第三章函数的应用学案

第三章函数的应用学案
第三章函数的应用学案

第三章 函数的应用

(本章主编 浙江省瑞安市第十中学 李春城)

3.1 函数与方程

3.1.1 方程的根与函数的零点

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1、零点的定义和意义:

(1)对于函数y= f(x)()x D ∈,我们把使__________________成立的实数x 叫做函数y= f(x)()x D ∈的零点。(2)函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的________,亦即函数y= f(x)的图象与______交点的________ 2、二次函数的零点:

二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)在________时有二个零点;在________时有一个零点;在________时没有零点。

3、函数零点的判断:

若函数y= f(x)在区间[a,b]上是一条_______的曲线,且有_________成立,那么函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点。

二清基本技能

1.若f (x )=

x

x 1

-,则方程f (4x )=x 的根是( ) A .-2. B . 2. C . -21. D . 2

1

.

2.下列函数中,在指定范围内存在零点的是( )

A .()2

1

,,0y x x x

=-

∈-∞ B .()1,1,1y x x =-∈- C .[]53,1,2y x x x =+-∈ D .()3

1,2,3y x x =-∈ 3.已知函数)(x f 的图象是连续不断的,有如下x 与)(x f 的对应值表:

则函数)(x f 在区间[1,6]上的零点至少有( ) A . 2个. B . 3个. C .4个. D .5个. 4.函数33)(3

--x x x f =有零点的区间是( )

A .(一l ,0).

B .(0,1).

C .(1,2).

D .(2,3). 5.若函数)(x f 的图象是连续不断的,且f (0)>0 ,f (1) f (2) f (4)<0,则下列命题正确的是( )

A .函数)(x f 在区间(0,1)内有零点.

B .函数)(x f 在区间(1,2)内有零点.

C .函数)(x f 在区间(0,2)内有零点.

D .函数)(x f 在区间(0,4)内有零点. 6.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调

查结果如下表:

表2 市场需求量

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )

A.(2.3,2.6)内. B .(2.4,2.6)内. C .(2.6,2.8)内. D .(2.8,2.9)内.

7.若方程2ax 2-x -1=0在(0,1)内恰好有一个解,则a 的取值范围是

A .a<-1

B .a>1

C .-1

D .0≤a<1

8.试写出零点为-1990,2000,-2006, 2008的一个函数___________________.

三清思维扩展

9.已知函数2()2(31)91f x mx m x m =--+-.

(1)若()f x 在区间(1,2)中仅有一个零点,求实数m 的取值范围; (2)若()f x 在其定义域上有两个不同零点,求实数m 的取值范围;

(3)函数()f x 在区间(1,3)上是否可能存在两个不同的零点,若可能,求出实数m 的取值范围,若不可能,说明理由.

10.设函数)2ln()(+-=x x x f ,求证:函数f (x )在[22

--e ,24-e ]上有两个零点

3.1.2 用二分法求方程的近似解

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二分法的思想及步骤

(1)对于在区间[a ,b]上________且_________的函数y =f (x ),通过不断地把函数的零点所在的区间________,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。

(2)用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a ,b],验证f (a )·f (b )<0,给定精度ε。 ②求区间(a ,b )的中点x 1。 ③计算f (x 1),若f (x 1)=0,则________就是函数的零点;若f (a )·f (x 1)<0,则取区间(a ,x 1)(此时零点x 0∈(a ,x 1);若f (x 1)·f (b )<0,则取区间(x 1,b )(此时零点x 0∈(x 1,b )。

④判断是否达到精度ε,即若____,则得到零点近似值a (或b );否则重复步骤②~④。

二清基本技能

1.方程2log (4)3x x +=的实根个数是( )

A .0.

B .1.

