四川省成都市青白江区南开为明学校2019-2020学年高二下学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

南开为明学校2019-2020学年高二下学期第三次月考

数 学 试 题（理科）

总分：150分 时间：120分钟

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)

1．复数3223i

i

+=- A ．1

B ．1-

C ．i

D ．i -

2．设()f x 是可导函数，且()()

000

2lim 2x f x x f x x

?→-?-=?，则()0f x '=（ ）

A ．

12

B ．-1

C ．0

D ．-2

3．函数()2

2ln f x x x =-的部分图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知函数()()ln f x f e x x '=+，则()()11f f '+=（ ）

A ．1e +

B ．3

C ．2e +

D ．2

5．曲线324y x x =-+在点(1

3)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°

B ．60°

C ．45°

D ．120°

6．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示．则函数()f x 在

(),a b 内有几个极小值点（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．已知点()2,,M t t ，()()1,1,N t t t t R --∈，则MN 的最小值为（ ）．

A ．

11

5

B C D ．

5

8．已知函数()2

ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18

B ．[]2,18

C ．(][),218,-∞+∞U

D ．[

)2,18 9．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，曲线在点P 处的切线与1y x =-平行，则P 的横坐标为（ ）

A ．1

B

C ．

2

D ．

10．某产品的销售收入1y （万元）关于产量x （千台）的函数为)10y x =>；生产成

本2y （万元）关于产量x （千台）的函数为)22

03

y x =>，为使利润最大，应生产产品( ) A ．9千台

B ．8千台

C ．7千台

D ．6千台

11．已知函数32

11()132

x

f x xe x x =--+极值点的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

12．函数2()ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．ln 2

212

a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤- D ．ln 3ln 2

3232

a -<≤-

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______.

14．用数学归纳法证明“()*1111,12321

n n n N n +

+++<∈>-L ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共 _项 15．若函数()()2

f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a =__________． 16．设函数

()()

e 1x

f x x =-，函数

()g x mx

=，若对于任意的

[]

12,2x ∈-，总存在

[]

21,2x ∈，使得

()()

12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．)

17．已知函数3

()31f x x x =-+． （1）求()f x 的单调区间 （2）求函数的极值；(要列表)

18.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角

形，AC =BC =AA 1=2，D 为侧棱AA 1的中点． （1）求异面直线DC 1，B 1C 所成角的余弦值； （2）求二面角B 1-DC -C 1的平面角的余弦值．

19 (本小题满分12分)某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级

各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.

（I ）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.

（II ）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？

非手机迷 手机迷 合计 男 女 合计

附：随机变量2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本总量）.

参考数据

20()P k x ≥ 0.15

0.10 0.05 0.025

0x

2.072 2.706

3.841 5.024

20．(本小题满分12分).已知函数) (0)(kx f x xe k =≠．

（1）求曲线 ()y f x =在点) 0,((0)f 处的切线方程；（2）讨论()

f x 的单调性.

21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x a x x bx =+-在1x =处取到极值2-.

（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在(]

0,2上的最大值.

22．（本小题满分12分）.已知函数()2

112

f x x x =

++，()x g x e =. （1）证明：x R ?∈，都有()1g x x ≥+；

（2）令()()()F x f x g x =-，讨论()F x 的零点个数

理 科 答 案

选择题1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．D 填空题 13． 14．2k 15．2 16．1

(,)2

-∞-

17．【答案】

试题解析：（1）3()31f x x x =-+Q ，/2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=-+，

/()011f x x x ===-设，可得，或．

①当/()0f x >时，11x x ><-，或；

②当/()0f x <时，11x -<<．

（2）由（1）可得，当x 变化时，/()f x ，()f x 的变化情况如下表：

当1x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为(1)3f -= 当1x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(1)1f =-

18．（1）10

（2）23

【详解】

（1）如图所示，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1为坐标轴，建立空间直角坐标系 C ﹣xyz ．

