ，∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位） 6．（8分）（2013?恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D 在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B 处，测得“香顶”N 的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??=?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

高二解三角形综合练习题

解三角形一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝( ) A．1 B.3 C．2 D．3 2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合 C．垂直D．相交但不垂直 3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D．0 5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3＋6 2 D. 3＋39 4 6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为( ) A．1

C.7