C .2

D .3 2.方程x 3+lg x =18的根x ≈ .(结果精确到0.1)

3. 已知图象连续不断的函数y=f (x )在区间(a ,b )(0.1b a -=)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确到0.0001)的近似值,那么将区间( a, b )等分的次数至多是_________。

4.判断方程013

=-x x -在区间(1,2)内有无实数解;如果有,求出一个近似解.(精确到0.1).

5.用二分法求方程3

2

222x x x -+-=0的近似解.(精确到0.01).

6.探究函数x y 3.1=与函数x y 3.1log =有无交点.如有交点,求出交点,或给出一个与交点距离不超过0.1的点.

7.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km 长的线路,大约有200多根电线杆子.如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆子,太慢了,想想维修线路的工人师傅怎样工作,能迅速查出故障所在,查几次就够了?

三清思维扩展

8.用二分法求方程2

2ln 3x x x -=-的较大根.(精确到0.01)

9.探索函数3()231f x x x =-+的零点个数。(提示:一元二次方程最多有一个根)

10.电视娱乐节目《非常6+1》中,有一种猜价格的游戏,在限定时间(如15秒)猜出某一物品的价格,就把该物品奖励给选手,每次选手给出报价,主诗人说高了或低了,以猜对或时间到为游戏结束.某次猜一品牌的电风扇,过程如下:参与者开始报价500元,主持人回答:高了,仅接着,300元,高了; 260元,低了;280元,低了;290元,高了;285元,低了;288元,猜对了.如果你也参与此游戏,已知该品牌电扇售价一般在0~500元之间.你该如何报价,才能在最短时间内猜出价格.

3.2 函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)

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1.常用的数学模型

(1)一次函数模型,其形式为:____________________; (2)二次函数模型,其形式为:____________________; (3)指数函数模型,其形式为:____________________; (4)对数函数模型,其形式为:____________________; (5)幂函数模型, 其形式为:____________________。

2.在区间(0,)+∞上,函数(1)(1)(0)x n a y a a y x a y x n =>>=>、=l og 、都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x 的增大,_________的增长速度会越来越快,会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度,而________的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个0x ,

当0x x >时,就有________________.

二清基本技能

1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程,下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该学生的走法的是( )

2、某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是,3000201.02++-=x x y 若每台售价为25万元,则生产者不亏本时(即销售收入不小于总成本)的最低产量为

( )

A .100台

B .120台

C .150台

D .200台

3、某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 ( ) A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个

4.某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场销售发生变化,A 产品连续两次提价20%,

B 产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售,此时厂家同时出售A 、B 产品各一件,

盈亏情况为( )

A .不亏不赚

B .亏5.92元

C .赚5.92元

D .赚28.96元 5、某企业近几年的年产值如图,则年增长率最高的是(增长率=增长值/原产值) ( )

A )97年

B )98年

C )99年

D )00年

0099

98

97

96

(年)

200400600

800

1000

(万元)

6.下列函数中随x 的增长而增大速度最快的是( )

A.x y 32006

1

=

. B .x y ln 2006=. C .1002007x y =. D. x y 22008?=.

7.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )

A .计算机行业好于化工行业.

B . 建筑行业好于物流行业.

C .机械行业最紧张.

D .营销行业比贸易行业紧张. 8、据新华社2002年3月12日电,1985年到2000年间,我国农村人均居住面积如图2—1所示,其中从_______年到_____年的五年间增长最快.

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9、家用电器(如电冰箱)使用的制冷氟化物的释放破坏了大气层上层的臭氧层,臭氧含量Q 呈指数型函数变化,满足关系式0.00250t Q Q e -=,其中Q 0是臭氧的初始含量,时间t 的单位为年。

(1)随着时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年后,臭氧含量将是现在的一半?

10、一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优 惠政策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭成员均可享受半价,乙旅行社承诺, 家庭旅行算团体票,按原价的

3

2

计算,这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不 同,试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪家 更优惠?

3.2.1 几类不同增长的函数模型(2)

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①结合实例体会直线上升,指数爆炸,对数增长等不同增长的函数模型的意义.

②借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.

③恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.