则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，2），B 1（0，2，2），D （2，0，1）．

所以1DC =u u u u r （﹣2，0，1），1B C =u u u r

（0，﹣2，﹣2）．

所以cos 1111

111058DC B C DC B C DC B C

?===-?u u u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u u r u u u r ＜，＞． 即异面直线DC 1与B 1C 所成角的余弦值为

10． （2）因为CB u u u r =（0，2，0），CA =u u u r

（2，0，0），1CC =u u u u r

（0，0，2），

所以CB u u u r ?CA =u u u r 0，CB u u u r ?1CC =u u u

u r 0，

所以CB u u u r

为平面ACC 1A 1的一个法向量．

因为1B C =u u u r （0，﹣2，﹣2），CD =u u u r （2，0，1），

设平面B 1DC 的一个法向量为n ，n ＝（x ，y ，z ）．

由10

n B C n CD ??=???=??u u u r u u u r ，得22020y z x z --=??

+=? 令x ＝1，则y ＝2，z ＝﹣2，n ＝（1，2，﹣2）．

所以cos ＜n ，42323

n CB CB n CB ?===??u u u r u u u r u u u r ＞．

所以二面角B 1﹣DC ﹣C 1的余弦值为

23

． 19．（Ⅰ）高一年级，理由见解析；（Ⅱ）列联表见解析，90% 【详解】

（Ⅰ）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为1224

0.26100

P +=

= 由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为2P =（0.0025+0.010）×20=0.25 因为P 1>P 2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大. （Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人）， 非手机迷有100﹣25=75（人）. 从而2×2列联表如下：

将2×2列联表中的数据代入公式计算，

得()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++ 2100(30104515)100

3.0307525455533

??-?==≈???

结合参考数据，可知3.030>2.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关.

20．（Ⅰ）y x =； （Ⅱ）见解析； 【详解】

(Ⅰ)()(1)kx f x kx e +'=， 因为()00f =,且()01f '=，

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为：y x =. (Ⅱ)令()()10kx

f x kx e '=+>，所以10kx +>，

当0k >时,1x k

>-

， 此时()f x 在1,k ??-∞- ?

?

?上单调递减,在1,k ??

-+∞ ???

上单调递增； 当k 0<时,1x k

<-

， 此时()f x 在1,k ??-∞-

?

?

?上单调递增,在1,k ??

-+∞ ???

上单调递减. 21．（1）()2

ln 3f x x x x =+-（2）ln 22- 【详解】 （1）()2a

f x x b x

'

=

+- 由题意得20

(1)012

(1)2a b f b f '?-+==????-=-=-??，解得1,3a b ==

即()2

ln 3f x x x x =+-

（2）21231(21)(1)

()23x x x x f x x x x x

'

-+--=+-==

1()002f x x '>?<<

或12x << 1()012

f x x '

()f x ∴在区间10,2?? ???

上单调递增，在区间1,12??

???上单调递减，在区间(1,2)上单调递增

15ln 2,(2)ln 2224f f ??

=--=- ???

1(2)2f f ??

< ???

Q max ()()ln 22f x f x ∴==-

22．（1）证明见详解；（2）1个. 【详解】

（1）令()1x

h x e x =--，则()1x

h x e '=-，

由()0h x '>得0x >；由()0h x '<得0x <；

所以函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 因此()()min 00h x h ==，

即10x e x --≥，即()1g x x ≥+，x R ?∈恒成立； （2）因为()()()2

112

x F x f x e x x x g =++--=， 所以()1x

F x x e +-'=，

令1()x x u x e +=-，则)1(x

e u x '=-，

由10()x

e u x '->=得0x <；由()0u x '<得0x >；

则1()x

x u x e +=-在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减；

因此((0)0)u u x ≤=，

所以10()x

x x e u +-≤=在R 上恒成立，即()0F x '<在R 上恒成立，

所以函数()2

112

x x F x x e ++-=在R 上单调递减， 又()00F =，

F x有1个零点. 所以函数()