2015年虹口区一模数学试卷(含答案)

虹口区2014学年第一学期高三期终教学质量监测试卷

2015.1.8

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、椭圆2

214

x y +=的焦距为 .

2

、在9

1x ?

? ??

?的展开式中，各项系数之和为 .

3、若复数z 满足

22zi

i i

=-+（i 为虚数单位）

，则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .

5、行列式

()

3sin tan 4cos tan(

)

2

x x x x ππ

-+的最小值为 .

6、在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、

，若75,60,

A B b =?=?，则

c = .

7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤?=?

，，

，则方程()1f x =的所有解之和等于 .

8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122

lim

n

n a a a n →∞++

+= .

9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则

q = .

10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .

11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .

12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）

13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .

E

14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A π

ω?ω?+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴

的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且

2

8

MD MN π?=

，则函数()f x 的解析式为 .

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{}

,ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()

U C A B = （ ）.

A.()2,1-

B.(]2,1-

C.[)1,2

D.()1,2

16、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使

a b a

b

=

成立的必要条件是 （ ）.

A.a b =-

B.//a b

C.2a b =

D.//a b 且a b =

17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π

上述命题中，真命题的序号为 （ ）

A.①②③

B.①②④

C.①④

D.①③

18、若直线1y kx =+与曲线11

y x x x x

=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.

A.11,0,88??-????

B.11,88??

-???? C.11,88??-???? D.11,88??- ???

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.

19、（本题满分12分）

已知3cos ,424

x x πππ

????

-∈ ? ?????

，求sin ,sin ,cos 24x x x π??- ???的值

20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分

一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的3

16

，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .

（1）试确定R 与r

（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.

21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；

（2）若()()()3h x g x m f x =-?+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.

22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()

141n n n S a a n N *+=?+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()1

21n b n

n N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.

23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.

已知12F F 、为为双曲线22

221x y C a b

-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的

直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ?为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；

（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；

（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ?

的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.

2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）

一．填空题

1. 2. 1； 3. 5i -； 4. 16； 5. 5-； 6.

7. 1π-；

8. 1.5； 9. 2-； 10. 230x y --=； 11. 3； 12.

7

15

；

13. arccos 3

； 14. 2sin(2)4y x π=+；

二．选择题

15. C ； 16. B ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题

19. 解：(,)442x π

ππ

-

∈，在第一象限，∴sin()410

x π-==； 4

s i n

s i n (

)

s i n (

)c o s c o s ()s i n 4

4

4

4445

x x x x π

π

ππ

ππ=-+

=-+-=； 27

c o s 212s i n 25

x

x =-=-

；

20. （1）解：2

23416r R ππ=

?，r =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：222323

21143():()::3338

h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==?=小大小球大小小；

21. （1）解：2

()g x x x =-+；

（2）解：2

()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)

m

x m -=

≤-+，∴31m -≤<-；

当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)

m x m -=

≥+，∴1

13m -<≤-；

综上，1

33

m -≤≤-

； 22. （1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证；

（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，2

2log 21n n b n =-，22462log 13521

n n

T n =????-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+

，即证246213521

n

n ????>-… 当1n =

时，2> 假设当n k =

时，

246213521

k

k ????>-…成立； 当1n k =+

时，24622222

135

212121k k k k k k ++????

?>-++

…=；

>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立；

23. （1）3c =

，∵等边三角形，∴2AF =

，1AF =

a =22

136

x y -=； （2）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，中点为00(,)T x y '，然后点差法，

即得

2121212122()1312

()PQ PF T T

x x y y k y y x x k y y +--===-==

+-， ∴001

T

OT OT y y k k x '=

==，即点T '与点T 重合，所以T 为PQ 中点，得证； （3）解：假设存在这样的直线，设直线:3l x my =+，(,)R R R x y ，(,)S S S x y

联立3y x my ?=??

=+??

得R y =

；联立3

y x my ?=?

?=+??

得S y =；

11

6()22

F R S R

S S

y y =??-

()R S y y -=

=l .