二清基本技能

1、某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需要过滤的次数为( )(参考数据l g 2=0.3010,l g 3=0.4771)

A .5

B .10

C .14

D .15

2、向高为H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2—4所示,那么水瓶的形状是( )

3、某城市出租汽车统一价格,凡上车起步价为6元,行程不超过2km 者均按此价收费,行程超过2km ,按1.8元/km 收费,另外,遇到塞车或等候时,汽车虽没有行驶,仍按6分钟折算1km 计算,陈先生坐了一趟这种出租车,车费17元,车上仪表显示等候时间为11分30秒,那么陈先生此趟行程介于( )

A .5~7

B .9~11km

C .7~9km

D .3~5km 4、计算机的成本不断下降,若每隔5年计算机的价格降低现价格的3

1

,现在价格5400元的计算机经过15年的价格为

5、按国家统计局资料,到1989年初,我国大陆人口总数达到11亿,人口自然增长率约为 1.4%,按此自然增长率计算,我国大陆人口达到13亿时是 年初(填写年号), (用下面数据帮助计算:lg13=1.1139,lg11=1.0414,lg1.014=0.0060)

6.某水库每天不断流入定量的水,按现在的放水量,水库中的水可使用80天,但因天气持续炎热,每天流入的水量减少了20%,如果放水量不变,则只能使用60天,假如需要使用80天,那么每天放水量应减少___.

7.某水电站的蓄水池有2个进水口,1个出水口,每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示,出水口出水量与时间的关系如图乙所示.已知某天0点到6点进行机组试运行,且该水池的蓄水量与时间(时间单位:小时)的关系如图丙所示:

给出以下三个判断:

①0点到3点只进水不出水;

②3点到4点,不进水只出水;

③4点到6点不进水不出水.

则上述判断中一定正确的判断是_______ (写出所有正确的判断).

8、国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为:

n=

消费支出总额

食品消费支出总额

×100%,各种类型家庭的n如下表所示:

根据某市城市家庭抽样调查统计,1997年至2003年间,每户家庭支出总额每年平均增加700元,其中食品消费支出总额每年平均增加100元.

(1)若1997年该市城区刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额为9000元,问2002年能否达到富裕?(2)若2002年比1997年的消费支出总额增加35%,而其中食品消费支出总额增加10%,问哪一年能达到富裕?

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9.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中,发掘出古莲子,至今大部分还能发芽开花,这些古莲子是多少年以前的遗物呢?要测定古物的年代,可用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性碳14C,动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原有的14C会自动衰变,经过5570年(叫做14C的半衰期),它的残余量只有原始量的一半,经过科学测定知道,若14C的原始含量为a,则经过t年后的残余量'a与a之间满足'kt

a a e-

=?.现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%,试推算古莲子的生活年代.

3.2.2 函数模型的应用实例(1)

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应用函数模型解决问题的基本过程:(1)读懂题目.包括对题意的整体理解和局部理解,以及分析关系和领悟实质.“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象;“局部理解”是指抓住题目中的关键字句,正确把握其含义;“分析关系”就是根据题意,弄清题中各有关量的数量关系;“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型.

(2)建立数学模型.将实际问题抽象为数学问题,建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系,将此关系用有关的量及数字、符号表示出来,即可得到解决问题的数学模型.(3)求解数学模型.根据所建立的数学模型,选择合适的数学方法,设计合理简捷的运算途径,求出数学问题的解.特别要注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件.(4)检验.既要检验所得结果是否适合数学模型,又要评判所得结果是否符合实际问题的要求,从而对原问题作出合乎实际意义的回答.

二清基本技能

1、如下图所示,点P在边长为1的正方形的边上运动,设M 是CD 边的中点,则当点P沿着A —B —C —M 运动时,以点P经过的路程x 为自变量,三角形APM 的面积函数的图象形状大致是( )

2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元。则:

(1)总成本C (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为 ; (2)单位成本P (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为 ; (3)销售收入R (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为 ; (4)利润L (万元)关于总产量x (台)的函数关系式为 。 3、将进货单价为8元的商品按10元一个销售,每天可卖出100个.若每个销售涨价一元,则日销售量减少10个.为获得最大利润,则此商品当日销售价应定为每个__________元. 4、在国内投寄平信,每封不超过20克重应付邮资80分,超过20克不超过40克重付邮资160分,将每封信应付邮资(分)表示为信重(0<x ≤40)克的函数,其表达式f (x )为__ ______.

5、若用模型2

ax y 来描述汽车紧急刹车后滑行的距离ym 与刹车时的速率h xkm /的关

系,而某种型号的汽车在速率为h km /60时,紧急刹车后滑行的距离为20 m ,在限速为

h km /100的高速公路上,一辆此型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m ,问这辆车是否超

速行驶?

6、某人开车以h km /60的速率从A 地到150km 远的B 地,在B 地停留1 h 后,再以h

km /50的速率返回A 地。把汽车与A 地的距离x km 表示为时间t h (从A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象;再把车速h vkm /表示为时间t h 的函数,并画出函数的图象。

7、经市场调查,某商品在近100天内,其销售量和价格均为时间t 的函数,且销售量近似

地满足关系g (t )=-31t +3109,(t ∈N ,0<t ≤100),在前40天里价格为f (t )=4

1

t +22(t ∈N ,0<t ≤40),在后60天里价格为f (t )=-2

1

t +52(t ∈N ,40<t ≤100),求

这种商品的日销售额的最大值.

8、某工厂生产一种机器的固定成本为5000元,且每生产100台需要增加投入2500元,对销售市场进行调查后得知,市场对此产品的需求量为每年500台,已知销售收入函数为:

,2

1500)(2

x x x H -

=其中x 是产品售出的数量,且5000≤≤x . (I )若x 为年产

量,y 为利润,求)(x f y =的解析式; (II )当年产量为何值时,工厂的年利润最大,其最大值是多少?

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9.在车站开始检票时,N (N >0)名旅客在候车室排队等候检票进站,检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需40分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需15分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕.

(1)如果要在8分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?

(2)若车站对旅客做出承诺,每个旅客等待的时间不超过25分钟,问:开放一个检票口,能否实现作出的承诺?

3.2.2 函数模型的应用实例(2)

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数学应用题的求解策略

“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般步骤:

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系。

(2)___________:将文字语言转化成数学语言。

(3)求模:求解数学模型,得到数学语言。

(4)___________:将用数学方法得到结论还原为实际问题的意义。

二清基本技能

1、某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?

2.某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,自来水厂每小时可向蓄水池中注入水60吨,

同时蓄水池又想居民区不间断地供水,t小时内供水总量为

于80吨,就会出现供水紧张现象。试问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?并说明理由。

3.A、B两城相距100km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电,为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数25

λ.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.

.0

=

(Ⅰ)求x的范围;

(Ⅱ)把月供电总费用y表示成x的函数;

(Ⅲ)核电站建在距A城多远,才能使供电费用最小

4.2004年底我国进行了清除加拿大一枝黄花,保护生态环境的活动,其原因是加拿大一枝黄花繁殖力极强,且对其它植物有“杀死”的功能,被称为霸王花.经检测,一枝黄花m 个10天之后扩充面积是S平方米,S=a×m+b+c×2m,30天后,扩充面积为7.4平方米,40天后其扩充面积为11平方米,50天后扩充面积为16.2平方米,则:

(1) 80天后,其扩充面积为多少?

(2) 一实验基地有一实验田843平方米,由于工作人员不小心,使田中有了一枝黄花的“入侵”.那么为了不使一枝黄花把实验田中植物全部“杀死”,至少应在多少天内采取措施?

5.某厂2006年拟举行促销活动,经调查测算,该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与去年促销费m (万元)(0m ≥)满足2

31

x m =-

+.已知2006年生产的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费m (万元)的函数; (2)求2006年该产品利润的最大值,此时促销费为多少万元?

6.灌满开水的热水瓶,盖上瓶盖放在室内,如果瓶内开水原来的温度是1θ度,室内气温是

0θ度,t 分钟后,开水的温度可由公式:kt e -)-+(=010θθθθ 求得.这里,k 是一

个与热水瓶类型有关的正的常数.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100℃,过1小时后又测得瓶内水温度为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水.问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20℃)?

三清思维扩展

7.据《汽车周刊》报道:上海大众推出的POLO 牌A 型轿车市场上售价约为14.4万元/辆,深受用户的青睐,已成为家庭轿车市场上的亮点.某人计划购买一辆此种轿车,考虑购买后轿车一年的养路费、保险费、汽油费、年检费、存车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为l0%,试问大约使用几年后,花费在该车上的费用能达到该车现在的售价14.4万元? (精确到0.001)

8.晚上7:30在一所大厦的犯罪现场发现一具尸体,法医于晚上8:20赶到现场,测得尸体温度为32.6℃;1小时之后当尸体即将被抬走时,测得尸体温度为31.4℃,而死者生前体温是37℃;大厦内部室温始终保持在21.1℃.若记法医验尸时刻t =0,则尸体温度T (t )与时刻t 满足kt

ae

-+=21.1T(t).此案的最大嫌疑犯是张某,但张某声称自己是无罪的,

并有证人说:“下午张某一直在办公室上班,5:00时打了一个电话,然后就离开了办公室.”张某办公室与案发地点步行需5分钟.此证言能否使张某被排除在嫌疑犯之外.

第三章 《函数的应用》单元同步测试

时间 90分钟 满分 100分

一、选择题:(每题4分,共40分)

1、下列函数图象中,能用二分法求零点近似解的是( )

A .

B .

C .

D .

2、下面四个选项中能使函数f(x)=x 3-3x-3有零点的区间是

A .(-1,0)

B .(0,1)

C .(1,2)

D .(2,3) 3、若方程0(0,1)x a x a a a --=>≠有两个解,则a 的取值范围是

A .(1,)+∞

B .(0,1)

C .(0,)+∞

D .φ 4、若函数f(x)=ax+b 有一零点是2,那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是

A .0,2

B .0,

12 C .0,12- D .2,12

- 5、四人赛跑,他们跑过的路程()f x 与时间x 的函数解析式分别是:1

2

1()f x x =,

21

()4

f x x =

,32()log (1)f x x =+,48()log (1)f x x =+,如果他们一直跑下去,最终获胜的人具有的函数解析式是

A .12

1()f x x = B .21

()4

f x x =

C .32()log (1)f x x =+

D .48()log (1)f x x =+ 6、用二分法求得方程x 3+5=0的一个近似解(精确到0.1)为

A . 1.6x ≈

B . 1.6x ≈-

C . 1.7x ≈

D . 1.7x ≈-

7、某中金属材料的耐高温实验中,温度y 随时间t 变化情况如图所示,给出下列四中说法:

①前4min 温度增加的速度越来越快;②前4min 温度增加的速度越来越慢;③4min 以后温度保持匀速增长;④4min 以后温度保持不变。其中正确的说法是

A .①④

B .②④

C .②③

D .①③

8、某地区的森林面积每年比上一年平均增加10.4%,那么经过x 年可增长到原来的y 倍,则函数y=f (x )的图象大致为

A .

B .

C .

D .

9、某养牛场的奶牛数量y (头)与时间x (年)的关系为2log (1)y a x =+,设该场的第一年的奶牛存栏量约100头,,到第7年它们发展到

A .300头

B .400头

C .500头

D .600头 10、用计算器(或计算机)检验下列命题,其中正确的是

A .lg 1x

y x =

+∞在(,)上是单调递增函数 B .lg 1x

y x =∈+∞(x (,))的值域为(0,0.159] C .lg 1x

y x =+∞在(,)上有最小值0 D .lg x

y x x x

=在充分大后随的增大而越来越接近于0 二、填空题:(每题4分,共16分) 11、一辆汽车匀速行驶,1.5h 行驶的路程是90km ,这辆汽车5h 行驶的路程是____________。 12、一种产品的年产量原来为a 件,在今后的m 年内,计划使年产量平均每年比上一年增长p%,则年产量y 随年数x 变化的函数解析式为____________。 13、给出方程x 2-x-1=0的一个解所在的区间:____________。

14、某邮局现在只有面值为0.4,0.8,1.5的三种邮票,现有邮资为10. 2元的邮件,为使粘贴的邮票张数最少,且资费总额恰为10. 2元,则购买邮票____________张。 三、解答题:(15,16题10分,17,18题12分,共44分) 15、某弹簧的长度l 与悬挂在它下面的物体所受的重力g 之间是一次函数关系,已知g=0.02N 时,l=8.9cm ;g=0.04N 时l=10.1cm ,求这个函数的解析式。

16、某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,然后还能获得对应的奖券金额为30元. 于是,该顾客获得的优惠额为:4000.230110?+=元. 设购买商品得到的优惠率=

购买商品获得的优惠额

商品的标价

.试问:(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠

率是多少? (2)当商品的标价为[]500,800元时,顾客购买标价为多少元的商品,可以得到不小于1

3

的优惠率。

17、某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,该商店制定了两种优惠办法:

1) 买一只茶壶赠送一只茶杯; 2) 按总价的92%付款.

某顾客需买茶壶4只,茶杯若干(不少于4只),若购买茶杯x (只)付款y (元),试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪种更省钱?

试分别就kx y ae =,n y ax =,2y ax bx c =++ 三种函数关系建立函数模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120 km/h 时的刹车距离。(建议以车速10 km/h ,40 km/h ,70 km/h 时的数据确定函数解析式,并以车速为60 km/h ,90 km/h 时的数据进行检验)

参考答案

第三章 函数的应用 3.1 函数与方程

3.1.1 方程的根与函数的零点

一清知识扫描

1、零点的定义和意义:

(1)对于函数y= f(x)()x D ∈,我们把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数y= f(x)()x D ∈的零点。(2)函数y= f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,亦即函数y= f(x)的图象与x 轴交点的横坐标 2、二次函数的零点:

二次函数y=ax 2+bx+c(a>0)在△>0时有二个零点;在△=0时有一个零点;在△<0时没有零点。

3、函数零点的判断:

若函数y= f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,且有f(a) f(b)<0成立,那么函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点。

二清基本技能

1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.()(1990)(2000)(2006)(2008)f x x x x x =+-+-

三清思维扩展

9.解:(1)因为函数2()2(31)91f x mx m x m =--+-在区间(1,2)上连续且仅有一个零点,

故应考虑三种情况:

①(1)(2)0f f <,得(4m +1)(m +3)<0, 从而 1

34m -<<-

②003112

m m m ?

?≠?

?=??-?<

得m ∈Φ ③检验端点,当f (1)=0时,1

4

m =-

,函数()f x 有两个零点1,13,不合题意; 当f (2)=0时,3m =-,函数()f x 有两个零点2, 14

3

,不合题意;

综上所述,实数m 的取值范围为1

(3, )4

--.

(2)因为函数2()2(31)91f x mx m x m =--+-的定义域为R ,因此,函数在定义域内有两个不同的零点,等价于方程22(31)910mx m x m --+-=在R 上有两个不同的根

00

m ≠?∴??>?,解得:0m <或105m <<

(3)假设函数2()2(31)91f x mx m x m =--+-在区间(1,3)上存在两个不同的零点,则0m ≠

1当0m >时,抛物线开口向上,应有:

1(1)04311()05(3)0311132

f m m f m m

f m R m m m ?>>-????

-?

?>??∈??

-<???,此不等式组无解; ○

2当0m <时,抛物线开口向下,应有: (1)0(3)003113f f m m

?>??

-?<

,此不等式组也无解;

综上,不存在这样的实数m ,使函数22(31)91y mx m x m =--+-在区间(1,3)上存在两个不同的零点.

10.用计算器可得:

035.0)2(22>≈=--e e f - ,0598.486)2(44>≈-=-e e f ,

093.02ln )0(<-≈-=f 又函数f (x )在[22--e ,24-e ]上的图象是连续的.所以函

数f (x )在[22

--e

,0) 及(0,24-e ]上各有一个零点.故函数f (x )在[22--e ,24-e ]

上有两个零点.

3.1.2 用二分法求方程的近似解

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二分法的思想及步骤

(1)对于在区间[a ,b]上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。

(2)用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下: ①确定区间[a ,b],验证f (a )·f (b )<0,给定精度ε。 ②求区间(a ,b )的中点x 1。 ③计算f (x 1),若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点;若f (a )·f (x 1)<0,则取区间(a ,x 1)(此时零点x 0∈(a ,x 1);若f (x 1)·f (b )<0,则取区间(x 1,b )(此时零点x 0∈(x 1,b )。

④判断是否达到精度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a (或b );否则重复步骤②~④。

二清基本技能

1.C 2.x ≈2.6 3. 10

4.令1)(3

-=x x x f - 则f (1)=-1<0,f (2)=5>0

因为 f (1) f (2)<0,且函数f (x )的图象是连续曲线,所以方程f (x )=0在区间(1,2)内有一个实数解x 0.

采用二分法取(1,2)中点x 1=1.5-

f (1.5)≈0.875>0.

因为 f (1) f (1.5)<0,所以x 0∈(1,1.5). 同理可得x 0∈(1.25,1.5)

x 0∈(1.2 5,1.375),

x 0∈(1.312 5,1.375), x 0∈(1.312 5,1.34375),

|1.312 5-1.34375|<0.1,

此区间(1.312 5,1.34375) 的两端点精确到0.1的近似值为1.3.

所以方程013

=-x x -在区间(1,2)内精确到0.l 的近似解约为1.3. 5.解:令32()222f x x x x =-+-

∵(1)0,(2)0f f <>

∴方程3

2

222x x x -+-=0在区间(1,2)内有解.

取(1,2)的中点133,()0.128022x f ==-<,3

(2)()02f f ∴?<

取3(,2)2

的中点274x =,77()0.73420(1)()044f f f =>∴?<

取(1,1.75)的中点3 1.375,(1.375)0.43160(1.375)x f f f ==-<∴?取(1.375,1.75)的中点4 1.5625,(1.5625)0.5690(1.375)(1.5625)0x f f f ==>∴?< 取(1.375,1.5625)的中点5 1.46875,(1.46875)0.2050x f ==-<

(1.46875)(1.5625)0f f ∴?< 取(1.46875,1.5625)的中点6 1.515625,(1.515625)0.08140x f ==-< (1.515625)(1.5625)0f f ∴?<

取(1.515625,1.5625)的中点7 1.5390625,(1.5390625)0.013700x f ==-< (1.5390625)(1.5625)0f f ∴?<

取(1.5390625,1.5625)的中点8 1.55078,(1.55078)0.0210x f ==> (1.55078)(1.5390625)0f f ∴?<

取(1.5390625,1.55078)的中点9 1.54492,(1.54492)0.00360x f ==> (1.54492)(1.5390625)0f f ∴?<

|1.539062 5-1.54492|<0.006,

此区间(1.5390625,1.54492) 的两端点精确到0.01的近似值为1.54. 则方程3

2

222x x x -+-=0在区间(1,2)内精确到0.0l 的近似解约为1.54. 6.令x x f x 3.1log 3.1)(-= 则f (1)=1.3>0,f (2)=-0.095<0

因为 f (1) f (2)<0,且函数f (x )的图象是连续曲线,所以函数f (x )在区间(1,2)内有一个零点x 0.

采用二分法取(1,2)中点x 1=1.5- f (1.5)≈0.875>0.

因为 f (1) f (1.5)<0,所以x 0∈(1,1.5).

同理可得x 0∈(1.25,1.5) x 0∈(1.375,1.5), x 0∈(1.437 5,1.5), x 0∈(1.46875,1.5),

|1.5-1.46875|<0.1,

此区间(1.46875,1.5) 的两端点精确到0.1的近似值为1.5.

则方程x x 3.1log 3.1-=0在区间[1,2]内精确到0.l 的近似解约为1.5.

所以函数x y 3.1=与函数x y 3.1log =有交点,交点为(1.5,1.31.5)即(1.5, 1.48). 7.解:如图,他首先从中点C 查,用随身带的话机向两端测试时,发现AC 段正常,断定故障D 在BC 段,再到BC 段中点D ,这次发现BD 段正常,可见故障在CD 段,再到CD 的中点E 来查.每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此,要把故障发生的范围缩小到50-

100米左右,只要7次就够了.

三清思维扩展

8.解:构造函数:

2()2ln 3f x x x x =--+

由f (0.1)=2.1476>0,f (1)=-1>0,

f (2)=0.442132<0 可知,

2()2ln 3f x x x x =--+的

零点分别在区间(0,

1),(1,2)内,

从而方程2

2ln 3x x x -=-的较大根在区间(1,2)内, 按二分法的解法列表如下:

所以取x =1.82, 得方程2

2ln 3x x x -=-的较大根 9.解:

3322

()2312212(1)(1)(1)(1)(221)22100,2f x x x x x x x x x x x x x x x =-+=--+=-+--=-+-+-=?>∴ 而的有个实根,原函数有3个零点。

10.解:采用二分法,取价格区间的中点250元,若主持人说低了,就取[250,500]的中点375元,否则取另一区间的中点,遇到小数就取整数.过程如下:250,375,312,281,296,288.

3.2 函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型(1)

一清知识扫描

1.常用的数学模型

(1)一次函数模型,其形式为:()()0f x ax b a =+≠; (2)二次函数模型,其形式为:()2

()0f x ax bx c a =++≠;

(3)指数函数模型,其形式为:()(0)x f x k a b k =+≠ ;

(4)对数函数模型,其形式为:()log (0,1,1)a f x k x b a a k =+>≠≠ ; (5)幂函数模型, 其形式为:()(0)n f x k x b k =+≠ 。

2.在区间(0,)+∞上,函数(1)(1)(0)x n a y a a y x a y x n =>>=>、=l

og 、都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x 的增大,(1)x y a a =>的增长速度会越来越快,会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度,而(1)a y x a >=l og 的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个0x ,当0x x >时,就有log n x a x x a <<.

二清基本技能

1.D 2、C 3、B 4. B 5、D 6. A 7. B 8、从1995年到2000年的五年间增长最快.

三清思维扩展

9、解:(1)减少 (2)令0.0025001

2

t

Q Q e Q -==,即0.00250.5277.26t e t -=?≈。所以278年后臭氧含量将是现在的一半

10、解:设两家旅行社的原价都x ,这家人共有n 个孩子,则 甲旅行社的总价格为y1=x+0.5(n-1)x=0.5(n+1)x 乙旅行社的总价格为y2=

23

nx 。令21

(1)332nx n x n >+?>,

所以当这家孩子数小于3时选择乙家优惠点;当这家孩子数大于3时选择甲家优惠点;当这

家正好有3个孩子时,选择甲乙两家旅行社是一样的价格。

3.2.1 几类不同增长的函数模型(2)

二清基本技能

1、C

2、A

3、A

4、1600元

5、2001,6.

1

8

7.①

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